Fibonacci ve Sihirli Sayıları

Leonardo Bigollo (Leonardo Pisano or de Pisa) 12. ve 13. yüzyıllar arasında (1170-1240) İtalya’da yaşamış, o dönemde ön planda olan Romen rakamları sistemine sırtını dönmüş bir matematikçiydi ve tarih boyunca takma adı ile anıldı: fillius ve bonacci kelimelerinin birleşiminin bir türevi olan ve Latince ve İtalyanca’da “iyinin oğlu” ifadesine benzer bir anlam taşıyan Fibonacci.

İfade edildiğine göre Fibonacci’nin babası (Guglielmo) iyi de bir insan olmanın yanında Kuzey Afrika’ya yolculuklar yapan bir tacirmiş. Oğlu da burada Arap rakamlarının büyüsünü keşfetmiş.

Başka bazı matematikçiler ile birlikte Fibonacci sayesinde, Hint Arap sayı sistemi, Hindistan’dan İran’a ve daha sonrasında Orta Doğu ve Kuzey Afrika’ya, oradan da Avrupa’ya geçti. Onun Arap rakamlarını kullanma düşüncesi bütün sayılar ve oranlar ile çalışmayı, bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmayı, köklü sayıları vb. kapsıyordu. Fakat sayısız avantajlarına rağmen bu sistemi oturtmak kolay olmayacaktı.

O dönemde gerçekleşen Haçlı Seferleri üzerinde “Arap” etiketi olan herhangi bir şeyi şüpheli hale getiriyordu. Hatta 1299 yılında Arap rakamları, “üzerilerinde değişiklik yapılması Romen rakamlarına göre daha kolay” olduğu gerekçesiyle yasaklanmıştı.

Babasının işi dolayısıyla, birlikte Arap ve Akdeniz ülkelerine yaptıkları seyahatler sayesinde Fibonacci, Doğu ülkeleri (Mısır, Suriye, Cezayir, Yunanistan, vs.) dışında yaşayan büyük matematikçilerle tanışma şansı da yakalamıştı. Kendisi daha sonra İtalya’ya döndü ve 32 yaşındayken, Arap rakam sisteminin önemini açıklayan Liber abaci (1202) adlı kitabını yayımladı ve bu yöntemi ticaret dünyasında karşısına çıkan sorunlara (döviz alım satımı, ticari muhasebe, ağırlık ve uzunlukların birimlerini çevirmek vs.) uygulayarak Romen rakamlarından daha pratik olduğunu göstermeye uğraştı. Çeyrek asır sonra, 1227’de ise, “Liber abaci”’nin ikinci ve (el yazısı ile hazırlanan ilk metnin bir kopyası olmadığı için) referanslarda kastedilen versiyonunu yayımladı.

İtalya’ya döndükten sonra, kitabının ikinci versiyonunu adadığı ve ilham verdiği bir matematikçi ve astrolog olan Michael Scotus gibi kişilerle devam ettirdiği yazışmaları sayesinde Fibonacci’nin çalışmalarından haberdar olan Federico II de Hohentaufen (1194-1250) dönemin Roma imparatoruydu. Palermolu Johannes de Scotus gibi, sarayın bir parçasıydı ve Fibonacci’ye çözmesi için verdiği problem ile onun tarihe geçmesine ön ayak oldu.

Tavşan Problemi

Bir adam 4 tarafı duvarlarla çevrili bir alana 2 tavşan koyar. Eğer her ay her çift yeni bir çift doğuruyor ise, 1 yıl sonunda toplam kaç çift üremiş olur?

Fibonacci, bu soruyu “Flos (1225)” adını verdiği bir makalede ele aldı. Ayrıca, bu çalışmada tarihe Fibonacci sayıları olarak geçecek bir sayı dizisi üretti. Seri, 0 ve 1 sayıları ile başlayacak ve üçüncü elemandan itibaren önceki iki sayının toplamına eşit olacak şekilde düşünülmüştü. Bu seri yardımıyla Fibonacci tavşan problemini tavşanlar için biyolojik olarak çok isabetli bir model olmasa da çözmeyi başardı. Buna karşılık söz konusu model, bir kovanda sadece kraliçe arının yumurtalarını bırakarak üremeyi gerçekleştirdiği, arıların üreme şemasını mükemmel şekilde açıklıyordu.

  • Yumurtalar döllenirse işçi (dişi) arılar doğmaktadır. Bu arıların genetik bilgisinin yarısı anneden (kraliçe arı) yarısı da babadan (erkek arı) gelmektedir.
  • Yumurtalar döllenmezse erkek arılar doğmaktadır. Bu nedenle, işçi arıların iki erkek arıların tek ebeveyni vardır. Bunların genetik bilgilerinin tamamı anneden gelir.
Arıların soyağacını gösteren bir şema

Arılar tek istisna da değil; Fibonacci sayıları doğadaki birçok fenomenin perde arkasında bulunmaktadır: Taç yaprakların dizilimi, hortumların oluşumu vs. Peki bu nasıl mümkün olmaktadır? Bu sayıların kombinasyonu matematiksel bir sihir olarak düşünülebilir mi?

Etrafımızdaki birçok matematiksel yapının arkasında bulunan bu sayıların gizemi yüzyıllar boyunca uzmanları büyülemeye devam etti ve hatta günümüzde sadece Fibonacci sayılarının gözlemlenebildiği yeni alanları belirleyen yayınlar söz konusu.

Orta çağ matematiğinden “altın oran” kavramına

Peki gerçekte Fibonacci sayılarının ardında ne kadar “sihir” var? Fibonacci ne oranda bu sayıların ve aralarındaki ilişkiyi ortaya çıkaran oranın kaşifi sayılabilir?

Tarihe baktığımızda, Gopala (1135) ve Hemanchandra (1150) gibi birçok Hintli matematikçinin söz konusu formüle atıflar yaptığı göze çarpmaktadır; Fibonacci henüz doğmadan çok önce yaptıkları çalışmalarda bu formülden bahsedilmektedir. Birkaç yüzyıl sonra, Fibonacci dizisi üzerine yaptığı araştırmalar sonucu büyülenen Kepler ise “Strena Seu de Nive Sexangula” (1611) adlı eserinde tarihe “altın oran” olarak geçecek kavramı geliştirmiştir.

Kepler ardışık sayılar arasındaki oranı kullanarak diziyi yeniden keşfetmişti. 2’nin 3’e oranı, 3’ün 5’e, 5’in 8’e şeklinde devam ederek bütün elemanları inceledi. Bu işlemin sonucunda, her aşamadan sonra daha da belirginleşen bir oranın söz konusu olduğunu (altın oran) gördü. Bu oranı (Yunan heykeltıraş Fidas’ın onuruna, Fibonacci’nin değil) phi sayısı ile sembolize etti: φ = 1.618.

Kepler’in Fibonacci serisinden esinlenerek geliştirdiği biyolojik oto-replikasyon (kendini kopyalama) süreci kısa bir süre öncesine kadar (Phyllotaxis denilen ve yaprakların bitkilerin gövdesinde dizilişini ifade eden fenomen bilimsel olarak da incelenene kadar) biyologlar tarafından göz ardı edildi.

Pisa şehir mezarlığında bulunan Fibonacci heykeli

Ne şekilde olursa olsun, altın oranın doğumuna yol açan sayı dizisinin keşfi Fibonacci’ye matematikçilerin nezdinde ölümsüzlük verilmesine yetti. Bu doğrultuda 19. yüzyılda Pisa’da bir Fibonacci anıtı oluşturuldu ve halen bu heykel şehir mezarlığında ziyarete açıktır.

Deniz Karagöz

Kaynak: https://www.bbvaopenmind.com/en/fibonacci-and-his-magic-numbers/ 

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Deniz Karagöz

Hukuk eğitimi almış olmama rağmen matematik her zaman ilgimi çeken bir bilim olmuştur. Matematiksel.org bana bu ilgimi üretkenliğe çevirme şansı veren kaliteli bir ortam. Bu yüzden gerek çevirilerim gerekse yazılarımla katkıda bulunabilmek benim için oldukça anlamlı. Aynı zamanda buradan beslenerek öğrenmeye de devam ediyorum.

İyi okumalar

Bunlara da Göz Atın

Ramanujan: Sonsuzluğu Bilen Adam

Ramanujan bu sonlu hayat içinde sonsuzluğa en çok yaklaşabilmiş insanlardan biri. Ama onun da yanıldığı anlar oldu kaçınılmaz …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');