Temel Matematiksel Kavramlar

Matematikte İspat Neden Önemlidir ve Nasıl Yapılır?

Matematikte ispatın önemi çok büyüktür. İspatlanmayan bir ifade (aksiyom ya da belit değil ise) matematikçiler tarafından doğru kabul edilemez. İspat yapmak için de matematikçilerin takip edebilecekleri belli yollar vardır, bunlara ispat yöntemleri denir. İspat yöntemleri de bunun için çok önemlidir. Kişi ne kadar fazla ispat yöntemi bilir ise önermeleri kanıtlamak için de elinde o kadar farklı yol olur.

P. Oxy. 29, Binlerce yıldır ispat yöntemlerini öğretmek için kullanılan bir ders kitabı olan Euclid’in Elemanlar isimli kitabından elimize ulaşan en eski parçalarından biri; Kaynak: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof#/media/File:P._Oxy._I_29.jpg

Doğrudan İspat Yöntemleri

İspat yöntemlerimize geçmeden önce yukarıdaki tabloya hatırlamakta fayda var.

Doğrudan İspat

Doğrudan ispat yöntemleri, ispat yaparken çoğunlukla öğrencilerin aklına ilk gelen ispat yöntemleridir. Bu yöntemler genellikle koşullu önermelerin (p ⇒ q) kanıtında kullanılırlar. Koşullu önermeleri ispatlarken varsayımı/hipotezi (p) doğru kabul ederiz ve daha önceden doğruluğu kanıtlanmış teoremleri veya ispatları kullanarak sonuca (q) ulaşmaya çalışırız. Örneğin,

1. Önerme: İki çift sayının toplamı çifttir.

İspat: Öncelikle önermemizi şöyle yazalım. ‘Eğer a ve b çift sayılar ise  bir çift sayıdır.’ Bu şekilde yazdığımızda önermemiz koşullu olduğu daha belirgin hale gelir. O zaman şöyle yazabiliriz.

  • p ⇒ q: Eğer a ve b çift sayılar ise a+b bir çift sayıdır.
  • p: a ve b çift sayılardır.
  • q: a+b bir çift sayıdır.

Şimdi ispatımıza geçelim. Koşullu önermedeki hipotez kısmını doğru kabul edelim, yani a ve b birer çift sayı olsun. Şimdi de çift sayının tanımını hatırlayarak şunu yazabiliriz. a ve b birer çift sayı olduğu için öyle k ve t sayıları vardır ki a=2k ve b=2t eşitliklerini sağlasınlar. O zaman a+b=2k+2t=2(k+t) olur. m=k+t olsun. Buradan da a+b=2m olur demek ki a+b sayısı çift saydır.

2. Önerme: x, y, ve z  birer reel sayılar olsunlar. Eğer x<y ve u<v ise x+u<y+v.

İspat: Bu önermeyi de aşağıdaki gibi düzenleyebiliriz.

  • (p ∧ q) ⇒ r: Eğer x<y ve u<v ise x+u<y+v.
  • p ∧ q: x<y ve u<v
  • p: x<y
  • q: u<v
  • r: x+u<y+v

Bu ispatta p ∧ q önermesini doğru kabul edeceğiz. Bu önermeyi doğru kabul etmek demek p ve q önermelerini ayrı ayrı kabul etmek demektir. Artık ispatımıza geçebiliriz. x<y eşitsizliğinin iki tarafına u da ekleyelim: x+u<y+u. Benzer şekilde u<v eşitsizliğinin de iki tarafına y ekleyelim: u+y<v+y . En son bulduğumuz iki önermeyi şöyle birleştirebiliriz: x+u<y+u=u+y<v+y. Buradan da sonucumuzu elde ederiz: x+u<y+v.

Durum Analizli İspat

Durum analizli ispat, bir nevi ispatımızı kolaylaştırmanın bir yoludur. Eğer ispatlamamız gereken önerme birden fazla durum içeriyorsa, bu durumları parçalara ayırarak bunları ayrı ayrı ispatlarız. Örneğin,

Önerme: 1+(2n-1)(-1)n ifadesi bütün n tamsayıları için 4’ün bir katıdır.

İspat: Şimdi buradaki (-1)n ifadesine dikkat edelim. Bu ifade, n tek bir sayı iken negatif, çift bir sayı iken ise pozitif bir sayıdır. O zaman bu önermeyi aşağıdaki şekilde iki duruma ayırabiliriz.

1. Durum: n bir çift tam sayı olsun. O zaman k herhangi bir tamsayı olmak üzere n=2k diyebiliriz. Bu da bizim ifademizi şu hale sokar: 1+(4k-1)(-1)2k=1+(4k-1)=4k. Buradan da bu durum için önermemizi ispatlamış oluruz.

