Günlük Hayatımızda Matematik

İkinci Dereceden Denklemlerin 101 Kullanım Yeri

Her şey M. Ö. 3000 civarında Babilliler ile başladı. Babilliler dünyadaki ilk uygarlıklardan biriydi ve tarım, sulama ve yazma gibi bazı harika fikirler bulmuşlardı. Güneşin, ayın ve gezegenlerin yörüngelerini belirleyip, bu yörüngeleri kil tabletler üzerine kaydetmişlerdi. Çemberin 360 dereceye bölünmesi de dahil birçok modern açı fikrini ve çok da hoş olmayan vergi memurluğu keşfini de onlara borçluyuz. Aslında Babillilerin ikinci derece denklemleri çözme ihtiyacı hissetmesinin arkasında yatan sebeplerden birisi vergilerle ilgilidir.

Çarpım tablosunda dokuzları gösteren çiviyazısı tabletler

Babilli bir çiftçi olduğunuzu varsayalım. Çiftliğinizin bir yerinde kare şeklinde üzerinde mısır yetiştirdiğiniz bir tarlanız olsun. Bu tarlada ne kadar ürün yetiştirebilirsiniz? Tarlanın bir kenar uzunluğunu iki kat büyütürseniz önceki yetiştirdiğinizin dört katı kadar mısır yetiştirebilirsiniz. Bunun sebebi yetiştirebileceğiniz mısır miktarının tarlanın alanıyla ve dolayısıyla bir kenarının karesiyle orantılı olmasıdır. Matematiksel terimlerle ifade etmek istersek, tarlanın bir kenar uzunluğu x birim, 1 birim uzunluğunda kenara sahip kare biçimindeki bir tarlada yetiştirebileceğiniz mısır miktarı m ve c yetiştirebileceğiniz mısır miktarı ise, bu c=m.x2 denklemi ile ifade edilir.

Bu bizim gün ışığı gibi ortada olan ilk ikinci derece denklemimizdir. İkinci derece denklemler ve alan hesabı öz kardeş gibidir. Fakat şu an herhangi bir şey çözmek zorunda değiliz, ta ki vergi memuru gelene kadar. Vergi memuru gelip de çiftçiye neşe içerisinde “Çiftliğine ait vergi borcunu ödemek için bana c miktar mısır vermeni istiyorum” dediği an çiftçinin ikilemi başlar. “Bu miktarda mısır üretmek için ne kadar büyüklükte bir tarlaya ihtiyacı vardır?” Bu soruya kolaylıkla cevap verebiliriz. Çiftçinin ihtiyaç duyduğu tarlanın bir kenar uzunluğu x= √c/m biçiminde verilir.

İkinci Dereceden Denklem Çözümü İçin Alternatif Bir Yaklaşım

Hesap makinesi kullanarak karekök hesabı yapmak bizim için kolay olsa da, bu iş Babilliler için o kadar da kolay değildi. Babilliler bunun için modern bilgisayarlar tarafından ikinci dereceden denklemlerden çok daha zor denklemleri çözmeye yarayan algoritmaya (bu algoritma Newton-Raphson yöntemi olarak bilinir) tamamen aynı olan bir ardışık yaklaşım yöntemi geliştirdiler. Yukarıda bahsi geçen tarla kare biçimde bir tarla olsa da, bütün tarlaların kare şeklinde olmasını bekleyemeyiz. Şimdi çiftçinin aşağıda gösterildiği gibi iki üçgene bölünebilen daha garip şekilli bir tarlaya sahip olduğunu varsayalım:

a ve b nin uygun değerleri için çiftçinin bu tarlada yetiştirebileceği mısır miktarı c= ax2+bx denklemi ile verilebilir. Bu denklem, ikinci dereceden bir denkleme yukarıda verdiğimiz ikinci derece denklemden daha çok benzemesine rağmen, çözümünü bulmak çok daha zordur. Fakat yine de Babilliler bir sonuca ulaşmıştır. Öncelikle bu denklemin her tarafı a ile bölünür ve tam kareye tamamlanır. Ortaya çıkan denklemin her iki tarafın karesi alınarak çözülebilir ve meşhur eşitlik elde edilir.

