İnsanlar genellikle istatistiksel olasılıkları yanlış yorumlar. Bunun temel nedenlerinden biri, “küçük sayılar yasası” adı verilen bilişsel bir yanılgıdır. Bu yanılgı, insanların küçük örneklem gruplarının büyük gruplar kadar temsil edici olması gerektiğine inanmasıdır. Oysa gerçek, bunun tam tersidir.
Adını daha önce duymuş olabileceğiniz büyük sayılar yasası, olasılık teorisi ve istatistiğin temel kavramlarından biridir. Uzun vadede, gelecekteki olayların sonuçlarının makul bir doğrulukla tahmin edilebileceğini garanti eder. Ancak isim benzerliğine rağmen, küçük sayılar yasası (İng. law of small numbers), büyük sayılar yasasının tersi değildir.
Bu iki yasa arasındaki temel fark, büyük sayılar yasasının istatistiksel, küçük sayılar yasasının ise psikolojik bir kavram olmasıdır. Büyük sayılar yasası, örneklem büyüdükçe bu örneklemin alındığı popülasyonu daha iyi temsil edeceğini söyler. Küçük sayılar yasası ise, büyük örneklem kurallarının (örneğin Büyük Sayılar Yasası’nın) küçük veri kümelerine da uygulanabileceğine olan yanlış inancı ifade eder.
Küçük Sayılar Yasasının Matematik İle İlişkisi Nedir?
İstatistik, verilerle ilgilenir. Ancak elinizde küçük bir veri seti varsa, bazı testlerin sonuçları yanıltıcı olabilir. Bu sorunla başa çıkmanın yolu, daha büyük veri gruplarıyla çalışmak, yani daha fazla gözlem yapmaktır. Büyük sayılar yasası, istatistiksel testlerin en sağlıklı şekilde büyük örneklem gruplarıyla yapıldığını ifade eder.
Bu yasaya göre, bir olayla ilgili gözlem sayısı arttıkça, o sonucun ölçülen olasılığı (ya da şansı), gözlemler başlamadan önce hesaplanan teorik olasılığa giderek yaklaşır. Başka bir ifadeyle, çok sayıda denemeden elde edilen ortalama sonuç, olasılık teorisiyle hesaplanan beklenen değere daha çok benzeyecektir.
Adil bir madeni parayı iki kez attınız ve her ikisinde de yazı geldi. Şimdi üçüncü kez atacak olsanız, yazı mı yoksa tura mı geleceğini düşünürsünüz? Bu soruya verilen yanıt, ilk bakışta basit görünse de şaşırtıcı olabilir. Üstelik bu konu, hatalı araştırmalar, toplumsal önyargılar ve aşı karşıtı yanlış bilgiler gibi kritik meseleler üzerinde de etkili olabilir.
İstatistiksel açıdan bakıldığında cevap nettir: Her atış birbirinden bağımsızdır. Para önceki atışları “hatırlayamaz”, dolayısıyla daha önce yazı gelmiş olması, sıradaki sonucun ne olacağını etkilemez. Bu nedenle üçüncü atışta yazı ya da tura gelme olasılığı eşittir. Ancak psikolojik açıdan durum daha karmaşıktır.
Madeni para örneğinde, uzun bir dizi atışta yazı ve tura oranının yaklaşık olarak eşit olmasını bekleriz (1:1 oranı). Buna karşılık, kısa dizilerde (örneğin 5 atış) bu oran da eşit olabilir ama genellikle daha dengesiz sonuçlarla (örneğin 4:1 gibi) karşılaşma ihtimali daha yüksektir.
Büyük sayılar yasası yalnızca büyük örneklemler için geçerlidir. Ancak paradoksal olarak, insanlar bu yasanın küçük örneklemler için de geçerli olmasını bekler. Bu mantıksız beklentiye küçük sayılar yasası denir. Bu da insanlarda, kısa madeni para atış dizilerinde yazı-tura oranının yaklaşık olarak eşit olmasını bekleme eğilimi yaratır. Oysa bu beklenti istatistiksel olarak doğru değildir.
Küçük Sayılar Yasası Nasıl Çalışır?
Küçük sayılar yasına duyulan inanç, sadece yazı tura gibi rastgele olaylarda değil, gerçek hayattaki pek çok duruma ilişkin istatistiksel akıl yürütmeyi de etkiler. Örneğin, bu inanç, insanların rulet topunun birkaç kez üst üste kırmızıya geldiğinde bir sonraki seferde siyah gelmesinin “sırası geldiğini” düşünmesine yol açar.
