Kaos ve Matematik

İnsanı tarih boyunca çok uğraştıran doğa olayları vardır. Hareket ve zaman bunların başında gelir. Ne yazık ki, evrendeki bütün hareketleri açıklayabilen bir (tek) mekanik kuram olmadığı gibi, herkesin kabul edebileceği bir zaman kavramı da yoktur. Bu gün kaos diye nitelenen fenomenler hareket kavramıyla doğrudan ilişkilidir.

17.yüzyıldan sonra gelişen modern bilim, hareketi açıklama yönünde çok yol almıştır. MÖ 300 yıllarında Aristoteles bir çok alanda yaptığı gibi, hareket için de gözlemlerine dayalı kurallar koymuştur.

  1. Cisimler ağırlıklarıyla orantılı bir ivmeyle yere düşerler.
  2. Bir cismin hareket etmesi için ona sürekli bir kuvvet etki etmelidir.

Aristoteles’in (yanlış) mekanik kuralları, bugün bile fizik bilmeyen her insanın sezgiyle ulaştığı sonuçlardır. Kuralları, günlük yaşama ve algılamalarımıza o kadar uygundur ki, sokaktaki insan 1800 yıl boyunca ondan şüphe bile etmemiştir. Ama bilim insanlarının işi şüpheyle, sorgulamayla ve gözlemle başlar. Eğer bir cismin hareketi için ona sürekli kuvvet uygulamak gerekiyorsa, gök cisimlerini kim itiyor veya çekiyor? Dalından düşen elmayı yere iten veya çeken şey nedir?

MS 150 yıllarında Claudius Ptolemynin gök cisimlerinin hareketi için koyduğu kurallar katolik kilisesinin resmi görüşüyle uyuşunca 16.yüzyıla kadar yerküremiz evrenin merkezi olma onurunu taşımıştır. Günün birinde Nicolaus Copernicus (1473-1543) adlı Polonyalı ortaya çıktı ve çıplak gözle yaptığı uzun gözlemlerden sonra gerçekle yüzyüze gelmemizi sağladı. O andan sonra, yerküremiz taşımakta olduğu payeyi güneşe kaptırdı. Bu devrimci düşünce Johann Kepler (1571-1630) tarafından geometrik modeline oturtulmuştur:

  1. Bir gezegenin yörüngesi, bir odağında güneşin yer aldığı bir elipstir.
  2. Gezegeni güneşe birleştiren doğru eşit zamanlarda eşit alanlar süpürür.
  3. Gezegenin periyodunun karesi güneşe olan ortalama uzaklığının küpü ile orantılıdır. (Dünya için T2 = R.)

Kepler’in geometrik modeli, güneş sistemi içindeki gezegenlerin hareketlerini kusursuz açıklıyordu ama evrendeki bütün hareketleri ve en önemlisi hareketlerin nedenini açıklamaya yetmiyordu.

Galileo Galilei (1564-1642) bir yandan teleskopla gök cisimlerini gözleyip Copernicusu’un güneş merkezli teorisini doğrularken, öte yandan yerçekimi ile ilgili deneyleri Aristoteles’in 2000 yıllık imparatorluğunu derinden sarsıyordu: Bütün cisimler aynı ivmeyle yere düşerler.

Bu kural, ağır cisimlerin de hafif cisimlerle aynı ivmeyle yere düştüğünü söylüyor ve Aristoteles’in yukarıda anılan ilk yasasını çürütüyordu. Galilei’nin sarstığı Aristoteles’in imparatorluğuna Isaac Newton (1642-1727) son darbeyi indirecektir. Newton Hareket Yasaları denen aşağıdaki kurallar, Aristoteles’in imparatorluğunu yıkmakla kalmadı, 400 yıl boyunca fiziksel bilimlerin temeli oldu ve yaşadığımız çağın teknolojisini yarattı:

  1. Hareketli bir cisim dışarıdan bir kuvvetle etkilenmezse düzgün doğrusal hareketini ilelebet sürdürür.
  2. Kütlesi m olan bir cisme uygulanan F kuvveti ile a ivmesi arasında F=ma bağıntısı vardır.
  3. Her etkiye karşı ona eşit bir tepki vardır.

Bilgi üretiminde asla tahmin edilemeyecek ilişkiler ortaya çıkar. Kepler gezegenlerin hareketlerini açıklayan geometrik modeli yaratmak için Pergeli Apollonius’un 1800 yıl önce yazdığı Konikler adlı yapıtına dayanıyordu.  Apollonius olmasa Kepler olmazdı, Kepler olmasa Newton olmazdı.

