CEBİR

İkinci Dereceden Denklemleri Çözmenin Farklı Bir Yolu

Lise yıllarında matematik dersi alan her kişi ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için kullanılan, Babiller tarafından ortaya konmuş, 4000 yıllık aşağıdaki formül ile tanışır.

ikinci dereceden denklemler yeni formül

Cebirin daha ortalarda olmadığı zamanlarda, bir kareyi tamamlama mantığı ile sezgisel bir biçimde uygulanan bu yöntem Babillerin ve elbette devamında gelen bir çok medeniyetin oldukça işine yaramıştı.

Cebirin bulunması ile formül haline getirildikten sonra da muhtemel bir sorunun çözüldüğü düşüncesi ile matematikçiler bu formülü geliştirmek için çaba göstermemişti.

Pittsburgh’daki Carnegie Mellon Üniversitesi’nde bir matematikçi olan Po-Shen Loh ise aynı düşüncede değildi.

Loh’un yaklaşımı kareyi tamamlama ya da başka bir cebirsel dönüşüme dayanmıyor. İşin en güzel tarafı da bu yöntem sayesinde ortada ezberlenmesi gereken herhangi bir formül kalmıyor.

İkinci Dereceden Denklemleri Çözmek İçin Yeni Bir Yöntem

Ax2+Bx+C=0 bildiğiniz gibi ikinci dereceden (quadratik) bir denklem. Aşağıda göreceğiniz denklem ise bu denklemin köklerini bulmak için kullandığımız klasik formül:

Yeni yaklaşım ikinci dereceden bir denklemin aşağıdaki şekilde çarpanlara ayrılabileceği gözlemiyle başlıyor.

Sağ taraf x = R veya x = S olduğunda sonuç 0’a eşittir. O zaman bunlar kökler olacaktır. Şimdi iki sayı arıyoruz. Bu sayıların toplamı -B, çarpımı ise bize C’yi vermek zorunda.

Sağ taraftaki iki parantezi çarptığımızda ve benzer terimleri topladığımızda denklem aşağıdaki gibi gözükmeye başlar.

Bu,yukarıda da dediğimiz gibi, -B = R + S ve C = RS olduğunda geçerlidir. Şimdi burada duralım.

R ve S sayılarının toplamları B olduğuna göre bu toplamı ikiye bölersek ortalamasını bulabiliriz. Yani ortadaki sayıyı. Aradığımız kökler de bu sayıya eşit uzaklıkta olmak zorunda.

Ne kadar uzaklıkta olduğunu bilmediğimize göre buna z diyelim. O zaman köklerimiz -B/2+z ve -B/2 – z olmalıdır.

Madem C bu sayıların çarpımı o zaman çarpalım.

Yukarıdaki denklemi düzenlersek.

Elde ederiz. Son bir düzenlemeden sonrada karşımıza ikinci dereceden denklem formülü çıkar.

[Daha genel versiyonunu Ax2+Bx+C=0 denkleminin her terimini A’ya bölerek ve yukarıdaki işlemi tekrarlayarak elde edilebilir.]

İlk etapta oldukça karışık gelmiş olabilir. Şimdi basit bir örnek üzerinden devam edelim.

SORU: x– 2x+4=0 denkleminin köklerini bulunuz.

Geleneksel yöntem, A, B ve C değerlerini hesaplamak için bunları formülde yerlerine yerleştirmektir. Fakat Loh’un yaklaşımı soruyu sezgisel olarak çözüyor.

Toplamları 2, çarpımları 4 olan iki sayıya ihtiyacımız var.

İlk iş 2 sayısının ortalamasını alalım yani 1. Bu sayı iki kökün ortasındaki sayı, bu durumda köklerimiz (1-z) ve (1+z) dir. Çarpımları ise aşağıda verilmiştir.

Bu durumda köklerimiz aşağıdaki biçimde olacaktır.

Yeni yaklaşım, formülün ezberlenmesini gerektirmediği için çok daha kolay ve sezgisel. Üstelik bir kaç deneme yaptıktan sonra hemen akılda kalabiliyor. Her denklemde de doğru sonucu veriyor.

Bu yeni yaklaşım biçimi matematik kitaplarında yer alır mı bilinmez ama bu kadar basit bir çözümün bunca yıldır hiçbir matematikçi tarafından uygulanmaması gerçekten ilginç.

Konu ile ilgili aşağıdaki video da size ek bilgi verebilir:

Araştırma makalesi, arXiv.org‘da bulunabilir. Po-Shen Loh’un bu basit kanıta yönelik genel açıklamasını ise buradan okuyabilirsiniz.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.
Başa dön tuşu