Matematiğin temel ilkelerinden biri, gerçek dünya problemlerine çözüm bulmak için denklemleri kullanmasıdır. Bu problemlerin parabol gibi eğri alanlarını veya yollarını içerdiği durumlarda, ikinci dereceden denklemler kullanılır ve bu sayede bir topun veya roketin uçuşu gibi fiziksel olaylar tanımlanır. İkinci dereceden denklemler Ax2+Bx+C=0 biçiminde tanımlanır. İkinci dereceden denklemin hayatta kalan en eski örneklerinden birine, Berlin papirüsü olarak bilinen eski Mısır metninde rastlanır. (yaklaşık MÖ 2000). İkinci dereceden denklemlerin diğer erken kayıtlarına, bir Babil kil tabletlerinde de rastlanır.
7. yüzyılda, Hintli matematikçi Brahmagupta’nın, ax2 + bx = c formundaki denklemlere uygulanabilecek ikinci dereceden denklemleri çözmek için bir formül yazdığı da bilinmektedir. Yazdığı formül o zamanın matematikçileri harf veya sembol kullanmadığı için kelimelerle olsa da aslında günümüzde kullandığımız formülün çıkış noktası burasıdır.
8. yüzyılda ise el-Harizmi, kareye tamamlamak olarak bilinen ikinci dereceden denklemler için geometrik bir çözüm kullanmıştır. Tabi ki o süreçteki çözümlerin hepsi biraz eksik kalmıştı. Çünkü o sürece kadar bu denklemler gerçek hayatta karşılaşılan sorunları çözmek için kullanıldığından kimse cevabın negatif sayı da çıkabileceğini kabul etmemişti.
10. yüzyılda, Mısırlı bilim insanı Ebu Kamil Şuca, hem çözüm hem de katsayı olarak negatif sayıları ve cebirsel irrasyonel sayıları (2’nin karekökü gibi) kullandı. 1545’te İtalyan bilim insanı Gerolamo Cardano, Ars Magna’yı yayınladı ve ikinci dereceden denklemlerin köklerinin sanal sayılar çıkabileceğini de gösterdi. Bu biçimde konu ile ilgili bilinmezlikler ortadan kalktıkça bu denklemlere ilgimizi giderek yitirmeye başladık.
Ancak Pittsburgh’daki Carnegie Mellon Üniversitesi’nde bir matematikçi olan Po-Shen Loh ise aynı düşüncede değil. Kendisi ikinci derecen bir denklemi çözmek için yeni bir yöntem kullanıyor. Bu yöntem ezberlenmesi gereken tanımları da ortadan kaldırıyor.
İkinci Dereceden Denklemleri Çözmek İçin Modern Yöntem
Ax2+Bx+C=0 denklemin köklerini bulmak için kullandığımız klasik formül yukarıda gördüğünüz formüldür. Yeni yaklaşım ikinci dereceden bir denklemin aşağıdaki şekilde çarpanlara ayrılabileceği gözlemiyle başlıyor. Ayrıca, 1560-1621 yılları arasında yaşamış olan matematikçi Thomas Harriot tarafından ispatlandığı gibi Köklerin toplamının -B/A ve çarpımının da C/A olduğunu biliyoruz.
Sağ taraf x = R veya x = S olduğunda sonuç 0’a eşittir. O zaman bunlar kökler olacaktır. Şimdi iki sayı arıyoruz. Denklemde A=1 olduğundan bu sayıların toplamı -B, çarpımı ise bize C’yi vermek zorunda. Sağ taraftaki iki parantezi çarptığımızda ve benzer terimleri topladığımızda denklem aşağıdaki gibi gözükmeye başlar.
Bu yukarıda da dediğimiz gibi, -B = R + S ve C = RS olduğunda geçerlidir. Şimdi burada duralım. R ve S sayılarının toplamları B olduğuna göre bu toplamı ikiye bölersek ortalamasını bulabiliriz. Yani ortadaki sayıyı. Aradığımız kökler de bu sayıya eşit uzaklıkta olmak zorunda. Ne kadar uzaklıkta olduğunu bilmediğimize göre buna z diyelim. O zaman köklerimiz -B/2+z ve -B/2 – z olmalıdır. Madem C bu sayıların çarpımı o zaman çarpalım.
Elde ederiz. Son bir düzenlemeden sonrada karşımıza ikinci dereceden denklem formülü çıkar.
[Daha genel versiyonunu Ax2+Bx+C=0 denkleminin her terimini A’ya bölerek ve yukarıdaki işlemi tekrarlayarak elde edilebilir.] İlk etapta oldukça karışık gelmiş olabilir. Şimdi basit bir örnek üzerinden devam edelim.
Bir Örnek Yapalım
SORU: x2 – 2x+4=0 denkleminin köklerini bulunuz.
Geleneksel yöntem, A, B ve C değerlerini hesaplamak için bunları formülde yerlerine yerleştirmektir. Fakat Loh’un yaklaşımı soruyu sezgisel olarak çözüyor. Toplamları 2, çarpımları 4 olan iki sayıya ihtiyacımız var. İlk iş 2 sayısının ortalamasını alalım. -2 ve 4 sayısını toplar ve ikiye bölersek ortalamalarını 1 buluruz. Bu sayı aslında aradığımız iki kökün ortasındaki sayıdır. Bu durumda köklerimiz (1-z) ve (1+z) dir. Çarpımları ise aşağıda verilmiştir.
Bu durumda köklerimiz aşağıdaki biçimde olacaktır.
Yeni yaklaşım, formülün ezberlenmesini gerektirmediği için çok daha kolay ve sezgisel. Üstelik bir kaç deneme yaptıktan sonra hemen akılda kalabiliyor. Her denklemde de doğru sonucu veriyor. Bu yeni yaklaşım biçimi matematik kitaplarında yer alır mı bilinmez ama bu kadar basit bir çözümün bunca yıldır hiçbir matematikçi tarafından uygulanmaması gerçekten ilginç. Araştırma makalesi, arXiv.org‘da bulunabilir. Po-Shen Loh’un bu basit kanıta yönelik genel açıklamasını ise buradan okuyabilirsiniz.
Matematiksel