Newton, Kepler’in mükemmel geometrik modelinin ve Galilei’nin yerçekimi ile ilgili  şaşırtıcı gözleminin gerisinde yatan gizemi aramaya başladı. Gezegenler neden Kepler’in modeliyle hareket ederler? Ağır ve hafif cisimler neden aynı ivmeyle yere düşerler? Bu soruların yanıtlarını veren matematiksel bir formül varolmalıydı. Sonunda aradığını buldu. Newton’dan sonra 20.yüzyıl başlayana dek, hareketle ilgili her şeyin Newton’un hareket yasalarından çıktığına inanılacaktır.

Basit hareketleri temsil eden diferensiyel denklemler ya da denklem sistemleri genellikle doğrusal (linear) dır. Bunların genel çözümü, analitik fonksiyonlardan oluşan bir uzaydır. Bu uzaya sistemin çözüm uzayı diyoruz.

Öte yandan, fiziksel sistem karmaşıklaştıkça, onu temsil eden diferensiyel denklemlerdeki değişkenlerin sayıları (boyut) artar; yani sistem çok değişkenli olur. Ayrıca denklemdeki terimlerin dereceleri yükselir; yani sistem nonlinear olur. Genellikle, bu tip denklemlerin analitik bir çözüm uzayı yoktur. Bu olgu, kaos diye adlandırılan fenomenleri alışılmış matematik diliyle açıklayamayışımızın asıl nedenidir.

Bir dinamik sistemin bir andaki konumunu, hızını, yönünü ve ona etkiyen kuvvetleri biliyor iken, onun daha sonraki ya da daha önceki bir zamandaki durumunu da bilmek istiyoruz. Analitik çözüm var olduğunda, iyi tanımlı sınır koşulları çözüm uzayından bir tek fonksiyon seçer. Eğer denklem sistemimiz bir hareketi temsil ediyorsa, seçtiğimiz fonksiyon o hareketin yörüngesidir. Farklı başlangıç noktaları farklı fonksiyonlar seçer; yani farklı başlangıç noktaları hareketler için farklı yörüngeler belirler.

Analitik çözüm uzayı var olmadığında, başlangıç koşullarıyla belli bir fonksiyon (yörünge) seçemediğimiz gibi, başlangıç koşulunu kesinlikle belirleyemeyişimiz etkisini göstermeye başlar. Analitik çözüm uzayı olmayışının üstesinden gelmek için, evre ve evre uzayı kavramlarını kullanırız. Evre uzayı,  çözüm uzayının rolünü üstlenecektir. Ama analitik çözüm uzayındaki deterministik sonuçlara ulaşamayız.  Neden böyle olduğunu açıklayabilmek için bir kaç kavram daha gerek.

Determinizm

Biraz felsefi açıdan tanımlarsak, Klasik Mekaniğin (Newton Mekaniği) özü determinizmdir.  Determinizm, “bir fiziksel sistemin şimdiki durumu, önceki durumunun sonucudur” der. Dolayısıyla her olay ve hareketi önceden belirlemek mümkündür.

Isaac Newton’un ortaya koyduğu hareketin üç temel yasası modern bilimi bütünüyle determinizme dayalı kılmıştır. Bu yasalar, determinizmi yalnız ileriye değil, geriye doğru da çalışan sağlam bir araç olarak görür. Gerçekten, Newton’un hareket yasalarına göre, şu andaki olay ve hareket önceki olay ve hareketten çıktığı gibi, bundan sonra olacak olay veya hareket de şu andaki olay veya hareketin sonucu olacaktır. Klasik fizikçi açısından, Halley kuyruklu yıldızının 2061 yılında yeniden dünyayı ziyaret edeceğini kesinlikle öngörebilmek ya da gelecek güneş tutulmasının ne zaman olacağını ve dünyanın neresinden en iyi görüneceğini şimdiden şaşmaz biçimde hesaplayabilmek, determinizmin yadsınamaz zaferidir.

Determinizmin matematiksel dili çok açıktır. Başlangıç koşullarını bilince, ona uyan biricik analitik çözümü, çözüm uzayından seçebiliriz. Bu çözüme f diyelim. Herhangi bir t anında sistemin durumunu biliyorsak, f  fonksiyonunu biliyoruz demektir. Artık her a için f(t+a) ve f(t-a) değerlerini hesaplamak mümkündür. Matematiksel açıdan bakınca çözüm fonksiyonunun grafiği üstünde gerçekleşen bu olgu, fiziksel açıdan bakınca söz konusu dinamik sistemin kendi yörüngesi üzerinde belli bir yerden ileriye ya da geriye doğru hareket ettirilebilmesi demektir.

Öyleyse, determinizmin uygulanabilmesi için, sistemin analitik çözümüne ve iyi belirlenmiş başlangıç koşullarına gerekseme vardır.  Çok kolaymış gibi görünen bu iş, gerçekte pek çok sistem için imkansızdır.

Bu imkansızlık kaos diye anılan fenomenleri yaratır.

Tanrı Zar Atar mı?

Newton fiziği dorukta iken, 20.yüzyıl içinde onun eksiğini tamamlamak için yapılan çalışmalarda iki yeni teori ortaya çıktı: Kuantum Mekaniği ve Görelilik Kuramı.

Görelilik Kuramı, bu yazının kapsamı dışındadır. Kaos’un olasılığa dayalı yanıyla yakın ilişkisi nedeniyle, Kuantum Mekaniğine bir kaç tümce ayırmakta yarar vardır Atomun yapısını açıklamak için, atom altı parçacıkların hareketlerinin belirlenmesi gerekiyordu. Bu parçacıklara determinizm ilkesini uygulayabilmek için belli bir andaki konumlarının, hızlarının ve yönlerinin bilinmesi gerekiyordu. Ama aynı anda konumlarını ve hızlarını ölçebilme olanağı yoktu; hız bilinirse konum bilinmiyor, konum bilinirse hız bilinmiyordu. Buna çare olarak “olasılık” kuramı kullanıldı. Parçacıkların hızları ya da konumları belli olasılıklarla belirlendi. Dönemin en renkli kişilerinden Albert Einstein bu görüşe karşı durup “Tanrının zar attığına inanamam!” diyecektir. Ama, olayın çok inandırıcı yanı vardır. Yapılan tahmin bir parçacık için değil, milyonlarcası içindir. Bir para atıp tura geleceğini tahmin ederseniz, ya yüzde yüz tutturur ya da yüzde yüz yanılmış olursunuz. Ama  1.000.000 milyon para atıp 500.000 tanesinin tura geleceğini söylerseniz yanılma payınız çok azalır. Olasılığın kullanılışı, determinizmden bir sapıştır. Ancak, Kuantum Fiziği’nin görkemli doğuşu bile determinizmin önemini yok edemedi.

Bütün bunlardan önce, hemen 20.yüzyıl başlarken Newton Mekaniğine duyulan güveni sarsan görüşlerin ortaya çıkışını anımsamalıyız. 1898 yılında Fransız matematikçi Jacques Hadamard başlangıç koşulunda bir hata yapıldığında sistemin uzun dönemde öngörülemez olacağını belirtti. 1906 yılında Pierre Duhem benzer yargıya vardı. Ünlü Fransız Matematikçisi ve düşünürü Henri Poincaré 1900 yılında güneş sisteminin kararlı olup olmadığının kanıtlanamayacağını gösterdi.

Ölçümlemede Belirsizlik

Başlangıç koşulları dediğimiz sayıları nasıl belirleyeceğiz? Deneysel bilimlerde bunun tek yolu gözlemleme ve ölçümlemedir. Ama gözlemler, deneyler, ölçümler gerçek sayısal değerleri veremez; onları ancak belli bir yaklaşıklıkla, yani belli bir hatayla bulabiliriz. Her ölçümlemede kaçınılmaz olan alet ve insan hatalarını bir yana koysak bile, kuramsal olarak hiç bir alet her zaman gerçek değerleri veremez. Çünkü gerçel sayıların ondalık temsilleri sonsuz haneyi gerektirir. Sonsuz haneli bir ölçüm aleti yapılamayacağı gibi, sonsuz haneli sayılarla işlemler de yapılamaz. İrrasyonel sayı içeren basit bir toplama işleminde bile, o sayı yerine sonlu haneli yaklaşık bir değerini (rasyonel sayı) kullanırız. Ölçümlemede Belirsizlik dediğimiz bu olgu, bir fiziksel sistemin başlangıç koşullarının kesin olarak belirlenemeyeceği anlamına gelir. Bu olgunun determinizm ilkesinde yarattığı olumsuzluğu saptayan ilk kişi Henri Poincaré (1854-1912)  ‘dir. Şimdi bunun ilginç öyküsüne geçebiliriz. 

