Bir denge bulmacası veya tartı bulmacası, teraziyi sınırlı sayıda kullanarak hangisinin farklı bir değere sahip olduğunu belirlemek için öğelerin (genellikle madeni paraların) dengelenmesiyle ilgili bir mantık bulmacasıdır.
Bu tip sorularda hedef paranın diğerlerinden daha hafif veya daha ağır olup olmadığı belirlemeniz aslında bulmaca başında zaman harcamadan belirlemek mümkündür. Bunun için aşağıdaki tabloyu incelerseniz ne demek istediğimizi anlayacaksınız.
| İstenen | Hedef | n tartım için gereken maksimum madeni para | c sayıda para için gereken tartım sayısı |
| Hedef paranın diğerlerinden daha hafif veya daha ağır olup olmadığı bulma | Parayı bul | 3n | log3c |
| Hedef paranın diğerlerinden farklı olduğunu bulma | Parayı bul | (3n-1)/2 | log3( 2c+1) |
| Hedef paranın diğerlerinden farklı veya tüm paraların aynı olduğunu bulma | Farklı bir paranın olup olmadığını belirleme | ((3n-1)/2) -1 | log3c( 2c+3) |
Yukarıdaki tabloya dikkat ederseniz bir paranın diğerlerinden farklı olduğunu belirlemek için üç tartımda ( n=3) size gereken madeni para sayısı ((33-1)/2)= 13 olur. Ancak 3 tartım ve 13 madeni para ile son madeni paranın kimliğini belirlemek her zaman mümkün olmaz. Bu nedenle size 12 madeni para gereklidir. Zaten birazdan aktaracağımız sahte parayı bul bulmacası da 12 para ile sorulmaktadır.
Problemden önce bir soru soralım. Google’da çalışmak için nasıl özelliklere sahip olmak gerekiyor? Hangi üniversiteden mezun olmalıyız? İyi bir üniversiteden mezunsanız, bu yeterli mi? Maalesef değil. Google aslında bunları pek önemsemiyor. İşi kapmanız için size gereken pratik ve kıvrak bir zeka.
İşte bu nedenle yazının başında aktardığımız denge bulmacası tarzında sorular mülakat esnasında karşınıza çıkabiliyor. Bu kadar açıklamadan sonra artık kolayca anlayabileceğiniz örneğe geçelim.
Örnek Bir Google Mülakat Sorusu
Dünyanın en iyi matematikçisisiniz, fakat imparatorluğun vergi kanunlarını eleştirdiğinizden beri bir zindanda tutuluyorsunuz ve yanınızda yalnızca günleri saymak için bir kalem var. Sonunda imparatorun huzuruna çıkarılıyorsunuz.
On iki valisinden biri vergilerini sahte parayla ödeyerek hazineye ulaştırdığından ötürü suçlu bulunmuş. Size sahte olan parayı bularak özgürlüğünüzü elde etme şansı veriliyor. Önünüzde tamamen aynı görünen on iki madeni para ve eşit kollu bir terazi var.
Size zindana tekrar kapatılmadan önce teraziyi yalnızca üç kez kullanabileceğinizi söylüyor. Her parayı tek tek tartamayacağınız çok açık. Öyleyse paraları birkaç kümeye ayırarak bir kerede tartmanız gerekiyor, sonrasında sahte paranın nerede olduğunu bulacaksınız. Sahte parayı nasıl bulursunuz?
Sahte Para Bulmacasının Çözümü
On iki madeni parayı, her birinde 4 tane olacak şekilde üç kümeye ayırın. Bu kümelerden ikisini birlikte tartmak bize iki sonuç verir. İki kümenin ağırlığı eşit veya eşit ağırlıkta değildir.
İki kümenin ağırlığı eşitse:
Bu durumda terazideki sekiz para da gerçektir ve sahte olan para diğer dörtlü kümenin içindedir. Şimdi bu paralardan üçünü alın ve daha önce tarttığınız ve gerçek olduğunu bildiğiniz üç para ile birlikte tartın. Eğer denge sağlanırsa, geriye kalan para sahte olmalıdır. Denge sağlanmazsa, tarttığınız üç paranın üzerine ağır gelirlerse artı, hafif gelirse eksi çizin. Şimdi yeni işaretlediğiniz paralardan ikisini alın ve tartın. Denge sağlanırsa, üçüncü para sahtedir. Aksi takdirde işaretlerine bakın. Artı işaretlilerse ağır olan sahtedir. Eksi işaretlilerse hafif olan sahtedir.
Tarttığınız ilk iki küme eşit ağırlıkta değilse:
Ağır gelen kısımdaki paraların üzerine artı, hafif olanların üzerine eksi işareti koyun. Ayrıca kalan dört parayı da sıfır olarak işaretleyebilirsiniz. Çünkü sahte olanın terazidekilerden biri olduğunu biliyorsunuz. Şimdi yalnızca iki kez daha tartarak belirsizliği çözebilmek için stratejik düşünmeniz gerekmektedir. Bunun bir yolu artı işaretli üç para yerine üç adet eksi işaretli parayı koymak ve bunları sıfır işaretli üç parayla değiştirmektir. Bunun nasıl olduğunu aşağıdaki görselde görebilirsiniz.
Bu noktadan sonra da karşınıza üç seçenek çıkacaktır. Eğer ilk tartımda önceden ağır gelen kısım halen ağır geliyorsa, o tarafta kalan artı işaretli para veya hafif kısımda kalan eksi işaretli para aslında sahte olan paradır. Bunlardan birisini seçin ve hangisinin sahte olduğunu anlamak için sıradan bir para ile tartın.
Bir başka ihtimal ise önceden ağır olan kısmın hafiflemesi olacaktır. Bu durumda üç eksi işaretli paradan birinin aslında daha hafif olması gerekir. Bunlardan ikisini birbiriyle tartın. Eğer eşit gelirlerse, üçüncüsü sahtedir.
Eşit gelmezlerse, hafif olan sahtedir. Son ihtimal ise dengedir. Bu durumda artı işaretli üç paradan biri daha ağır olan demektir. Bunlardan ikisini birbiriyle tartın. Denge sağlanırsa, üçüncüsü sahtedir. Sağlanmazsa daha ağır olan sahtedir.
Sonuç Olarak;
Bu bilmecede sonuçlar sistematik olarak önceki gözlemlerden çıkarılmaktadır. Bulmacanın bu versiyonu 12 para içerir, ancak 9 para ile daha kolay ve para ile daha zor bir versiyonunu da 39 para ile kurgulayabilirsiniz. Sonuçta bu bilmecenin çekici yanı, karmaşıklığını azaltabilmemiz veya artırabilmemizdir. Birkaç anahtar kelimenin basit bir değişimi, sorunun zorluğunu büyük ölçüde değiştirir.
Yazının sonunda göz atmak isterseniz: Madeni Paraların Kenarları Neden Genellikle Tırtıklıdır?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Can you solve the counterfeit coin riddle?; https://ed.ted.com/
- Denge bulmacaları ile ilgili genel bir çözüm incelemek isterseniz: Tanya Khovanova; Parallel Weighings; October 29, 2013; Bağlantı: https://arxiv.org/pdf/1310.7268.pdf
- Balance puzzle; Bağlantı: https://en.wikipedia.org/wiki/Balance_puzzle
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