2. Durum: n bir tek tam sayı olsun. Benzer bir şekilde k herhangi bir tamsayı olmak üzere n.=2k+1 diyebiliriz. O zaman ifademiz şu hale gelir: 1+(-1)2k+1(4k+2-1)=1+(-1)(4k+1)=-4k. Buradan da bu durumu da kanıtlamış oluruz. Ve de ispatımızı da bitirmiş oluruz.

Dolaylı İspat Yöntemleri

İki tane dolaylı ispat metodu vardır. Bunlar: karşıt ters metodu ve olmayana ergi metodudur.

Karşıt Ters Metodu

Sadece koşullu önermelerin ve ancak ve ancak önermelerinin karşıt tersi alınabilir. Bir önermenin karşıt tersi o önermeden elde edilen ve aynı doğruluk değerine sahip olan başka bir önermedir. Karşıt ters metodu, bir önermenin normal halini ispatlamak çok kolay olmadığında kullanılan bir metottur.

Önerme: x bir tam sayı olsun. Eğer 7x+5 bir tek tamsayı ise x bir çift tamsayıdır.

İspat:

  • p ⇒ q: Eğer 7x+5 bir tek tamsayı ise x bir çift tamsayıdır.
  • p: 7x+5 bir tek tamsayıdır.
  • q: x bir çift tamsayıdır.

Şimdi bu önermeyi ispatlamak yerine karşıt tersini ispatlayalım.

  • ¬p: 7x+5 bir çift tamsayıdır.
  • ¬q: bir tek tamsayıdır.
  • ¬q ⇒ ¬p: Eğer bir tek tamsayı ise 7x+5 bir çift tamsayıdır.

Burada sonrasını ise doğrudan ispat yöntemini kullanarak kanıtlayacağız. Önermenin hipotez kısmını (¬q) doğru kabul edelim. O zaman şöyle diyebiliriz öyle bir k tamsayısı vardır ki x=2k+1 olsun. Buradan şu sonuç çıkar: 7x+5=7(2k+1)+5=14k+12=2(7k+6). Görülebileceği gibi 7x+5 bir çift tamsayıdır. Önermemizin karşıt tersi doğru olduğu için direkt olarak önermemiz de doğrudur diyebiliriz.

Olmayana Ergi Yöntemi

Gelelim en popüler ispat metotlarından birine: olmayana ergi. Bu yöntemin popüler olma sebeplerinden birisi de Öklid’in bu metodu asal sayıların sonsuzluğunu ispatlarken kullanmasıdır. Olmayana ergi yöntemi neredeyse her çeşit önermelerde kullanılabilir. Koşullu önermelerde bu ispat yöntemini kullanırken, koşullu önermemizin sonuç kısmının tersini doğru kabul ederiz (sonucun yanlış olduğunu varsayarız) ve buradan bir çelişki bulmaya çalışırız. Diğer önermelerde ise, tüm önermenin yanlış olduğunu kabul edip yine ortaya bir çelişki çıkarmaya çalışırız. Örneğin,

1. Önerme: Sonsuz sayıda asal sayı vardır.

İspat: Olmayana ergi yöntemini kullanarak önermemizin yanlış olduğunu varsayalım. O zaman şu önermeyi doğru kabul edeceğiz: ‘Sonlu sayıda asal sayı vardır.’ Bu önermeyi doğru kabul ettiğimize göre en büyük asal sayı olmak zorunda. Bu asal sayıya pn diyelim. Şimdi şöyle bir x sayısı tanımlayalım, x sayısı bütün asalların çarpımından bir fazladır. Demek ki,

Görünen o ki, x sayısı hiçbir asal sayıya tam bölünemiyor, hep 1 kalan veriyor. Buradan şu sonuç çıkar: x de bir asal sayıdır. Fakat x bariz bir şekilde pn asalından (en büyük asaldan) büyük. Bu bir çelişkidir. Demek ki sonsuz sayıda asal varmış.

2. Önerme: Eğer a2 çift sayı ise a çifttir.

İspat: Bu koşullu önermenin ispatında yukarıda bahsettiğimiz gibi önermenin sonuç kısmını yanlış kabul edeceğiz. Ve de aynı doğrudan ispat yaparmış gibi önermemizin hipotez kısmını doğru kabul edeceğiz.

  • p ⇒ q: Eğer a2 çift sayı ise a çifttir.
  • p: a2 çift sayıdır.
  • q: a çifttir.

O zaman hem a tek sayıdır hem de a2 çift sayıdır diye kabul edeceğiz. Demek ki öyle bir k tam sayısı vardır ki a=2k+1. Buradan da a2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1 çıkar yani a2 bir tek sayıdır. Fakat biz a2’nin çift sayı olduğunu kabul etmiştik. Bu bir çelişkidir. Demek ki a bir çift sayıymış.