4ac ifadesi, ikinci dereceden denklemin ax2 +bx+c olarak yazılmasından kaynaklanır

Karekök alma işleminin pozitif ve negatif olmak üzere iki sonuç verir. Bu da ikinci dereceden denklemlerin iki tane çözümü olması sonucunu doğurur. İkinci dereceden denklemlerle ilgili öğretilenler genellikle geldiğimiz bu noktada durur ve daha ileriye gitmez. Çünkü çözümü veren formüle ulaşılmıştır. Formülde a, b ve c nin yerine çeşitli değerler yazılarak (iki) cevap verecek biçimde sayısız soru uydurulabilir. Fakat matematik bunu yapmakla zerre kadar ilgili değildir. Bir formül bulmak uzun bir yolda atılan ilk adımdır. Formülü bulduktan sonra, formülün ne anlama geldiğini, bize evren hakkında ne söylediğini ve bir formüle sahip olmanın gerçekten önemli olup olmadığını sorgulamalıyız. Şimdi bu formülün bizi nereye götüreceğini görelim.

Yunanlılar için bir sürpriz, biraz matematiksel origami ve orantı duygusu

Şimdi zamanı bin yıl kadar ileri sarıp, Antik Yunanlıların ikinci derece denklemleri nasıl kullandıklarına bakalım. Yunanlılar mükemmel matematikçilerdi ve bugün hala kullandığımız matematiğin çoğunu keşfetmişlerdi. Çözmekle ilgilendikleri denklemlerden birisi basit x2=2 ikinci dereceden denklemiydi. Bu denklemin bir çözümü olduğunu biliyorlardı. Gerçekten, bu denklemin çözümü bir birim uzunlukta kenarlara sahip dik açılı bir üçgenin hipotenüsüdür.

a ve b uzunluklu dik kenarlara sahip üçgenin hipotenüs uzunluğu c ise o halde Pisagor teoreminden a2+b2=c2 yazılabilir. Bu denklemde a=b=1 ve x=c alınırsa x²=2 ve dolayısıyla x= √2 olur. Peki bu durumda x nedir? Veya soruyu Yunanlıların sorduğu gibi sorarsak, x ne tür bir sayıdır?

Bunun önemli olmasının nedeni. Yunanlıların orantı algısında yatıyordu. Çünkü Yunanlılar her sayının birbiriyle orantılı olduğuna ve a ve b tam sayılar olmak üzere, tüm sayıların a/b biçiminde kesirlerle ifade edilebileceğine inanıyorlardı. Fakat, x= √2 sürpriz bir biçimde kesirlerle ifade edilemiyordu. Gerçekte bu ifade 1.4142135623730950488.. biçiminde sonsuza kadar devam ediyordu. x= √2 tanımlanan ilk irrasyonel sayıydı. Bu sayılarla ilgili olumlu bir düşünce tarzına sahip olmamız on dokuzuncu yüzyılı buldu. Yunanlılar bu noktadan sonra cebirden vazgeçtiler ve geometriye yöneldiler. ( Daha fazla bilgi için bu yazımıza göz atabilirsiniz: İrrasyonel Sayıların Keşfi ve Karekök 2 Sayısının Hikayesi)

İkinci Dereceden Denklemler ve A4 Kağıdı

Aslında x= √2 düzenli olarak karşılaştığımız bir sayıdır. Mesela A4 boyutunda bir kağıdı her kullandığımızda x= √2 sayısına rastlarız. Avrupa’da kağıt ölçüleri A boyutlarında ölçülür. A0 bir metrekare alana sahip en büyük boyutlu kağıttır. A boyutlarının arasında özel bir ilişki vardır. Şimdi biraz origami yapalım. A1 boyutunda bir kağıdı alıp uzun kenarı boyunca ikiye katlarsak A2 boyutunda bir kağıt elde ederiz. A2 boyutundaki bu kağıdı tekrar ikiye katlamak bize A3 boyutunda bir kağıt verir. A3 boyutundaki kağıdı ikiye katlamak A4 boyutunda bir kağıt verir. Fakat, bu kağıtlar her birindeki A boyutların oranı aynı olacak biçimde tasarlanmıştır. Yani her bir kağıt aynı şekle sahiptir.

Peki, bu oran nedir? x uzun kenar olmak üzere, x ve y kenar ölçülerine sahip bir kağıt parçası ile işe başlayalım. Şimdi bu kağıdı uzun kenar y ve kısa kenar x/2 olacak biçimde iki eşit parçaya bölelim. İşe başladığımız ilk kağıdın kenarları oranı x/y ve ikinci kağıdın kenarları oranı ise y/(x/2) veya 2y/x olur. Bu iki oranın birbirine eşit olmasını istiyoruz. Eşitleyip gerekli düzenlemeleri yaparsanız elde edeceğiniz sonuç x/y= √2 olacaktır. ( Daha fazla bilgi için: A4 Kağıdı Boyutu Neden Tam Değer Değildir?). ABD’de kullanılan ve foolscap olarak isimlendirilen kağıt farklı bir orana sahiptir. Neden böyle olduğunu görmek için tekrar Yunanlılara dönelim. Başka bir ikinci dereceden denklem ele alalım.