Kelebek Etkisi

Newton yasaları iki gök cisminin hareketine mükemmel uyum sağlar, ama ikiden çok cisim olduğunda analitik çözüm elde edilemez. Üç Cisim Problemi diye anılan bu problemin çözümü 20.yüzyıla girerken astronomide popüler bir konu oldu. Norveç Kralı II.Oscar, güneş sisteminin kararlı olup olmadığını ispatlayana ödül vereceğini duyurdu. Henri Poincaré 1900 yılında, güneş sisteminin hareketini belirleyen denklem sisteminin çözümünün başlangıç koşullarına hassas bağımlı olduğunu, ancak başlangıç koşullarının asla doğru olarak saptanamayacağını, dolayısıyla güneş sisteminin kararlı olup olmadığının belirlenemeyeceğini gösterdi. Bu öngörülemez (unpredictable) durum için “kaos” terimini kullanan ilk kişi de odur. Böylece, Poincaré,  istenen problemi çözmeden ödülün sahibi oldu. Ama unutmamak gerekir ki, bir problemin çözülemeyeceğini kanıtlamak, bazan problem çözmekten çok daha zordur.

Şimdi Poincaré’nin büyük bulgusunun matematiksel açıdan basit açıklamasını yapabiliriz. Dinamik sistemin analitik çözümü varsa, belli bir başlangıç değeri yakınındaki değerler için fonksiyon (yörünge) değerleri de birbirine yakındır (süreklilik). Determinizm asıl gücünü buradan alır. Bu sistemlerde başlangıç koşulları kesinlikle belirlenemese bile, gerçek başlangıç değerlerine yakın değerlerin alınması sonuçta önemli farklar yaratmaz.

Analitik çözüm olmadığı zaman, çözüm yerine yerel noktalarda doğrusal yaklaşımlar kullanılır; onlardan sayısal çözümler elde edilir. O sayısal çözümler evreleri oluşturur. Evreler başlangıç koşulları olarak alınır. Bu nedenle, evre uzayı çözüm uzayı yerine geçer. Doğrusal yaklaşımlar, boyut sayısına göre teğet doğru, teğet düzlem, hiper düzlem adlarını alırlar. Çözüm analitik olmadığından, birbirine çok yakın noktalardaki teğetler birbirinden çok uzakta olabilir. Başka bir deyişle, analitik çözümlerde ortaya çıkan düzgünlük (süreklilik) koşulları sağlanmadığından, birbirine çok yakın başlangıç noktalarında bile birbirlerinden çok uzakta değerler alabilirler.

Bu kısa açıklamadan sonra, konu ile ilgilenen fizikçilerin kaos terimine yükledikleri anlamı ortaya koyabiliriz: Başlangıç koşullarına hassas bağımlılık. Fizikçilerin bunu ifade eden güzel bir deyimleri var: “Çin’de bir kelebek kanat çırparsa Teksas’ta kasırga olabilir”.  Bu sözde hiçbir politik ima olmadığını söylemeye gerek yoktur. Sadece, söylemek istedikleri şey, başlangıç koşullarındaki çok küçük değişim sistemin davranışında çok büyük fark yaratabilir.

Hoşgeldin Kaos!

Aya insan indiren, Mars’a uydu gönderen ve bu hareketlerin her saniyesini önceden öngören determinizmin büyük gücünü yanımızda hissetmek hepimize huzur veriyor. Ama, bir bilardo topunun masada nereye çarpacağını hesaplayamamak, üç gün sonrasının hava durumunu doğru tahmin edememek ya da bir dünya savaşının sonuçlarını öngörememek gibi olgular, kaygı verici değilse bile, determinizmin verdiği huzura gölge düşürecek kadar hayal kırıcıdır.

Konuşma diline indirirsek, davranışı önceden öngörülemeyen dinamik sistemleri ya da onların davranışlarını kaos olarak niteliyoruz. Fizikçilerin kaos terimine yükledikleri bu anlam ile sokaktaki adamın, hele hele politikacıların kaos terimine yükledikleri anlam çok farklıdır. Fizikçilerin söylediklerini, matematik diliyle ifade edersek kaosu daha iyi tanımlamış oluruz.