Bu duruma iyi bilinen bir örnek olan kumarbaz yanılgısı (gambler’s fallacy) denir. Benzer biçimde, bir ailede birkaç kız çocuğu arka arkaya doğduysa, bir sonraki çocuğun erkek olacağı düşüncesi de bu yanılgının bir yansımasıdır.
Bu inanç, insanların farklı türdeki sonuçlara ilişkin akıl yürütmelerini de etkiler. Örneğin, yalnızca tek bir bireyin davranışını temel alarak, bu kişinin ait olduğu sosyal grubun tamamı hakkında genelleme yapılmasına neden olur. Bu durum, o bireyin tüm grubu temsil ettiği düşüncesinden kaynaklanır. Sosyal grupların (milliyet ya da cinsiyet gibi) aşırı genellenmiş biçimde algılanmasına yol açar.
Benzer şekilde, bu yanılgı, araştırmacıların küçük örneklemlerin temsil gücünü aşırı derecede abartmalarına ve bu nedenle istatistiksel olarak yetersiz örneklemlerle çalışarak bulgularına gereğinden fazla güven duymalarına neden olur.
Bu yanılgının çarpıcı örneği ise aşı karşıtı yanlış bilgilerin yayılmasında görülmektedir. Özellikle Covid pandemisi sırasında sosyal medyada sıkça karşılaşılan bir argüman, bu bağlamda dikkat çekicidir. “Eşim ve ben aşılı olmamıza rağmen Covid’e yakalandık, demek ki hükümetin ‘aşı %80 etkili’ demesi yalan.”
Bu tür bir yorum, küçük sayılar yasasının yarattığı bilişsel bir hatayı açık biçimde ortaya koyar. Bu kişi, aşı etkinliğinin toplum genelinde %80 olması durumunda, bu oranın iki kişilik küçük bir örneklemde de aynen yansıması gerektiğini varsayıyor. Oysa istatistiksel geçerlilik açısından, böyle küçük bir örneklemden yola çıkarak genelleme yapmak yanıltıcıdır.
Ayrıca bu iddia, .istatistiksel akıl yürütmede sıkça rastlanan başka hataları da içerir. Örneğin, bireysel faktörlerin etkisi göz ardı edilmektedir. Yaş, bağışıklık durumu ya da başka sağlık koşulları gibi etkenler, kişilerin Covid’e yakalanma olasılığını toplum ortalamasından daha yüksek hâle getirecektir.
Sonuç olarak
Küçük sayılar yasası, yargı ve karar verme süreçlerinde hatalara yol açabileceği için; ve bu hataların önemli sonuçlar doğurabileceği göz önüne alındığında, hem kendinizde hem de başkalarında bu bilişsel yanlılığı azaltmak önemlidir. Bunun için, bu yanlılığın ne zaman ve nasıl etkili olabileceğini anlamak ve farkındalığı artırmak gerekir.
Diyelim ki gazetede şu manşeti okuyorsunuz. “Yapılan son araştırmalara göre yeni kurulan işletmeler daha zeki elemanlar çalıştırıyor.” Bu tür bir haber size ne anlatmalı? Aslında, hiçbir şey.
Çünkü bu iddia, yine küçük sayılar yasasına dayanan yaygın bir yanılgının örneğidir. Yeni kurulan işletmelerin çoğu, başlangıçta çok az sayıda çalışanla faaliyet gösterir. Bu küçük örneklemler, istatistiksel olarak daha büyük dalgalanmalara açıktır.
Dolayısıyla, bir sonraki seferde benzer bir iddia gördüğünüzde – örneğin “küçük okullarda başarı oranı daha yüksek”, “küçük şehirlerde suç oranı daha düşük” ya da “bazı ailelerde çocuklar daha zeki” gibi – dikkatli olmanızda fayda var. Bu “etkileyici” sonuçlar, yalnızca rastgeleliğin küçük örneklemlerde yarattığı oynaklığın doğal bir ürünüdür.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- The Law of Small Numbers: Overestimating the Representativeness of Small Samples. Bağlantı: https://effectiviology.com/law-of-small-numbers/
- Itamar Shatz, The law of small numbers: When statistics and psychology go to war. Significance, Volume 20, Issue 3, June 2023, Pages 24–25, https://doi.org/10.1093/jrssig/qmad044
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