Altın Dikdörtgen

Bir dikdörtgenle işe başlayalım ve sonra bu dikdörtgenden dikdörtgenin kısa kenarıyla aynı ölçülere sahip bir kareyi çıkaralım. Eğer dikdörtgenin uzun kenarı 1 ve kısa kenarı x uzunluğuna sahipse, karenin kenar uzunluğu x olacaktır ve bu kareyi dikdörtgenden çıkarmak uzun kenarı x, kısa kenarı 1-x olan başka bir dikdörtgen verecektir.

Yunanlılar, yukarıda bahsedilen büyük ve küçük dikdörtgenler aynı kenar oranlarına sahip olduğu zaman büyük dikdörtgenin en estetik dikdörtgen olduğuna inanır ve bu dikdörtgeni altın dikdörtgen olarak isimlendirirdi. Bir dikdörtgenin altın dikdörtgen olması için aşağıdaki eşitliklerinin sağlanması gerekir.

Bu ise her türlü uygulamada sıkça karşılaşılan çok önemli başka bir ikinci dereceden denklemdir ve bu denklemin (pozitif) çözümü bizi altın orana götürür. Altın oran yakın zamanda fotoğraflarda ve film karelerinde de “mükemmel şekil” olarak görülmeye başlanmıştır. x2+x+1 ikinci dereceden denklemi ayrıca tavşan popülasyonu ile ilgili çalışmalarda ve ayçiçeği tohumları ve bitki saplarındaki yaprakların yerleşimindeki örüntülerde de ortaya çıkar. Bunların hepsi, altın oran ile verilen Fibonacci dizisi ile bağlantılıdır: 1,1,2,3,5,8,13,21,34… Bu dizideki her terimin bir sonraki terimle oranı gittikçe altın oranına yaklaşır.

Altın oran kullanımının somut bir örneği olan Yunanistan’daki Parthenon tapınağı

Konikler ve ikinci dereceden denklemler

Yunanlılar ayrıca konilerin şekli ile de çok ilgililerdi. Bir el fenerini duvar gibi düz bir yüzeye doğru tutup hareket ettirirseniz bu hareket esnasında oluşan çeşitli şekiller görürsünüz. Bu şekillere konik kesitler denir ve bunlar koniden çeşitli açılarda aldığınız dilimlerle elde ettiğiniz eğrilerdir. Tam olarak bu eğriler Yunanlılar tarafından incelenmiştir ve Yunanlılar temelde dört tip konik kesit olduğunu fark etmişlerdir. Koni boyunca yatay bir kesit alırsanız bir daire, yataya küçük bir açıyla yaklaşarak bir kesit alırsanız bir elips, dikey bir kesit alırsanız bir hiperbol ve koninin bir tarafına paralel bir kesit alırsanız bir parabol elde edersiniz.

Konik kesitlerin her biri ikinci dereceden bir denklemle ifade edilir. (x,y) her bir eğrinin üzerinden alınan bir nokta olmak üzere, x ve y yi birbirine bağlayan ikinci dereceden denklemler aşağıdaki gibidir: 

  • Çember denklemi: x2+y2=1
  • Elips denklemi: ax2+by2=1
  • Hiperbol denklemi: ax2-by2=1
  • Parabol denklemi: ax2=y

Gördüğünüz gibi ikinci dereceden denklemlerin kullanım yeri sanılandan çok daha fazladır. İkinci dereceden denklemler ve konikler arasındaki bağlantı, biraz da şans ile birleştiğinde, evrenin nasıl çalıştığının anlaşılmasına yol açmış ve dünyamızı algılama biçimimizi değiştirmiştir. Onu da başka bir yazıda aktaralım.

Kaynak ve İleri Okuma: 101 uses of a quadratic equation; https://plus.maths.org/

Matematiksel

Fatma Ayca Cetinkaya

Matematik alanındaki lisans derecemi Ankara Üniversitesi'nden, yüksek lisans ve doktora derecelerimi Mersin Üniversitesi'nden aldım. Mersin Üniversitesi Matematik bölümünde öğretim üyesi olarak görev yapmaktayım.
Başa dön tuşu