Nonlinear dinamik sistemlerin çoğu için öngörü yapmaya engel olan üç neden vardır:

  1. Sistemin analitik çözümü yoktur.
  2. Herhangi bir başlangıç koşulunu kesinlikle belirleyemeyiz (Ölçümlemede Belirsizlik İlkesi).
  3. Başlangıç koşullarında meydana gelen çok küçük değişim(ler) sonuçta çok büyük farklara neden olabilir (Başlangıç koşullarına hassas bağımlılık – Kelebek etkisi).

Aslında, bu üç nedeni bir tek nedene, yani birinci nedene indirgeyebiliriz. Çünkü sistemin çözümü analitik ise kelebek etkisi ortadan kalkar. Kelebek etkisi ortadan kalkınca ölçmede belirsizliğin etkisi yok olur; yani birbirine yakın başlangıç koşulları için birbirine yakın fonksiyon değerleri çıkar. Tersine olarak, sistemin analitik çözümü yoksa, yukarıda açıkladığımız nedenlerle, son ikisi doğal olarak etkili olmaya başlar.

Poincaré ‘nin 1900 yılında ortaya koyduğu kaos kavramı, meteorolojist Edward Lorenz’in 1963 yılında meteorolojik değişimlerin başlangıç koşullarına hassas bağımlılığı diye ifade edilen gözlemlerine kadar kimsenin ilgisini çekmedi. Çünkü fizikçiler, yirminci yüzyılın ilk yarısında daha çekici bir konuyla; yani Kuantum Fiziği ile ilgilenmeye başladılar ve Poincaré ’nin önemli buluşunu ihmal ettiler. Lorenz, Poincaré ‘nin 63 yıl önceki bulgusunu ondan habersiz olarak yeniden buldu.  Ele aldığı dinamik sistem için başlangıç koşullarında oluşacak küçük değişimlerin sonuca çok büyük etkiler yaptığını gözlemledi. Böylece, uzun süreli hava tahminleri yapmanın olanaksız olduğunu ortaya koydu.

Belki, kaosu, sistemin öngörülemezliği olarak tanımlamak yetersizdir. Çünkü, bu tanıma dayanarak, geriye dönüp Kepler zamanına kadar güneş sisteminin kaotik bir yapı oluşturduğunu, ama Keplerden sonra kaotik yapıdan kurtulduğunu mu söyleyeceğiz? Tanımın yetersizliğinden olsa gerek, bazı sistemlere “deterministik kaos” gibi garip bir sıfat takılmıştır. Bir dinamik sistemin davranışını öngörememek başka şeydir, o sistemin davranışının öngörülemeyeceğini kanıtlamak başka bir şeydir.

Matematikçiler, Çin’de kanat çırpan kelebeğin nasıl olup da Teksas’ta kasırga yaratacağını açıklayan matematiksel modelden çok, Teksas’ta olan kasırgayı Çin’de hangi kelebeğin hangi kanat çırpışıyla yarattığını bilmek isterler. Günün birinde kaos bir bilim olacaksa, matematikçiler o kelebeği bulmak zorundadır.

Timur Karaçay

Bu araştırmanın tam metni: http://www.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/agora/mmf/mmf2_caos.htm

KAYNAKLAR

  1. Anishchenko, Vadim S. Dynamical Chaos. World Scientific, 1995.
  2. Aristid Lindenmayer.  Mathematical models for cellular interaction in development. J. Theoret. Biology, 18:280–315, 1968.
  3. Baker, Gregory L. and Gollub, Jerry B. Chaotic Dynamics: An Introduction. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.
  4. Barry Cipra. What’s Happening in the Mathematical Sciences.  Volumes 1 to 5 on the AMS Bookstore.
  5. Crownover, Richard M. Introduction to Fractals and Chaos. Jones and Bartlett, 1995.
  6. David Ruelle. Rastlantı  ve Kaos, -Chance and Chaos – , TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara,1990.
  7. Davis, Brian. Exploring Chaos: Theory and Experiment. Perseus Books, 1999.
  8. Gary Mar and Patrick Grim.  Semantics of Paradox:Chaotic Liars, Fractals, and Strange Attractors.  Philosophy and Computing.
  9. Hilborn, Robert C. Chaos and Nonlinear Dynamics. New York: Oxford University Press, 1994.
  10. Ian Stewart. Does God Play Dice? The Mathematics of Chaos. Basil Blackwell, 1990.
  11. James Gleick. Kaos, -Chaos –TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara, 1987.

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');