Feynman’ın Kayıp Dersi

“Doğanın güzelliklerinin, derin bir matematik anlayışı olmayan kimselerin duyumsayabileceği bir şekilde açıklanamayacağını vurgulamak istiyorum. Üzgünüm, ama durum böyle görünüyor.”
“Bir şeyi basit bir şekilde açıklayamıyorsan, onu yeterince iyi anlamamışsın demektir.”
Richard P. Feynman
&
Bu yazıda “Feynman’ın Kayıp Dersi” adlı kitap ana kaynak olarak kullanılmıştır.

Kepler’in İkinci Yasasına Dair

Kepler’in  güneş sistemimizi daha iyi anlamamızı sağlayan yasalarından ikincisi bizim bu yazımızın ana konusunu teşkil edecektir.

Yasa 1: Her gezegen, odak noktalarından birinde Güneş’in bulunduğu eliptik yörüngelerde dolanır. (yörüngeler yasası)

Yasa 2: Gezegenler yörüngeleri etrafında eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar. (Alanlar yasası)

Yasa 3: Gezegenlerin güneş etrafında dolanım periyotlarının karesi, gezegenin Güneş’e olan ortalama uzaklığının küpüne oranı sabittir. (periyotlar yasası)

Aşağıda yer alan iki yasa da Newton’a aittir. Ve Newton’un Principia’sında geçtiği şekliyle Kepler’in ikinci yasasının ispatını yapacağız. Bunun için de Newton’un bu iki yasasını ve biraz da vektör bilgisini kullanacağız.

Yasa 1: Üzerine kuvvetler etki ettirilerek durumu değiştirilmeye zorlanmadıkça, her cisim kendi durgun durumunu ya da düz çizgi üzerindeki düzgün hareket durumunu sürdürür. (Eylemsizlik yasası)

Yasa 2: Hareketteki değişme, etki eden hareket sağlayıcı kuvvetle orantılıdır; ve bu değişme, kuvvetin etki ettiği doğrunun yönünde olur.

Dünyamıza eğer Güneşin bir etkisi olmasaydı Newton’un birinci yasasına göre (Eylemsizlik yasası) Dünya var olan sabit hareketini sürdürürdü. Yani t gibi bir zamanda A noktasına gelen dünya aynı yönde bir t süre sonra da b noktasında olurdu. Fakat Güneşin çekme kuvveti*, dünyanın bu hareketini mümkün kılmaz tam tersine kendine doğru bir yönelme hareketine sebep olur.

* “Newton’un kütle çekim yasası: Kuvvetin iki cismin kütlelerinin çarpımıyla orantılı, uzaklığın karesiyle ters orantılı olduğunu ve cisimlerin kuvvete karşı tepkilerini hız değiştir
erek veya hareketlerini kuvvet doğrultusunda, kuvvetle doğru orantılı, kütlelerle ters orantılı olarak değiştirerek gösterdiklerini söylemiştim. Bunlar sözcüklerdir; denklem yazmayı gerektirmezler. Yine de bir bakımdan matematikseldirler ve bu nedenle temel bir yasa oluşturduklarını merak ederiz.

Gezegen ne yapıyor?

Güneşe bakıp, ne kadar uzakta olduğunu görüp, içindeki bir hesap makinesini kullanarak uzaklık karesinin tersini alıp ne kadar yol alması gerektiğini mi buluyor?

Kütleçekim mekanizmasının açıklaması bu olamaz. Daha ötesini bilmek isteyebilirsiniz; bir çok kişi de istedi. Başlangıçta Newton, teorisi konusunda sorgulanmıştı: “Ama bu bir şey ifade etmiyor; bize bir şey anlatmıyor.” O da “Size nasıl hareket ettiğini söylüyor; bu yeterli olmalı. Ben de size nasıl hareket ettiğini söyledim, neden öyle olduğunu değil” yanıtını vermişti.

 

Dünyanın kuvvet uygulanmamışken ki Ab hareketi ile güneşin uyguladığı kuvvet neticesinde oluşan AV hareketi birleşince (paralelkenar metodu) gerçek hareketi olan AB oluşacaktır.

 

Yine aynı şekilde düzgün doğrusal hareketini devam ettirmek isteyen dünya Bc yolunu izleyecekken Güneş tarafından uygulanan kuvvet neticesinde BY hareketiyle birleşince Bc yerine BC yolunu seyretmiştir. Ve bu böylece sürüp gidecektir.


Bizim asıl merak ettiğimiz şey ise Kepler yasalarından biri olan gezegenlerin eşit zamanlarda eşit alanlar süpürdüğünü göstermektir.  


DA ile Ab uzunluklarının eşit olmasının sebebi dünyanın eşit zaman aralığında aldığı yol olduklarındandır. Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin, eşit olan yüksekliklere ait taban uzunlukları oranı da alanları oranını verir. Bu bilgilere dayanarak DGA üçgensel bölgenin alanı ile GAb üçgensel bölgenin alanı eşittir. Ama dünyanın yörüngesi DAb doğrultusunda değil, DAB doğrultusunda gideceğinden bizim DGA üçgeni ile GAB üçgenlerinin alanlarını karşılaştırmamız gerekecek.


GA yı taban olarak kabul edersek GAb üçgeni ile GAB üçgenin bu tabana ait yükseklikleri eşit. Dolayısıyla alanları da eşit olmak zorundadır. Bir önceki resimde GDA üçgeni ile GAb üçgenlerinin alanlarını eşit bulmuştuk, şimdi de GAb üçgeni ile GAB üçgenlerinin alanlarını eşit bulduk. “Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.” sözünün gereği GDA üçgeni ile GAB üçgenlerinin de alanları eşit olmak durumundadır. Buradan da Dünyanın eşit zaman aralıklarında eşit alanlar taradığı sonucuna varabiliriz.


Newton’un Principia’sında bu önermenin geçtiği yerdeki diyagram yukarıda verilmiştir. S noktası ile ifade edilen Güneştir ve ABCDEF Dünyanın doğrultusudur. Vardığımız sonuca göre

A(SAB)=A(SBC)=A(SCD)=A(SDE)=A(SEF) dir.

Aykut ÇELİKEL

Kaynakça:

1. Fizik Yasaları Üzerine, Richard Feynman, (çev. Nermin Arık)

2. Feynman’ın Kayıp Dersi, David L. Goodstein, Judith R. Goodstein (çev. Zekeriya Aydın)

Matematiksel

Paylaşmak İyidir

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

Bir Asal Sayı Teoremi ve 350 Yıl Sonra Gelen Tek Cümlelik Kanıt

Asal sayılar, geçmişten günümüze dek pek çok insanın ilgisini çekmeyi başarmıştır. Bu yazımızda da yine …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');