Tuhaf ama Gerçek: Sonsuzluk Farklı Boyutlardadır

Sonsuzun ötesi olmadığını düşünürüz oysa çeşitli sonsuzluklar vardır ve bazıları ise açık bir şekilde diğerlerinden daha büyüktür.

Sonsuzluk çelişkilerle dolu ve akıl karıştıran bir kavram ancak aklınız karıştığı zaman endişelenmeyin bu aklınızın çalıştığının göstergesidir aslında. Sonsuzluk üzerine düşünmeye başladığınızda tehlikeli bölgelere girmiş olursunuz. İmkanları olsa matematikçiler sonsuzluğu siler atarlardı belki de ancak bu mümkün değil çünkü matematik her açıdan sonsuzluğun izlerini taşır.

Sonsuzluğu başlangıç düzeyinde tanımlarken akıl edilebilecek en büyük sayı olarak düşünürüz oysa bu yanlıştır çünkü akıl edilebilen her sayı sonludur.

Örnek olarak 1,2,3… şeklinde devam eden doğal sayıları ele alalım. Bu sayılar sınırsızdır ve bütün doğal sayıların birleşim kümesi büyüklük olarak sonsuzdur. Peki bu sonsuz ne kadar büyüktür?

Alman matematikçi George Cantor’un 19. yüzyılın sonlarına doğru gösterdiği gibi çeşitli sonsuzluklar vardır ve bazıları açık bir şekilde diğerlerinden daha büyüktür.

Cantor, doğal sayıların sayılamaz çoklukta olmalarına rağmen bir başka sayı ailesi olan reel sayılardan daha az sayıda olduğunu çok zekice bir argüman kullanarak gösterdi.

Reel sayılar kümesi, ondalık gösterimleri sonsuz uzunlukta olsa bile ondalık şekilde gösterilebilen bütün sayıları içerir. Bu yüzden 27 bir reel sayı olduğu kadar π sayısı ya da 3,14159… bir reel sayıdır.

Cantor bunu mantıklı bir şekilde çelişki yöntemiyle yaptı.

Öncelikle bu sonsuz kümelerin aynı büyüklükte olduğunu varsaydı. Daha sonra bu varsayımı çürütecek bir kusur bulmak için bir takım mantıksal basamakları takip etti. Doğal sayılar ve reel sayıların 0 ile 1 arasındaki alt kümesinin eşit sayıda elemana sahip olması demek bu iki küme arasında birebir bir eşleme kurulabileceği anlamına gelir. Bu da iki kümenin her bir elemanı diğerinin elemanlarından yalnızca bir tanesi ile eşleşir demektir.

Şu şekilde düşünelim: birebir eşleme, nümerik sayım olmasa bile ilişkili büyüklükleri ölçmek için kullanılabilir. Büyüklüğünü bilmediğimiz iki kasa hayal edelim, birinde elma diğerinde portakal olsun. Elma-portakal partnerleri oluşturmak için iki kasadan da aynı anda bir elma ve bir portakal çekelim. Eğer kasaların içi aynı anda boşalıyorsa eşit sayıdadırlar. Eğer biri diğerinden daha önce boşalıyorsa kalan kasadaki meyveler daha çoktur.

Bu nedenle Cantor doğal sayılar ve 0 ile 1 arasındaki reel sayıları bu şekilde bir eşlemeye koymayı varsaydı. Daha sonra Cantor’un kurnaz tarafı gösteriye başladı. Bunu basit bir dil ile açıklamaya çalışalım:

Şimdi elinizde bir reel sayı listesi olduğunu ve bu listeye yazılabilecek tüm ondalık açılımlı sayıları yazdığınızı düşünelim. Sizin listenize bakarak ben yeni bir reel sayı oluşturacağım. Kural şu:

1.sayınızın virgülden sonraki ilk basamağına bakacağım ve eğer bu sayı 1 ise, benimkini 2 alacağım. Değilse benimkini 1 alacağım.

Ardından listedeki 2. sayınızın 2. basamağına bakacağım ve tekrardan  bu sayı 1 ise, benimkini 2 alacağım. Değilse benimkini 1 alacağım. Ardından 3. sayınızın 3. basamağına ve bu biçimde eklemeler yaparak kendi sayı yazacağım. Sonuçta hiçbir zaman birbirimizin aynısı iki sayı bulma şansımız olmayacaktır. Oluşumu açısından her bir reel sayıdan en az bir ondalık hane ile farklılaşacaktır.

Sonuç olarak reel sayılar sayılamayacak çokluktadır ve reel sayıların sonsuzluğu bir şekilde doğal sayıların sonsuzluğundan daha büyüktür.

Aslında Cantor aynı zamanda bizlere herhangi bir sonsuz kümenin tüm alt kümelerinden oluşan yeni bir küme oluşturulduğunda, orijinal kümeden daha büyük bir sonsuzluk temsil edeceğini gösterdi. Yani, bir sonsuzluğunuz varsa, daima onun alt kümelerinin kümesinden daha büyük bir sonsuzluk elde edebilirsiniz.

Zamanında kendisini derin bunalımlara sürükleyen Cantor’un bu tehlikeli düşünceleri bugün tüm matematik araştırmacılara tarafından kabul görmekte.