Diğer İspat Yöntemleri

Ancak ve Ancak Önermelerinin İspatları

Aşağıdaki tabloda da görülebileceği gibi ancak ve ancaklı önermelerin doğruluk değeri ile, iki koşullu önermenin ve bağlacıyla bağlanmış halinin doğruluk değeri denktir. Bu da demektir ki ancak ve ancaklı önermeler bu iki koşullu önerme ayrı ayrı ispatlanırsa ispatlanmış olurlar. Bu iki koşullu önermeyi ispatlarken istediğimiz metodu kullanabiliriz.

Önerme: 5x+3 sayısı çifttir ancak ve ancak tektir.

İspat:

  • p ⇔ q: 5x+3 sayısı çifttir ancak ve ancak tektir. 
  • p: 5x+3 sayısı çifttir. 
  • q: x tektir.

O zaman ilk koşullu önermemizi (p ⇒ q) ispatlayarak başlayalım.

  • p ⇒ q: 5x+3 sayısı çift ise x tektir.

Bu önermeyi olmayana ergi yöntemi ile ispatlayabiliriz. Öyle ki hem 5x+3 sayısını hem de x sayısını çift kabul etmemiz gerekir. Demek ki öyle bir k tamsayısı var ki x=2k olur. Buradan da 5x+3=10k+3=2(5k+1)+1 sayısı bariz bir şekilde tek sayı olduğu çıkar. Fakat biz 5x+3 sayısını çift kabul etmiştik. Bu bir çelişkidir. Ve de ilk önermemiz kanıtlanmış olur.

Şimdi ikinci koşullu önermemize (q ⇒ p) geçelim. q ⇒ p: x sayısı tek ise 5x+3 sayısı çifttir.

Bu önermeyi ise doğrudan ispat yöntemini kullanarak kanıtlayalım. x sayısının tek olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir k tamsayısı var ki x=2k+1  olur. Demek ki 5x+3=5(2k+1)+3=10k+8=2(5k+4) sayısı çifttir.

İki koşullu önermeyi ((p ⇒ q) (q ⇒ p)) de ispatladığımıza göre ancak ve ancaklı önermemiz de ispatlanmıştır.

Tümevarım

Bir diğer popüler ispat metodu ise tümevarımla ispattır. Tümevarımla ispat yöntemini domino taşlarının devrilmesine benzetebiliriz. Tümevarım ispatında iki çok önemli adım vardır, bunlar: başlangıç adımı ve tümevarım adımıdır. Yine domino benzetmesinden yola çıkarsak, başlangıç adımını kişinin en baştaki domino taşını itmesine ve tümevarım adımını da her bir taşın bir sonraki taşı devireceği garantisine benzetebiliriz. Tümevarımla ispat yöntemi basitçe şöyle takip edilebilir:

2. adımda koşullu önermeyi ispatlarken Pn hipotezine tümevarım hipotezi deriz. Örneklendirelim. Önerme: x>0 olsun. O zaman her n=1,2,3,4… için (1+x)n ≥ 1+nx.

İspat:

  • Pn: (1+x)n ≥ 1+nx
  • Pn+1: (1+x)n+1 ≥ 1+(n+1)x
  • P1: (1+x)1 ≥ 1+1x

Şimdi yukarıda verdiğimiz yolu takip edelim. P1 önermesinin doğru olduğu barizdir: 1+x ≥ 1+x. İkinci adımla devam edelim. n ≥ 1 için Pn ⇒ Pn+1 önermesini kanıtlamamız gerekiyor.

Karşımızda şu an bir koşullu önerme var ve bu önermeyi doğrudan ispat yöntemini kullanarak kanıtlayacağız. O zaman tümevarım hipotezinden yola çıkarak Pn+1 önermesine ulaşmak için bu eşitsizliğin iki tarafını da (1+x) ile çarpalım. Buradan (1+x)n+1 ≥ (1+nx)(1+x)=1+nx+x+nx2 ≥ 1+nx+x=1+(n+1)x elde ederiz. O halde Pn+1 de doğrudur. Demek ki tümevarım yöntemine göre her n=1,2,3,4… için (1+x)n ≥ 1+nx.

Matematiksel

Övünç Özgün Eker

Boğaziçi Üniversitesi matematik bölümü öğrencisiyim. Matematikle alakalı yeni şeyler öğrenmeyi oldum olası sevmişimdir. Bu yüzden de matematik hakkında okumaya uzun süredir meraklıyım. Öğrendiklerimi paylaşmayı da çok severim bu yüzden de buradayım! İyi okumalar...

2 Yorum

  1. Yazmayı düşündüğüm yazıları biri yazınca hem bozuluyorum hem de biraz seviniyorum. Elinize sağlık, güzel olmuş.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.