Eğer evinizde birkaç satranç takımı varsa, şu alıştırmayı deneyin: Sekiz veziri, birbirlerini tehdit etmeyecek şekilde tahtaya yerleştirin. Bunu bir kez başardıysanız, ikinci bir yerleşim bulabilir misiniz? Peki ya üçüncü? Toplamda kaç farklı yerleşim vardır? Bu problem 150 yıldan daha eskidir ve n-vezir problemi olarak bilinen bu matematiksel sorunun en erken örneklerinden biridir.
Satrançtaki vezirlerin birbirini tehdit etmeden yerleştirilmesi problemi, yani n-vezir problemi, 19. yüzyıldan beri matematikçilerin ilgisini çeken klasik bir bulmacadır. Ancak bu problem yalnızca bir oyun değil, aynı zamanda karmaşık matematiksel yapıların anlaşılması için önemli bir örnektir.
Bu bulmacayı ilk olarak 1848 yılında Alman satranç araştırmacısı Max Bezzel tanıttı. İki yıl sonra Alman doktor Franz Nauck, sekiz vezir problemini çözdü ve problemi n×n’lik satranç tahtalarına genelleştirdi.
Carl Friedrich Gauss gibi ünlü matematikçiler de bu bulmacayla ilgilendi ve farklı çözümler üzerine çalıştı. 2016 yılında ise Bennington College’dan Glen Van Brummelen ve öğrencisi Hassan Noon, bu bulmacayı iki kişilik bir oyuna dönüştürdü.
Sekiz Vezir Oyununun Kuralları Nedir?
Oyuncular oyunu 8×8’lik bir satranç tahtası üzerinde oynar. Her oyuncu dört vezir alır; biri beyaz, diğeri siyah taşları kullanır. Oyuncular kimin başlayacağını belirler ve sırayla birer vezir yerleştirir. Oyuncular, yerleştirdikleri vezirleri diğer vezirlerin tehdit etmeyeceği konumlara koyar. Bir oyuncu uygun bir konuma vezir yerleştiremezse oyunu kaybeder.
Oyunu birkaç kez oynadığınızda, genellikle oyunun tahtada en az beş vezir varken bittiğini görürsünüz. Vezirler aynı satırda veya sütunda bulunamaz; bu nedenle tahtada en fazla sekiz vezir yer alır. Bu duruma göre, birinci oyuncu çoğunlukla beşinci veya yedinci hamlede, ikinci oyuncu ise altıncı veya sekizinci hamlede kazanır.
n = 4 için birinci oyuncu her zaman kazanır. Örneğin, birinci oyuncu vezirini köşeye yerleştirirse ikinci oyuncunun yalnızca iki hamle seçeneği kalır. Bu noktadan sonra birinci oyuncu her zaman uygun bir yer bulur ve oyunu kazanır.
n = 7 gibi tek sayılarda da benzer bir strateji işe yarar. Birinci oyuncu ilk veziri merkeze koyar. İkinci oyuncu hamle yaptıktan sonra birinci oyuncu simetrik bir hamle yapar (yani benzer konumlara yerleştirir). Bu şekilde devam ederse oyunu kazanır. Bu yaklaşım, n tek sayı olduğunda işe yarar; ancak n çift sayı olduğunda bilinen kesin bir kazandıran strateji yoktur.
n-vezir Problemi Neden Çözümsüzdür?
Amaç, n×n’lik bir satranç tahtasına n veziri, birbirlerini tehdit etmeyecek şekilde yerleştirmektir. Yani hiçbir vezir aynı satırda, sütunda veya çaprazda bulunamaz. Problemin zor olmasının nedeni, tahtada açık bir düzen veya simetri bulunmamasıdır. Örneğin, merkeze yerleştirilen bir vezir ile kenara yerleştirilen bir vezir aynı sayıda kareyi tehdit etmez. Bu da problemi düzenli parçalara ayırmayı zorlaştırır.
n-vezir problemini çözmeyi zorlaştıran önemli etkenlerden biri, problemi basitleştirmenin açık bir yolunun olmamasıdır. Küçük bir tahtada bile olası yerleşimlerin sayısı oldukça yüksektir. Tahta büyüdükçe yapılması gereken hesaplamalar hızla artar ve problem son derece karmaşık hâle gelir.
n = 2 durumunda, ilk vezir yerleştirildikten sonra ikinci vezir için uygun bir yer kalmaz; bu nedenle çözüm yoktur. n = 3 durumunda da benzer şekilde üç vezirin yerleştirilmesi mümkün değildir. Vezir köşeye yerleştirilirse sınırlı seçenekler kalır ve bu seçenekler birbirini engeller. Merkeze yerleştirildiğinde ise tüm kareler tehdit altına girer.
Buna karşılık, n = 4 ve daha büyük birçok değer için çözüm vardır. Hatta bazı durumlarda çok sayıda farklı çözüm elde edilir. Örneğin, n = 27 için çözüm sayısı 234.907.967.154.122.528 gibi son derece büyük bir sayıdır.
Klasik 8×8’lik satranç tahtasında sekiz vezirin yerleştirilebildiği 92 farklı düzen vardır. .Bu sonuç ilk olarak Gauss tarafından bulunmuştur. Çözümleri bulurken simetri önemli bir rol oynar. Bir çözümü döndürerek (90°, 180°, 270°) veya yansıtarak yeni çözümler elde edebilirsiniz.
Nitekim araştırmalar, aslında 12 temel çözüm bulunduğunu; simetriler kullanıldığında bu sayının 92’ye çıktığını göstermiştir. Ancak sayı büyüdükçe simetri hesaplamaları olası olmaz ve problemi çözmek giderek zorlaşır.
2021 yılında Harvard’dan matematikçi Michael Simkin, bu probleme önemli bir katkı sağladı: Büyük bir tahtada, n vezirin kaç farklı şekilde yerleştirilebileceğini yaklaşık olarak belirledi ve bunu matematiksel olarak kanıtladı. Daha önce araştırmacılar bu sayıyı bilgisayar simülasyonlarıyla tahmin ediyordu, ancak Simkin bu tahminleri ilk kez sağlam bir matematiksel temele oturttu.
Sonuç Olarak
Günümüzde matematikçiler ve bilgisayar bilimciler, n ≤ 27 için tüm çözüm sayılarını kesin olarak hesaplamıştır. Ancak n daha da büyüdüğünde çözüm sayısının nasıl davrandığı (örneğin belirli bir kurala uyup uymadığı) hâlâ tam olarak bilinmemektedir. Bu nedenle n-vezir problemi, günümüzde de araştırılmaya devam eden ilginç bir matematik problemidir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Weisstein, Eric W. “Queens Problem.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. (June 6, 2012) http://mathworld.wolfram.com/QueensProblem.html
- Qiu, Zongyan (February 2002). “Bit-vector encoding of n-queen problem”. ACM SIGPLAN Notices. 37 (2): 68–70.
- Mathematician Answers Chess Problem About Attacking Queens; yayınlanma tarihi: 21 Ekim 2021; Bağlantı: Mathematician Answers Chess Problem About Attacking Queens
- Sacaluga, David. (2021). An alternative algorithm for the n –Queens puzzle. Recreational Mathematics Magazine. 8. 39-73. 10.2478/rmm-2021-0003.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
