Şimdiye kadar âşık olmuş herkes, size asıl önemli olanın büyük jestler ya da büyük sözler değil, sevilen kişiye dair küçük ve kişisel ayrıntılar olduğunu söyleyecektir. Küçük detaylar, bir insanı diğerlerinden ayırır; kişiliğin derinliklerini ortaya çıkarır.
Bazı insanlar içinse bu derinlik ve bağlılık, sayıların kendisine yönelir. Onlar için sayılar, yalnızca hesaplama araçları değildir. Her biri kendi karakterine, benzersiz özelliklerine sahip varlıklar gibidir. Aralarındaki ilişkiler, yüzeyin altında işleyen karmaşık bir düzenin ipuçlarını verir. İşte bu görünmeyen bağlantıları inceleyen matematik dalına Sayılar Teorisi adı verilir. Bu alan, sayıları anlamaya çalışmakla kalmaz; onları sevmeyi de gerektirir.
Sayılar Teorisi Nedir?
Sayılar Teorisi, sayıların kendilerini, özelliklerini ve birbirleriyle olan ilişkilerini inceleyen bir matematik dalıdır. Yüzyıllardır matematikçileri büyüleyen bu alan, hem soyut güzelliğiyle hem de günümüz teknolojilerinde sağladığı katkılarla dikkat çeker. Bilim, mühendislik ve bilgisayar bilimleri gibi pek çok alanda uygulamaları vardır. Özellikle şifreleme, veri güvenliği ve algoritma geliştirme gibi konularda sayılar teorisi temel bir rol oynar.
Sayılar teorisinin “babası” olarak genellikle Antik Yunanlı matematikçi Pisagor kabul edilir. Pisagor, tam sayılar ve geometrik şekiller üzerine yaptığı çalışmalarla tanınır. Kendisi ve takipçileri, sayıların doğası üzerine önemli keşiflerde bulunmuşlardır.
Sayılar teorisinin tarihsel gelişiminde öne çıkan diğer önemli isimler arasında Öklid, Diofantos ve Fermat da yer alır. Öklid, asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtlamış, Diofantos cebirsel denklemler üzerine çalışmış, Fermat ise özellikle asal sayılar ve Diofantik denklemler konularında çığır açan fikirler ortaya koymuştur.
Sayılar teorisi, yalnızca profesyonel matematikçileri değil, meraklı amatörleri de cezbetmiştir. Bunun nedeni, bu alandaki pek çok problemin ve teoremin, diğer matematik dallarına kıyasla daha anlaşılır bir yapıya sahip olmasıdır.
Ancak bu erişilebilirlik, çözüm sürecinin kolay olduğu anlamına gelmez. Yüzeyde basit görünen pek çok soru, derin matematiksel teknikler ve soyut düşünme gerektirir. Bu durum, sayıların ardındaki yapının hem yalın hem de şaşırtıcı derecede güçlü ve karmaşık olduğunu gösterir.
Sayılar Teorisi Nasıl Çalışır?
Sayılar teorisi, şekillerden ya da süreklilik gösteren niceliklerden çok, tam sayılarla ilgilenen bir matematik dalıdır. Merkezinde ise, asal sayılar yer alır. Nasıl DNA biyolojinin temeliyse, asal sayılar da sayılar teorisinin temelidir.
Bu alandaki önemli kavramlardan biri olan kuadratik karşılıklılık (quadratic reciprocity), matematikçilerin asal sayılar hakkında nelerin kanıtlanabileceğine dair bakışını kökten değiştirmiştir. Asal sayıları bir dağ silsilesi gibi düşünürseniz, karşılıklılık yasası bu dağlarda daha önce ulaşılamayan zirvelere tırmanmayı ve o yükseklikten yeni matematiksel gerçekleri görmeyi mümkün kılan dar bir patika gibidir.
Karşılıklılık kavramını anlamak için önce modüler aritmetiği bilmek gerekir. Bu tür işlemler, belirli bir sayıya bölme işlemi yapıldığında kalan sayıyı bulmaya dayanır. Bu sayıya modül denir. Örneğin, 9 mod 7 işleminin sonucu 2’dir, çünkü 9’u 7’ye böldüğünüzde kalan 2’dir. Mod 7 sisteminde sadece yedi sayı vardır: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bu sayı sistemi içinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemi yapmak mümkündür..
Tıpkı tam sayılarda olduğu gibi, modüler sistemlerde de tam kareler vardır. Tam kare, bir sayının kendisiyle çarpımına eşittir. Örneğin, mod 7 altında 0, 1, 2 ve 4 tam karedir. Çünkü:
- 0² ≡ 0
- 1² ≡ 1
- 2² ≡ 4
- 3² ≡ 2
- 4² ≡ 2
- 5² ≡ 4
- 6² ≡ 1 biçimindedir.
Modüler sistemler sınırlı sayıda sayı içerdiği için tam kareler burada daha sık görünür. Bu tür desenler, sayıların davranışları hakkında öngörü yapmayı kolaylaştırır.
Asal Sayı Çiftlerinde Örüntüler: Karşılıklılık ve Modüler Aritmetik
Kuadratik karşılıklılık basit bir soruya dayanır: İki asal sayı p ve q verildiğinde, eğer p, mod q altında tam kare ise, bu durum q’nun da mod p altında tam kare olacağı anlamına gelir mi? Örneğin 11 ≡ 4 mod 7‘dir ve yukarıda gördüğümüz gibi 4, mod 7’de tam karedir. Şimdi tersini soralım: 7, mod 11’de bir tam kare midir? Yani, herhangi bir sayının karesi, mod 11 altında 7 verir mi? Bakalım:
- 0² ≡ 0
- 1² ≡ 1
- 2² ≡ 4
- 3² ≡ 9
- 4² ≡ 5
- 5² ≡ 3
- 6² ≡ 3
- 7² ≡ 5
- 8² ≡ 9
- 9² ≡ 4
- 10² ≡ 1
Gördüğünüz gibi mod 11’de tam kareler: {0, 1, 3, 4, 5, 9} biçimindedir. Ama 7 bu listede bulunmamaktadır. Bu durumda karşılıklılık mevcut değildir.
Gauss, 1801’de karşılıklılık yasasının ilk kanıtını yayımladıktan sonra, matematikçiler bu fikri kare sayıların ötesine taşımayı denedi. Böylece kübik veya kuartik (dördüncü dereceden) karşılıklılık yasalarının mümkün olup olmadığını sorgulamaya başladılar. Ancak karşılarına bir engel çıktı: Net bir desen görünmüyordu.
Bu durum, Gauss’un karşılıklılık fikrini karmaşık sayılar dünyasına taşımasıyla değişti. Karmaşık sayılar, sıradan sayılara −1’in karekökü olan i’yi ekleyerek genişletilmiş sayılardır. Bu sistemde, asal sayılar tanımı bile değişir. Örneğin, 5 artık asal değildir çünkü 5 = (2 + i) × (2 − i) biçiminde gösterilir.
Karşılıklılık Yasası Sayılar Teorisi İçin Neden Önemlidir?
Gauss, 1832 yılında dördüncü dereceden (kuartik) karşılıklılık yasasını kanıtladı. Karmaşık sayıların yardımıyla, önceden belirsiz kalan desenler ortaya çıkmaya başladı. 1840’lı yıllarda Eisenstein ve Jacobi, ilk kübik karşılıklılık yasalarını kanıtladı. 1920’lerde ise modern cebirin kurucularından Emil Artin, tüm karşılıklılık yasalarını kapsayan genel bir çerçeve sundu. Bir asır sonra bile, matematikçiler hâlâ Gauss’un ilk yasasına yeni kanıtlar geliştiriyor ve bu yasayı farklı matematiksel yapılara genelleştiriyorlar.
Kuadratik karşılıklılık, sadece sayılar teorisinde değil; graf kuramı, cebirsel topoloji ve özellikle kriptografi gibi birçok farklı alanda kullanılır. Örneğin, 1982’de Shafi Goldwasser ve Silvio Micali tarafından geliştirilen etkili bir açık anahtarlı şifreleme algoritması bu ilkeye dayanır.
Karşılıklılık yasasının, hâlâ cevabı bilinmeyen bazı temel sorulara ışık tutabileceği düşünülüyor. Bunlardan biri de: Hangi sayılar, üç küp sayının toplamı olarak yazılabilir?
Bugüne kadar bilinen kesin bir kural var: Eğer bir sayı, mod 9 altında 4 ya da 5 kalanı veriyorsa, üç küp toplamı olarak yazılması imkânsızdır. Fakat bu kuralın dışında kalan diğer sayılar için durum hâlâ belirsizliğini koruyor. Bazıları için çözümler bulunmuş olsa da, süreç son derece karmaşık.
Örneğin 2019 yılında, matematikçi Andrew Booker, bu konuda büyük ses getiren bir gelişmeye imza attı. Daha önce çözülemeyen “33 sayısı üç küp toplamı olarak yazılabilir mi?” sorusuna, devasa büyüklükte sayılarla şu eşitliği bularak yanıt verdi. Bu sonuç, hem yöntem hem de hesaplama gücü açısından dikkat çekici bir başarıydı.
(8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33
Sonuç olarak
Bugüne kadar kazanılmış onlarca zafere rağmen, sayılar teorisi halen birçok çözülmemiş sorunun kaynağıdır. Üstelik en kafa karıştırıcı olanlardan bazıları da oldukça masum görünmektedir. Örneğin, “Tek mükemmel sayılar var mı?” bilmiyoruz.
“Sonsuz sayıda ikiz asal var mıdır?” ya da “Goldbach’ın varsayımı doğru mu?” bunları da bilmiyoruz. Bu nedenle günümüzde hala pek çok sayı teorisyeni bu sorulara hala cevap arıyor. Sayılar teorisi ve çeşitli alt alanları matematik severlerin aklını daha uzun süre meşgul edecek gibi gözüküyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- What Is Number Theory? Bağlantı: http://science.howstuffworks.com
- Duke, William & Spears, Kimberly. (2003). Quadratic Reciprocity in a Finite Group. The American Mathematical Monthly. 112. 10.2307/30037441.
- The Hidden Connection That Changed Number Theory. Yayınlanma tarihi: 1 Kasım 2023. Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: The Hidden Connection That Changed Number Theory
Matematiksel
