Bir Dönemin Çıkmazı İ Sayısı ve Sanal Sayılar

Cebir, sayıları temsil etmek için x ve y gibi sembollerin kullanıldığı denklemlerin dilidir. Cebirde, “İkiye kaç eklersem sonuç sıfır olur?”, diye sorarız ve bilinmeyene x deyip, bu sorumuzu cebirsel olarak x + 2 = 0 biçiminde ifade ederiz. Cevap x = -2’dir. Her ne kadar cebir kullanışlı bir araç olsa da bazı durumlarda çözümde karşımıza negatif sayıları çıkması bir dönem matematikçiler arasında kafa karışıklıklarına yol açmıştı. Konuyu bu yazımızda ele almıştık. Neyse ki ilerleyen süreçte matematikçiler negatif sayılar konusunda ikna olunca bu sefer de karşılarına başka bir soru çıktı. Yeni bir soru sordular. “Hangi sayının karesi -1 yapar?” ya da cebirsel olarak ifade edersek x2=-1. Bu sorunun cevabının -1’in karekökü diğer deyişle x=√ -1 olacaktı.

İ Sayısı Ortaya Çıkıyor

Negatif bir sayının karekökünü düşünen ilk kişi, 1545’te İtalyan matematikçi Girolamo Cardano oldu. Ancak bununla uğraşmanın yararsız olduğunu düşünerek elde ettiği sonuçları görmezden geldi. Birkaç on yıl sonra, bu sayılar Rafael Bombelli‘nin dikkatini çekti. Ancak yanlış teknikler kullanarak kullanmaya çalıştığı için hesaplamalarının içinden çıkamadı. Sanal (imaginary) sayılar adı, reel sayılarda çözümü olmayan bazı denklemlerin çözümüne temel hazırlayabilmek adına filozof ve matematikçi Rene Descartes tarafından 1637 yılında verildi. Devamında da Euler bu sayılara bir kimlik kazandırdı ve bu sayede de √-1 , “i” olarak gösterilmeye başlandı. Artık zihnimizde de olsa sanal sayılar bir varlığa kavuşmuştu. Ne işe yarayacaklarını başlarda tam olarak bilemesek de i2=-1 diye bir tanıma sahip olmuştuk.

Negatif sayıların karekökleri günümüzde “sanal sayılar”, sanal olmayan sayılar ise “gerçek” sayılar olarak bilinir. Gerçek sayılar denmesinin nedeni onları sayı doğrusunda görebilmemiz ve orada olduklarını bilmemizdir elbette. Sanal sayılar tek başlarına bir anlama sahip olsa da asıl güçlerini gerçek sayılar ile birleştikleri zaman ortaya koyarlar. Çünkü karşımıza yeni bir sayı sistemi çıkar. Bu sistemin adı da yine kulağa ürkütücü gelen karmaşık sayı sistemidir. Karmaşık sayıların bulunması, daha mükemmel ve eksiksiz bir sayı sistemine kavuşmamızı sağladı. Artık yeni sistemimizde 1, 2 gibi sayıların yanı sıra 1+2i, -3+i gibi sayılar da vardı.

Sanal Sayılar Sayı Doğrusunda Nasıl Gösterilir?

Peki ama bu sayıları nasıl göstereceğiz, bildiğimiz sayı doğrusu bunun için yeterli değildir. Karmaşık sayı a + bi, karmaşık düzlemde koordinatlarla (a, b) olan nokta anlamına gelir. Matematikte bu önemli adımın atılarak tek boyutlu sayı doğrusundan iki boyutlu sayı düzlemine geçiş 19. yüzyılın başlarına rastlar. Kendisinden önce başka matematikçiler benzer önerilerde bulunsa da, bu gösterim biçimine İsveçli matematikçi Jean Robert Argand‘ın adından dolayı Argand diyagramı denir.

Bir Dönemin Çıkmazı İ Sayısı ve Sanal Sayılar
Argand diyagramı

Karmaşık düzlem mükemmel bir icattır. Sadece karmaşık sayıların nerede olduğuna dair bir harita sağlamakla kalmaz, aynı zamanda nasıl davrandıkları konusundaki anlayışımızı da zenginleştirir. Bu yeni sayılarımızla bildiğimiz tüm işlemleri yapabiliriz. Hatta biri dışında karmaşık sayılar reel sayıların tüm özelliklerine sahiptir: karmaşık sayıları pozitif ve negatif diye ayıramayız.

Karmaşık sayıların mistik ögelerden temizlenmesinde 19. yüzyıl matematikçisi Sir William Hamilton’un önemli katkısı olmuştur. Hamilton kuram açısından i’nin gizemli bir anlam taşımadığına kanaat getirerek √-1’i fazla dikkate almadan karmaşık sayıları sıralı ikili olarak (a, b) şeklinde yazabileceğimizi fark etmiştir. Örneğin: 2+3i ile 8+4i’yi toplarsak (2+8) + (3+4)i =10+ 7i elde ederiz. i’den arındırıldığında toplama şu şekli alır: (2, 3) + (8, 4)=(10, 7)

Karmaşık sayılar konusu sadece cebirsel bir ifade olarak kalsaydı, soyut matematikçiler dışında fazla kişinin ilgisini çekmezdi muhtemel. Ama bilim ilerledikçe matematiğin ve fiziğin bir çok alanında karşılığını buldu. Michael Faraday 1830’larda alternatif akımı keşfettiğinde karmaşık sayılar fiziksel bir gerçekliğe büründü. (Elektrikte i harfi genelde akımı göstermek için kullanıldığından √-1 için daha çok j harfi kullanılır.)

Sanal sayılar ve karmaşık sayılar günümüzde bilimin, mühendisliğin ve matematiğin bütün dallarında aktif biçimde kullanılmaktadır. Parçacık fiziği, elektrik mühendisliği gibi birçok bilimsel alan karmaşık sayılara güvenir. Aslında, kuantum mekaniğinin temel denklemi olan Schrödinger dalga denklemi de i sanal sayısını içerir.

GÖZ ATMAK İSTERSENİZ

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu