Matematiksel Dedektiflik Problemleri: Ters Problemler

Ters problemler matematiksel dedektiflik problemleridir. Bir ters probleme örnek olarak sadece gölgesi bilinen bir nesnenin biçimini bulmaya çalışmak gösterilebilir. Peki bunu yapmak gerçekten mümkün müdür?

Olaylara tersten yaklaşırken ne tarz hatalar yapmaya eğilimliyizdir ve ne kadar bilgiye ihtiyacımız vardır?

Herhangi bir olaya tersten yaklaşırken, hangi sebeplerin hangi sonuçlara yol açtığını anlamaya gereksinim duyarız. Bu gereksinimi karşılamanın yolu da çözmeye çalıştığımız olayın matematiksel modelini oluşturmaktan geçer. Matematikten faydalanarak, bilinen etkilerden yola çıkar ve olası sebeplere gideriz. Işık kaynağının zıt yönünde oluşan gölgeye hangi biçimdeki bir nesnenin sebep olduğuna karar vermek gibi…

Ayrıca, matematikten, oluşturduğumuz modelin sınırlarını belirlemek ve cevabın doğruluğunu ölçmek için de yararlanırız.

Örneğin, iki nesnenin oluşturduğu gölgelerin verildiği aşağıdaki görselde, farklı sebepler (farklı biçimlerdeki nesneler) çok benzer etkilere (benzer gölgelere) yol açmıştır.

nesne gölgeleri,silindir gölgesi,küp gölgesi

Uydu görüntülerinden karayı veya denizi uzaktan algılamak, medikal görüntüleri kullanarak tümörleri teşhis etmek, sismografları yorumlayarak petrol aramak gibi çeşitli durumlar da ters problem örnekleri olarak verilebilir.

Ters problemler yardımıyla suçla savaşmak

Matematiği düşününce akla gelen ilk örnek değil belki ama, başka bir ters problem örneği olarak, suçla savaşmayı da sayabiliriz. Bir suç işlendiğinde, polis olay yerinde bırakılan tüm kanıtlara bakar ve orada tam olarak ne olduğunu ve suçu kimin işlediğini bulmak için ters yönlü çalışır. Olay yerinde bırakılan bir kanıt, sıklıkla, iyi anlaşılmış fiziksel bir sürecin sonucu olur.

Haydi gelin şimdi, bir polis istasyonundaki sıradan bir günü düşünelim ve matematiğin suçla savaşmaya nasıl yardım edebileceğine bir göz atalım.

Bunu yapmak için, bir araba kazasını araştırdığımızı varsayalım ve şu sorunun cevabını arayalım: araba hız yapıyor muydu?

lastik izi,ani frenleme

Olay yerindeki kanıtların, olaya dahil olan araçlarda meydana gelen çarpışma izleri, tanık raporları ve yolda bırakılan fren izleri olduğunu varsayalım. Yoldaki fren izlerini incelemek, kazayı meydana getiren koşulları tekrar inşa etmeye yardımcı olabilir.

Bu izler, aracın hızına bağlı olarak oluşabileceği gibi, izlerin oluşmasında, aracın fren kuvveti, yolda oluşan sürtünme ve diğer araçlarla olan etkiler gibi faktörler de etkilidir.

Matematiksel olarak bu olayı modellemek için mekaniği kullanabiliriz. s , fren izinin uzunluğunu; u, aracın hızını; g, yerçekimine bağlı olarak oluşan ivmeyi ve μ frenleme veriminin sürtünme süresi katsayısını göstermek üzere aşağıdaki model, olayın sebebini (aracın hızını), olayın sonucuna (fren izinin uzunluğuna) bağlar:

denklem

Bu ifade yeniden düzenlenerek,

denklem

biçiminde yazılabilir. Bu durumda gerekli bileşenlere sahip olduğumuz müddetçe, merak ettiğimiz sorunun cevabına ulaşabilir ve aracın minimum hızını hesaplayabiliriz.

Ters problemler yardımıyla hayat kurtarmak

Yakın zamana kadar, bedenimizde hissettiğimiz sorunların kaynağına ulaşmak için, bıçak altına yatmamız gerekiyordu ve bu durum özellikle beyinle ilgili problemlerde önemli riskler yaratıyordu. Günümüzde, doktorlar artık tamamen güvenli bir biçimde bedenimizi tarayacak teknikleri kullanmaya yetkin haldeler.

Bu tekniklere örnek olarak, bedenden X-ışınları geçerken, bedende oluşan etkileri belirleyen CAT taraması gösterilebilir. Bu tarama sırasında, hasta aletin ortasındaki delikten geçecek biçimde muayene masasına uzanır. Bu delik, hastanın etrafında dönen X-ışın kaynağını içerir. Bu kaynaktan geçen ışınlar hastadan geçer ve diğer tarafa yansır. Böylece, X-ışınlarının yoğunluk seviyesi ölçülerek, çeşitli sonuçlar elde edilir.

X-ışını hastadan geçerken, ışının yoğunluğu azalır. Bu azalma ışının hangi maddeden geçtiğine göre değişir: ışının yoğunluğu bir kemikten geçerken daha azken; aynı yoğunluk, bir kastan, bir iç organdan veya bir tümörden geçerken daha çoktur.

Aşağıda çok sayıda X-ışınına maruz kalmış bir nesne ve ışınların yoğunluğunu ölçen bir dedektör görüyoruz. Burada, bazı X-ışınları nesnenin tamamından geçerken ve kuvvetlice emilirken böylece (detektörün ortasında kaydedilen) yoğunlukları düşükken, diğer ışınlar nesneden daha az geçiyor ve çok daha az kuvvette emiliyor. Nesne, X-ışınlarında bir gölge oluşturuyor ve böylece nesnenin boyutları belirlenebiliyor.

problemler,x ışını nesne yayılımı

X-ışınının, detektöre çarptığı yerdeki yoğunluk, nesnenin biçimine ve ışının hem nesne hem de hava boyunca aldığı yolun uzunluğuna bağlı olarak değişiyor. Nesneden geçen X-ışınlarının birçok farklı açıdan doğru ölçümlenmesiyle, nesnenin büyüklüğü ve biçimi yeniden inşa ediliyor.

Matematik günü kurtarıyor

Birçok matematikçi, daha çok hayat kurtarmayı umut ederek, hasta üzerindeki taramayı kolaylaştıracak ve doktorlar için daha faydalı olacak bu tekniklerin doğruluğunu ve etkisini geliştirmek üzere çalışmalarına devam etmektedir.

Bu yazıda, ister bir aracın tekerlek izi, isterse bir beden taramasında belirlenen X-ışınları yardımıyla, sondan başa giderek, olayları yeniden inşa etmemize yarayan iki ters problem örneğinden bahsettik. Ters problemlerin, içinde bulunduğumuz durumu anlamamıza sebep olarak günü kurtardığı daha birçok yer var. O da başka bir yazının konusu olur belki…

Kaynak ve ileri okuma: https://plus.maths.org/content/fighting-crime-inverse-problems

Fatma Ayca Cetinkaya

Matematik alanındaki lisans derecemi Ankara Üniversitesi'nden, yüksek lisans ve doktora derecelerimi Mersin Üniversitesi'nden aldım. Halen Mersin Üniversitesi Matematik bölümünde Doktor Öğretim Üyesi unvanıyla çalışmaktayım.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Kapalı