Temel Matematik

Sorun Çıkartan Görünürde Küçük Matematik Hataları

Elektronik hesap makineleri hassastır ve asla hata yapmazlar diye düşünürüz. Ancak, bu düşüncemizin hatalı olabileceğini genelde bilmeyiz. Bunun nedeni belki de gözlemleme şansımız olmadığı içindir. Şimdi bir örnek ile bunun nasıl mümkün olduğuna bir göz atalım. Bunun için bir hesap makinesine ihtiyacınız var. İki işlem kullanacaksınız. Kare alma ve kök alma.

Şimdi şu prosedürü izleyin: 10 rakamına, ardından karekök düğmesine ve ardından kare düğmesine basın. Bu iki işlem birbirinin tersi olduğu için ekranda 10 rakamının belirmesi fazla şaşırtıcı bir sonuç değil. Şimdi şunu deneyin: 10 rakamına basın, ardından karekök düğmesine 25 kez ve kare düğmesine 25 kez basın. Beklenen sonuç yine 10 olmalıdır, ancak ekran 9.9999997 gibi bir şey görüyor olmanız muhtemeldir.

25 denemeden sonra elde ettiğimiz sonuç. Deneme için bu hesap makinesini de kullanabilirsiniz: https://www.online-calculator.com/

Normalde, bu oldukça küçük bir sapma ama bir gariplik olduğunu fark etmeniz lazım. Eğer sıkılmadıysanız bu sefer 28 defa aynı şeyi deneyin. Gerçek sayı ile hesap makinesi tarafından hesaplanan sayı arasındaki farkın giderek büyüdüğünü fark edeceksiniz.

Aynı işlemi 28 defa uyguladıktan sonra

Her dijital hesap makinesinde şu ya da bu şekilde ortaya çıkan bu sonucun aslında fazla şaşırtıcı yanı yoktur. Sonuçta kullandığımız sayı irrasyonel bir sayıdır. Yani sayı sonsuz sayıda basamağa sahiptir. Ancak hesap makineleri yalnızca sınırlı sayıda sayıyı depolar. Sayısal değerler bilgisayarlar tarafından gelede 15 basamaktan sonra kesilir. Bu nedenle, gerçek sayılar ile saklanan veya görüntülenen değerler arasında çok küçük hatalar vardır. Ancak bizler gündelik yaşantımızda ondalık sayıların genelde virgülden sonraki ilk iki basamağı ile idare edebildiğimiz için bu hatanın farkına varmayız. Ama kimileri için bu iki basamak asla yeterli değildir.

Sorun Yaratan Matematik Hataları

Ondalık sayılarda yuvarlama sebepli matematik hataları başımıza dert olabilir. (Bazen de tam tersi!). 4 Haziran 1996’da Fransız Yeni Gine’deki Courou adasından insansız bir Ariane 5 roketi fırlatıldı. Roket kalkıştan sadece 40 saniye sonra patladı. Roket uçuş yolundan sapmıştı ve yer kontrolü tarafından imha edilmesi gerekiyordu. Bunun nedeni bir yazılım hatasıydı. Yönlendirme sistemine girilen yuvarlanmış bir ondalık sayıyı sistem farklı biçimde algılamıştı.

1982’de Vancouver’daki borsa yeni bir endeks getirdi ve başlangıç değerini 1.000 puana ayarladı. İki yıldan kısa bir süre sonra, hisse senetlerinin ortalama değeri yüzde 10 artmış olmasına rağmen, endeks neredeyse yarı yarıya düştü. Tutarsızlık yine yuvarlama hatası ile ilgiliydi. Endeks hesaplanırken hisse senedi fiyatlarının ağırlıklı ortalamaları çok az sayıda ondalık basamak kullanılarak yapılmıştı.

Bazı Matematik Hataları Sürpriz Sonuçlara Sebep Olur

Bununla birlikte, matematik hataları önemli bir keşfe yol açtı. 1960’larda bir gün, Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nde bir meteorolog olan Edward Lorenz, bilgisayarında hava simülasyonlarını gözlemlemekle meşguldü. Bir süre sonra ara vermeye karar verdi. Lorenz programı çalıştırmayı bıraktı ve ara sonuçları not etti. Kahvesini bitirdikten sonra Lorenz masasına döndü, ara sonuçları bilgisayara geri verdi ve simülasyonu çalıştırdı. Ancak bilgisayarındaki hava durumu, önceki simülasyonlarda gözlemlediğinden tamamen farklı sonuçlar veriyordu. Lorenz bir süre bu bulmacayı düşündükten sonra nedenini anladı.

Kahve almaya gitmeden önce bilgisayar ekranında gördüğü sayıları kopyalamıştı. Bu sayılar, virgülden sonraki üç basamağı gösteriyordu. Ancak bilgisayarın içinde sayılar sekiz ondalık basamağa kadar saklanıyordu. Lorenz son üç sayıyı bilgisayara girdiğinde sistem başka bir biçimde çalışmaya başlamıştı. Hava simülasyonu hesaplaması, doğrusal olmayan işlemler içerdiğinden, şaşırtıcı farkın ortaya çıkması normaldi. Doğrusal olmayan ifadeler – yani kare alma veya karekök alma gibi ifadeler – çok hızlı bir şekilde küçük hataları bile büyütme gibi can sıkıcı özelliklere sahiptir.

Kaos Teorisi

kaos

Edward Lorenz’in keşfi, kaos teorisinin temelini oluşturdu. Bu teorinin sonuçlarından biri, ünlü kelebek etkisidir. Temel olarak, bir kelebeğin kanatlarının hareketinin dünyanın diğer ucunda bir kasırgayı serbest bırakabileceğini söyler. Bir kelebeğin çırpınan kanatlarının neden olduğu havadaki küçük girdaplar, ondalık bir virgülden sonraki 30. basamaktaki bir değişikliği temsil edebilir. Bununla birlikte, havadaki doğrusal olmayan durumlar, küçük hava hareketlerini bir milyar kat artırabilir. Kanat çırpış bir kasırgaya neden olabilir. Ama olaylara olumlu bakarsak bu cümleyi şöyle de kurabiliriz. Bir kelebek, zarif kanatlarını çırparak, bir kasırganın ortaya çıkmasını da önleyebilir. Ters kelebek etkisinden yararlanan matematiksel modeller, örneğin kardiyolojide uygulama alanı bulur. Tam olarak doğru zamanda salınan küçük elektrik şokları, kaotik bir kalp atışını düzeltebilir ve bir kalp krizini önleyebilir.

Kaynak: George G. Szpiro; The Secret Life of Numbers: 50 Easy Pieces on How Mathematicians Work and Think; ISBN: 0-309-65958-2

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu