İki Dakikada Matematik: Sanal Sayılar

Kafamızdan hayali sayılar üretebiliriz. Banka hesabımda bir milyar dolar var dersek bu bir çoğumuz için hayali bir sayı olur mesela. Fakat lise yıllarında karşımıza çıkan hayali sayıların bu durumla hiçbir ilgisi yoktur…

Sanal (imaginary) adının, reel sayılarda çözümü olmayan bazı denklemlerin çözümüne temel hazırlayabilmek adına filozof ve matematikçi Rene Descartes tarafından konduğu kabul edilmektedir.

Ancak isim kafa karıştırıcı…

Bundan dolayı da uzun süre varlığı ve yokluğu tartışmalara neden olmuş ve kafaları karıştırmış sayılar bunlar. Oysa ki günümüzde biliyoruz ki matematiksel açıdan durum net.

5 veya 7 ne kadar gündelik hayatın bir parçasıysa, bu sayılar da o kadar parçası.

Kendilerine market alışverişimiz esnasında pek ihtiyacımız olmasa da bir uçak tasarımcısı ya da elektrik mühendisi açısından sanal sayılar hayati öneme sahip.

Sanal sayılar tek başlarına bir anlama sahip olsa da asıl güçlerini bir reel sayı ile birleştikleri zaman ortaya koyarlar. Çünkü karşımıza yeni bir sayı sistemi çıkar. Bu sistemin adıda yine kulağa ürkütücü gelen karmaşık sayı sistemidir.

Karmaşık sayılar kuramının temelinde -1 ‘in karekökü yatar. Hemen devamında da akıllara şöyle bir soru gelir: Hangi sayıyı kendisiyle çarpınca -1 elde ederiz?

Sıfır dışında bir sayıyı kendisiyle çarparsanız yani karesini alırsanız hep pozitif bir sayı elde edersiniz hepinizin bildiği gibi.

Ancak x2+1=0 denkleminin kökü yani denklemi sağlayan sayı x2=-1 dir. Bu kulağa çok saçma geliyor değil mi, hani hiç bir sayının karesi negatif çıkmazdı?

Bu düşünce biçimi başlarda matematikçilerin önünde bir engel olarak duruyordu. Sayıların yapay insan icadı olduğunun kabullenilmesi matematikçilerin uzun zamanını aldı.

Karmaşık sayıların bulunması, daha mükemmel ve eksiksiz bir sayı sistemine kavuşmamızı sağladı.

Kendimizi reel sayı doğrusuyla kısıtladığımızda hiçbir sayının karesi negatif olamayacağından dolayı -1 ‘in karekökünün olmadığını görürüz. Eğer tüm sayıların reel sayılardan ibaret olduğunu kabul edersek, bu noktada pes etmemiz gerekir.

Pes etmek yerine yapılacak olan şey √-1 ‘e yeni bir kimlik vererek bunun da bir sayı olduğunu düşünmek ve bu yeni sayıya yeni bir simge (i) vermektir.

Artık zihnimizde de olsa sanal sayılar bir varlığa kavuşur. Ne işe yarayacaklarını başlarda tam olarak bilemesek de i2=-1 diye bir tanıma sahibiz.

Artık yeni sistemimizde 1, 2 gibi sayıların yanı sıra 1+2i, -3+i gibi sayılar da mevcut.

Peki ama bu sayıları nasıl göstereceğiz, bildiğimiz sayı doğrusu bunun için yeterli değil ki…

Matematikte bu önemli adımın atılarak tek boyutlu sayı doğrusundan iki boyutlu sayı düzlemine geçiş 19. yüzyılın başlarına rastlar.

Argand diyagramı

Karmaşık sayıları diyagram üzerinde göstermek istediğimizde iki boyutlu doğaları hemen kendini gösterir.

Kendisinden önce başka matematikçiler benzer önerilerde bulunsa da, bu gösterim biçimine İsveçli matematikçi Jean Robert Argand’ın adından dolayı Argand diyagramı denir.

Her karmaşık sayının “eşlenik” denilen bir “arkadaşı” bulunur. l + 2i’nin eşleniğini bulmak için sanal kısmının işaretini ters çeviririz: 1-2i. Aynı şekilde l -2i’nin eşleniği de 1+2i’dir, dolayısıyla arkadaşlıkları karşılıklıdır.

Birbirinin eşleniği iki sayıyı toplar veya çarparsak her zaman bir reel sayı elde ederiz. Dostlukları bir nevi birbirlerini tamamlar anlayacağınız…

Bu yeni sayılarımızla bildiğimiz tüm işlemleri yapabiliriz. Hatta biri dışında karmaşık sayılar reel sayıların tüm özelliklerine sahiptir: karmaşık sayıları pozitif ve negatif diye ayıramayız.

Karmaşık sayıların mistik ögelerden temizlenmesinde 19. yüzyıl matematikçisi Sir William Hamilton’un önemli katkısı olmuştur. Hamilton kuram açısından i’nin gizemli bir anlam taşımadığına kanaat getirerek √-1’i fazla dikkate almadan karmaşık sayıları sıralı ikili olarak (a, b) şeklinde yazabileceğimizi fark etmiştir.

Örneğin: 2+3i ile 8+4i’yi toplarsak (2+8) + (3+4)i =10+ 7i elde ederiz.

i’den arındırıldığında toplama şu şekli alır: (2, 3) + (8, 4)=(10, 7)

Hamilton yıllarca üç-boyutlu sayılar ve bunlarla ilgili bir aritmetik sistem oluşturmayı denediyse de dört boyuta geçene kadar başarı sağlayamadı.

Yani 4 boyutlu sayılar da var anlayacağınız ama o konuyu başka bir yazıya bırakalım…

Karmaşık sayılar konusu sadece cebirsel bir ifade olarak kalsaydı, soyut matematikçiler dışında fazla kişinin ilgisini çekmezdi muhtemel. Ama bilim ilerledikçe matematiğin ve fiziğin bir çok alanında karşılığını buldu.

Karmaşık sayılar ve karmaşık sayı içeren fonksiyon hesaplamaları günümüzde bilimin, mühendisliğin ve matematiğin bütün dallarında vazgeçilmez bir teknik olarak aktif biçimde kullanılmaktadır.

————————————————————————————————————–

* Michael Faraday 1830’larda alternatif akımı keşfettiğinde karmaşık sayılar fiziksel bir gerçekliğe büründü. Elektrikte i harfi genelde akımı göstermek için kullanıldığından √-1 için daha çok j harfi kullanılır.

Matematiksel


Hazırlayan: Sibel Çağlar

Avatar
Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.