Asal sayılar, geçmişten günümüze dek pek çok insanın ilgisini çekmeyi başarmıştır. Bu yazımızda da yine ilginç bir asal sayı problemini ve çok uzun yıllar sonra gelen tek cümlelik bir kanıtı ele alalım. Sorumuz şu: Asal sayılar iki doğal sayının kareleri toplamı olarak yazmak mümkün mü?
Sonucunda 13 için bu mümkündür, ancak örneğin 3 asal sayısını bu şekilde yazamazsınız. Pierre de Fermat, bu konuda bir teorem geliştirmişti. Amerikalı matematikçi Don Zagier ise bundan 350 yıl sonra, şaşırtıcı bir şekilde sadece bir cümle uzunluğunda bir kanıt ile bu teoremi ispat etmeyi başaracaktı.
Fermat’ın İki Kare Toplamı
On yedinci yüzyılın Fransız matematikçisi Pierre de Fermat, hangi koşullar altında asalların iki kare toplamı olarak yazılabileceğini düşündü. Örneğin, daha önce de belirtildiği gibi 13 bir asaldır. Ancak iki karenin toplamı, yani 2² ve 3² olarak yazmak mümkündür. Ayrıca, 17 = 1² + 4² olduğu için bu kuralı karşılayan bir asaldır.
Fermat, yüzlerce asal sayıyı eliyle yaptığı işlemler ile denedi. Sonuçta da iki doğal sayının toplamı biçiminde yazılabilen 100 kadar sayı buldu. Sonra bir anda bu bulduğu sayıların belirli bir model oluşturduğunu fark etti. Görünüşe göre bu asal sayılardan 1 çıkarttığımız zaman sonuç 4 ile bölünüyordu. Sonrada bunu bir teorem olarak duyurdu:
Bir p asal sayısı ancak p-1, 4 ile bölünebiliyorsa, iki doğal sayının kareleri toplamı olarak yazılabilir.
Ne yazık ki, Fermat bunu kanıtlamadı. Zaten bildiğiniz gibi kendisi teoremleri kanıtlanmadan bırakma konusunda bir üne sahip idi. Aradan geçen süre zarfında da matematikçiler bir kanıt arayışına başladı. İlk olarak 1750’de Euler oldukça karmaşık bir kanıt verdi. Devamında da Gauss, Lagrange ve Dedekind gibi önemli matematikçiler tarafından farklı kanıtlar sunuldu. 1990 yılında ise Don Zagier tarafından bu teorem “tek cümle” ile kanıtlandı.
Sonraki birkaç paragrafta p, teoremin ön koşullarını sağlayan bir asal sayı olarak kabul edilecektir. Bu durumda p-1, 4 ile bölünür. Bu da bazı doğal sayı k için p-1 = 4k veya eşdeğer p = 4k+1 anlamına gelir. Görevimiz, p = a² + b² olacak şekilde gerçekten de a ve b sayılarının olduğunu göstermektir.
Don Zagier Tarafından Yapılan İspat
Zagier ispatına denklemi değiştirip bunu p = x² + 4yz biçiminde yazarak başladı. Bu denklemin çözüm kümesine de S dedi. Sonrasında y’nin z’ye eşit olduğu bir çözüm olduğunu varsaydı. Buradan da, p = x² + 4yy veya eşdeğer olarak p = x² + (2y)² elde edildi. Bu durumda çözüm kümemiz S tek sayıda çözüm içermeliydi. Çünkü tüm y ve z çözümleri farklı olsaydı, çözümlerin sayısı çift sayıda olurdu. ( Şöyle düşünün: x=1 y=2 z=3 olsa p sayımız 25 çıkar, aynı şekilde x=1 y=3 z=2 olsa yine 25 çıkar. Bu durumda çözüm kümemiz s çift sayıda çözüme sahip olur. Ancak y=z kabul edilirse sadece bir çözüme sahip olacaktır.).
Daha genel konuşmak gerekirse, P = x² + 4yz denkleminin (x, y, z) biçimindeki çözümünde, sadece y ve z’nin yerlerini değiştirerek yeni bir çözüm elde edebiliriz. Bu işlemin tekrar uygulanması da bizi başa geri götürür. Yani bir fonksiyon olarak bakarsak bu fonksiyonun tersi kendine eşittir ve elimizde çift sayıda çözüm vardır. Ancak eğer S tek sayıda çözüm içeriyorsa, o zaman elimizde (x, y, y) çözümü var demektir.
Şimdi yapılması gereken S’deki çözümlerin sayısının gerçekten tek sayıda olduğunun gösterilmesidir. Bunun için de Zagier’in farklı bir fikri vardı. İşlemi parçalı bir fonksiyon olarak yazdı. Sonrasında da varsayımlarının doğru olduğunu kanıtladı.
İlgilenenler için ispatın bundan sonrasını kaynaklardan inceleyebilirler. Evet ispat bir cümleden oluşuyordu ama bu bir cümlenin ne anlama geldiğini ancak profesyonel matematikçiler anlayabilirdi. Bizim gibiler için bu iş çok da kolay değil. Matematik için kestirme yol diye bir şey yoktur, aldanmayalım…
GÖZ ATMAK İSTERSENİZ
Kaynaklar:
- A One-Sentence Proof That Every Prime p 1 (mod 4) Is a Sum of Two Squares; https://fermatslibrary.com/
- The One-Sentence Proof in Multiple Sentences; https://medium.com/
Dip Not:
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım
Matematiksel
43 asal sayı 4 e bölünürse kalan bir değil 3 tür.