Kaynak

https://www.scientificamerican.com/article/strange-but-true-infinity-comes-in-different-sizes/

Konu ile ilgili bu kısa videoya da göz atmak isteyebilirsiniz…

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Elif Kose

Lise yıllarında başlayan matematik ve matematiği öğretme sevdamla kendimi Boğaziçi Üniversitesi Matematik Öğretmenliği bölümünde buldum. 2016 yılında mezun olup öğretmenliğe başladım ve aynı zamanda Karadeniz Teknik Üniversitesi’nde Matematik Eğitimi alanında yüksek lisansa devam etmekteyim. Mesleğinin daha çok başında bir öğretmen olarak en önemli amacımın matematiği öğrencilerime sevdirmek olduğunu düşünüyorum. Bu amaçla böyle bir platformda bulunmak mutluluk verici. Umarım bir gün herkes matematiği sever…

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

2 Yorumlar

  1. cantor un dediğine göre:
    birden N ye kadar olan tam sayılar, sıfırla bir arasındaki virgülden sonra N basamaklı ondalık sayılarla, N sonsuza giderken eşleşemez yani sayamaz!

    sıfırla bir arasındaki N basamaklı ondalık sayılar N sonsuza giderken şöyle temsil edilir : N sonsuza giderken 10^N.
    10^N , N ile eşleşemez demek kolay, ama bakalım öyle mi? bundan önce şuna bakalım lütfen:

    sıfırdan sonsuza kadar bütün kesirler sayılabilir.
    malum kesirler üst tarafta sıfır ila N olan sayılar, alt tarafta yani paydada ise birden N ye kadar sayılar.
    açık ki bu cümle veya kümede N sonsuza giderken Nx(N-1) terim olur. o halde N ve NxN eşleşiyor demektir. yani bütün kesirler sayılabilir. nasıl eşleşeceğini tarif edersem: x ve y eksenli iki boyutlu kartezyen koordinatlardaki x eksenine, kesirin üst tarafındaki tam sayıları, y eksenine ise, alt tarafındaki sayıları seçelim. y sıfır olmaması icabeder yani x ekseni boyunca işaretleme olamaz. örneğin 1/7 kesiri için, x=1 ve y=7 olmalı veyahut x=1001 ve y=10 için 1001/10 kesiri temsil edilir. şimdi eşleştirme için x=0,y=1 den x=-1, y=1 e çizgi çizelim. x=-1 den y=-1 e inen düşey çizgi ile devam edelim. x=1, y=-1 yatay çizgisinden sonra x=1 ve y=2 dikey çizgisine gelelim. saat yönünün tersine böyle kalemi hiç kaldırmadan dön baba dönersek ve oluşan bu çizgi her ne kadar sayma sayılarında fazla gibi görünse de pozitif ve negatif bütün kesirler tam sayılar ile açık şekilde eşleşebilir, yani kesirler sayılabilir bir sonsuzdur.

    ondalık sayılar açık ki kesirlerden daha çoktur ve cantor un sen virgülden sonraki ilk basamakta rakam seçsen ben bir başka seçerim ve benimle aşık atıp bütün onalık sayıları tam sayılarla eşleştiremezsin ispat denemesi yetersiz bir deneme diye aklıma geliyor. çünkü sıfır ve bir arasındaki N sonsuza giderken bütün N haneli ondalık sayılar 10^N tane ise negatif sayılarla birlikte 2×10^N sayı olur. bütüün ondalık sayılar ise 2xNx10^N şeklinde olduğu çok açık ve cantor bu N ile eşleşmez yani ondalık sayılar sayılamaz demekte.

    H0=2 alalım.
    2^H0-1=3=H1
    2^H1-1=7=H2
    2^H2-1=127=H3

    bu şekilde devam ederek H sayılarını düşünelim.

    görmek kolay ki bunların hepsi asal sayıdır.
    N sonsuza giderken HN sayısı 10^N den çok büyüktür, hal bu ki asal sayılar tam sayılardan azdır, yani tam sayıların alt kümesidir ve HN ile tanımlanan küme N>3 olmak üzere her bir N adımında 10^N kümeden daha aşkın. cantor un ilizyonu ile bu iş bu şekilde arap saçı şeklinde devam edegeliyor. yani kısaca ondalık sayılar sayılamaz diye kestirip atmadan önce iki defa düşünün lütfen.

    HN sayılarının hepsinin asal olduğunu göremiyorsanız ip ucu veriyorum.
    2^M-1 eğer asal değilse
    2^M-1=(2xK+1)x(2xL+1) şeklinde veyahut
    2^M-1=(2xK+1)x(2xL+1)x(2xR+1) şeklinde üç terimli veyahut
    üçten çok terimli asal çarpanları olur. bunu görmek veya göstermek için biraz zihin eforu sarfedin lütfen.
    HN sayıları ise sadece tek terimli asal çarpanla ifade edilebilir yani asaldır.

  2. ipucu eksik kalmış.
    2^M-1 eğer asal değilse
    K,L >0 veya varsa ayrıca R>0 olmak kaydıyla
    2^M-1=(2xKxM+1)x(2xLxM+1) veyahut
    2^M-1=(2xKxM+1)x(2xLxM+1)x(2xRxM+1) şeklinde
    olmalıydı.
    şaşar beşer parmağı affedin lütfen.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');