Köningsberg Köprüsü ve Topolojinin Doğuşu

Matematiğin önemli dallarından bir tanesi de topolojidir. Topoloji nesneleri yırtmadan kesmeden farklı nesnelere dönüştürme işidir. 19. yüzyılda temelleri atılsa da 20. yüzyılda da bu alanda önemli çalışmalar yapılmış ve sağlam temellere oturtulmuştur. Topolojinin en kolay tarifi ise genelde matematikçiler tarafından “lastik geometri” olarak yapılır. Bu yazıyla hem topolojiye giriş yapıp hem de aslında topolojinin başlangıcı olan  Königsberg köprüsü problemi ile tanışalım.

Köningsberg Eskiden Rusya’ya bağlı olmasına rağmen şimdi Almanya sınırları içerisinde bulunan bir kent. Königsberg kentinde Eski ve Yeni Pregel nehirleri birleşerek Pregel nehrini oluşturmaktadır. Bu nehirler, şehri dört bölüme ayırmaktadır ve nehir üzerinde bu bölgeleri birleştiren yedi köprü bulunmaktadır.

Königsbergliler, merak ya da eğlence olsun diye bir oyun oynamaya başladılar. Kentin belirli bir noktasından hareket edip her köprüyü bir ve yalnız bir kez geçerek başlangıç noktasına dönülebilir mi?  Kent halkının meraklı insanları, farklı noktalardan hareket ederek yedi köprüyü birer kez geçip başladıkları noktaya dönmeyi denediler. Hiç birisi bu geziyi başaramadı. Bu olay Leonhard Euler’ın kulağına gitti.

Euler işte bu problemin çözümü ile uğraşırken aynı zamanda şimdiki Graf – Çizgeler Kuramının temelini atmıştır. Çözümün ardından Euler, “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” isimli makaleyi yayımlamıştır.

Detaya geçmeden önce biraz ön bilgi verelim.

Çözümü kolaylaştırmak amacıyla kara parçalarının noktalar, köprülerin ise bu noktaları birleştiren çizgiler olarak gösterildiği ikinci bir şekil yani graf (çizge) çizilir. Problemde noktalar düğüm, düğüme bağlı olan elemanların sayısı ise düğüm derecesi olarak adlandırılacak olursa soru: Grafın herhangi bir düğümünden başlayarak yedi elemanının her birini bir ve yalnız bir kere kullanarak dolaşma problemine dönüşmüş olur.

Peki böyle bir gezinme nasıl mümkündür? 1736’da Euler’in incelemeleri böyle bir gezintinin mümkün olmadığını kanıtlamış ve bu tür dolaşmayı mümkün kılacak grafların şu özelliklere sahip olmaları gerektiğini göstermiştir. Euler yazdığı makalede bu şekilde bir gezinti için graf düğümleri hakkında bir kaç özellik vermiştir. Bunlar;

  • Birleşik bir grafın bütün elemanlarını bir ve yalnız bir defa kullanarak dolaşmak için o grafın tek dereceli düğümlerinin sayısı eğer varsa iki olmalıdır.
  • Tek dereceli düğümler dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafta böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir.

Matematiksel Yaklaşımı Nasıl Yapacağız.

Tanım. Birbirine bağlı eğriler veya doğrular (edges) ile noktalardan (vertices) oluşan şekle bir grafik denir.

• Şimdi problem, bir çizgiden bir daha geçmeksizin ve kalemi kağıttan kaldırmaksızın bu şekli çizme problemine dönüşmüş olur.

Tanım. Eğer bir grafikte bir noktaya tek sayıda eğri bağlı ise bu noktaya tek mertebeden bir nokta denir aksi takdirde çift mertebeden nokta denir.

Bu tanımları yapmazsak olmazdı.

Bir köşeden geziye başlayan birisinin aynı köşeye farklı bir yoldan dönebilmesi için bu köşeye dönen farklı bir yolun olması gerekir. Yani çıkış – giriş yolu  yani noktanın derecesi çift olmalıdır. Bu bütün noktalar içinde geçerlidir elbette yani biri çizime başladığımız diğeri de çizimi bitirdiğimiz nokta olmak üzere iki nokta dışında her noktanın derecesi çift olmalıdır ve böylece ilgili grafiğin çizilebilir olması için gerek ve yeter koşul en fazla iki tane tek mertebeden noktasının olmasıdır. ( Başlangıç ve bitiş noktasının aynı olabilir ki bu durumda her noktanın mertebesinin çift olması gerekiyor. )

Şimdi yukarıdaki grafiğe baktığımızda ikiden fazla tek mertebeden nokta olduğunu görüyoruz ve böylece grafik çizilemez yani Königsberg deki yürüyüş turu imkansızdır. Burada çizimden kastımız bir çizgi ya da kenardan ( veya eğri parçasından) bir daha geçmeksizin çizimin yapılması anlamındadır. Eulerin düşüncesi çözülebilir olan problemlerde başlangıç noktası tek ve bitiş noktasının tek mertebeden olması gerektiğini vermektedir.

Königsberg’de aşağıdaki şekilde olduğu gibi bir tane fazla köprü yapıldığını yani sekiz tane köprü kurulduğunu varsayalım.

Bu durumda bir köprüden (çizgiden) bir daha geçmeden bütün köprülerden geçilebilir mi? Evet geçilebilir.

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

2 Yorumlar

  1. Nızameddın Keskınler

    Bazı takıpcılerım uzulecek anlasılan. Zıra zamanımın bır kısmını topolojı ıle gecırecegımı sanıyorum. Bu alandakı meraklarımı gıdermem uzun bır sure alabılır. Selamlar

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');