Bir Teneke Kutunun İçinde Kaç Top Sallayabilirsiniz?

A beautiful collection of marbles

Aynı büyüklükte, belirli sayıda birçok topu alıp, küp biçiminde bir teneke kutuya koyun. Onları yavaşça sallayın ve kaptaki düzeylerini ölçün. İşlemi tekrarlayın ve tekrar ölçün.

Kaç defa tekrarlarsanız tekrarlayın, bu düzeyin hiç değişmediğini fark edeceksiniz. Toplar her seferinde kesin olarak aynı düzen içinde olacak.

Konumuz bir hacim içine küreleri en iyi nasıl yerleştireceğimiz ise bu bağlamda en büyük paketleme oranından söz ederiz, bu oran topların kutuda kapladıkları nihai hacmin kutunun hacmine oranıdır. Bu orana f dersek toplar arasındaki kaçınılmaz boşluklar da f’den geriye kalan, 1 — f oranıdır, öyle ki bu iki bölümün (dolu ve boş) toplamı l’dir.

Deneyler, f sayısının hesaplanabilir olduğunu ve yaklaşık f = 0,64 olduğunu göstermektedir.

Şimdi, soruyu biraz değiştirelim. Toplârı sallamak yerine onları rastgele değil de tekrarlanan bir düzenle yerleştirsem ne olur?

Bahsettiğimiz pazara gittiğinizde meyve reyonlarında gördüğümüz düzen…

Önce düz bir yüzey üzerine her biri diğer ikisine değecek şekilde üç küre konulur. Bunların merkezleri bir eşkenar üçgen oluştururlar. Şimdi bu birinci katın üstüne ikinci bir kat küre yerleştiririz; bu küreleri, ilk kattaki küre üçgenlerinin bıraktıkları çukurluklara koyarız. Bitmiş ikinci kat, birinci katın aynıdır, ancak yatay olarak biraz kaymıştır, yani herhangi iki kürenin merkezleri dikey olarak üst üste değildir.

Aynı şekilde, çukurlukların içine yeni küreler koyarak başka katmanlar da inşa ederiz ve sonunda tam bir üç boyutlu, düzenli yığın ortaya çıkar. Biraz cebir ve geometri kullanımı ile bunun paketleme oranı olan f için pi bölü 18’in karekökü sayısını buluruz. Bu başı 0,74048… olan irrasyonel bir sayıdır. Öyleyse bu depolamada toplar, var olan boşluğun neredeyse % 75’ini doldururlar.

Bunun, düzenli bir paketleme ile elde edilebilecek en yoğun (yani en büyük f değeri) paketleme olduğu bilinmektedir; ispatı da 1831’de Gauss tarafından yapılmıştır.

Görebileceğiniz gibi dikkatli bir planlama rastgele bir sallamadan daha başarılıdır. Ancak kesin matematiksel ispat bakımından bu soru yanıtlanmamıştır; çünkü çok zekice oluşturulmuş, düzenli olmayan (yani kendisini düzgün aralıklarla tekrarlamayan) ve daha yoğun bir paketlemeyi başaran bir sistemin var olamıyacağı kanıtlanmamıştır.

Matematikçilerin, kanıtlamayı başardıkları tek şey üç boyuttaki küre paketlemesinde, hiçbir paketlemenin yaklaşık 0,7796’dan büyük bir paketleme faktörünün f değerini alamayacağıdır.

Konumuz bağlamında “öpen sayı” olarak sevgiyle söz edilen sayıya biraz dikkat verelim şimdi.

Öpen sayı, merkezi bir küre etrafına birbirlerine ve ortadaki küreye değecek şekilde yerleştirilebilen aynı boyuttaki kürelerin sayısıdır. İki boyutta bu sayı 6 bulmak için de cebinizdeki bozuk paralar ile yapacağınız basit bir deney yeterli. Bir tanesini masanın üstüne koyun ve diğerlerini (aynı boyutta) onun çevresine, hepsi ilk paraya değecek biçimde yerleştirin. Ancak üç boyutta işler bu kadar kolay değil…

Hatta bu problem 1649 yılında iki matematikçiyi karşı karşıya getirmiş durumda. Bu kişiler David Gregory ve Sir Isaac Newton.

Newton öpme sayısının 12 olduğunu ileri sürüyordu, Gregory, kanıtlayamadığı halde, bu sayının 13 olduğuna inanıyordu. Bunun temelinde yatan düşünce, birbirlerine değen kürelerin ortadakinin çevresinde, aradaki açıklıkların hepsi aynı yönde olacak şekilde döndürüldüğünde, ortadaki küreye değebilecek bir fazla küreye, yer açılabileceğine dayanıyordu. Bu yolla açılan aralığın bir fazla kürenin sığmasını sağlayacak kadar büyük olmadığı ancak 1874 yılında kanıtlanabildi. Böylece bu öpme probleminin doğru yanıtı Newton’unkidir; yani 12.

Uzayı şekilleri aynı olan blokları yan yana getirerek doldurma, geometrinin çok eski ve zor bir problemidir ve 2300 yıl öncesine, Aristoteles dönemine uzanır. Onun iddiası (artık onun yanlış olduğunu biliyoruz) var olan düzgün beş cisimden (bunlar bütün kenar uzunlukları ve açılan eşit olan şekillerdir) küp ve dörtyüzlü birlikte paketlendiklerinde boşluğun tam olarak dolduğu yolundaydı.

Düzgün geometrik cisimlerin keşfedilmesi ve bunların sadece beş tane olduğunun ispatı Eski Yunan’ın en büyük matematiksel başarılarından birisidir. Bunlar Eukleides tarafından ayrıntılarıyla incelenmişlerdir. Bu cisimlerin, bütün maddeleri oluşturan nihai parçacıklar (ya da atomlar) olabileceklerini ilk ileri sürenin Plato olduğu sanılıyor. Aristoteles, Plato’nun argümanının gerçekle bağdaşmadığını, çünkü bu temel üç boyutlu beş şekilden yalnızca ikisinin birleşerek boşluğu, aralık bırakmadan doldurduklarını söyledi. Aristoteles’in düşüncesine göre aralık boşluk demekti ve doğada boşluk olamazdı. Bilmeden, bir kutuya doldurulan toplarla ilgili bir hata yaptığını fark edemedi!

Aristoteles bu hatayı yaptıktan sonra ortaya çıkan kargaşanın düzeltilmesi 18 yüzyıl aldı. Ondan sonra bile Aristoteles’in yanlışı, varlığını farklı biçimlerde, uzun zaman sürdürdü, birçok boşluk doldurma probleminde kafaları karıştırdı.

Peki, küre paketlemede bu bizi nereye götürüyor?

Matematikçiler hâlâ küreleri f = 0,74048’den daha verimli olarak rastgele paketleyecek bilgisayar algoritmaları bulmaya çalışıyorlar ancak, maalesef, henüz başaramadılar. Artık, doğanın, belki de, doğru yanıtı biliyor olabileceğinin kuvvetle olası olduğu düşünülüyor, çünkü doğanın f = 0,64 değeri, en gelişmiş bilgisayarla bile elde edebildiğimiz en iyi değer.

İleri okumalar: Malcolm E. Lines, Bir Sayı Tut, syf: 169 – 185

Matematiksel

Hazırlayan: Sibel Çağlar

Avatar
Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.