Geometri

J. S. Bach ve Yengeç Kanonu: Klasik Müziğin Topoloji İle Buluşması

Klasik müzik, ortaçağın başlangıcından 1900’lerin başlarına kadarki müziğin büyük bir bölümünü kapsar. 1550-1900 arasında da en canlı dönemini yaşamıştır. Barok Dönemi ise detaylı müzikal süsleme, yeni çalım tekniklerinin geliştirilmesi, müzik notasyonundaki değişiklikler ile ünlüdür. Müziğin gerçek yaşamdaki duyguları temsil etmesi fikri bu dönemde ortaya çıkmıştır. Bu dönemin en önemli isimlerinden biri Johann Sebastian Bach’tır. Eserleri üzerinde yorum yapan müzik tarihçileri her birinin ayrı bir zekâ ürünü olduğu konusunda hemfikirdir. Onun kanonları aldatıcı derecede basit bir kurallar dizisinden oluşturulmuştur. Arka planındaki fikir ise son derece matematikseldir.

Müzikte bir çeşit çok seslilik kuralı ile yapılmış parçalara kanon denir. 2 sesli bir kanon en az 2 kişi tarafından art arda başlanarak çalınır veya okunur. Bir kanonda önce birinci ses girer. Sabit bir süre geçtikten sonra tamamıyla aynı anahtardan onun “kopyası” girer. İkinci ses için de aynı sabit süre geç­tikten sonra üçüncü ses aynı temayla girer. Böyle devam eder. Kanonların çok daha karmaşık çeşitleri vardır. Karmaşıklığı artı­ran ilk adım, temanın kopyasının yalnızca zaman aralıklarıyla değil farklı perdelerle söylenmesiyle olur. Örneğin böylece birinci ses temaya Do sesiy­le başlar. Ancak ikinci ses dört nota yüksek­ten Sol sesiyle başlayarak aynı temayı söyler. Karmaşıklığın ikinci adımı farklı seslerin hızları eşit olmadığında ortaya çıkar. Yani ikinci ses birinci sesin iki katı hızlı veya iki katı yavaş olur.

Johann Sebastian Bach (1748).

Daha bitmedi! Kanon kuruluşunda karmaşıklığın sonraki adımı temayı çe­virmedir. Bach çevirmelere özellikle düşkündü, eserlerinde sıkça örneklerine rastlanmaktadır. Bunun en iyi örnekleri Müzikal Sunu’da (Musical Offering) karşımıza çıkar. En karmaşık kanon türü de ters yönde olanlardır. Yani tema zaman içinde sondan başa doğ­ru çalınır. Bu hilenin kullanıldığı kanon, yengecin yürüyüşünün özelliği nede­niyle yengeç kanonu diye adlandırılır.

Johann Sebastian Bach’ın el yazısıyla The Musical Offeringden altı sesli füg

Bach ve Yengeç Kanonu

Barok müzik özünde saray müziği idi. Dönemin Prusya kralı, Kral Büyük Friedrich tam bir müzik aşığıydı. Kral’ın onbeş kadar Silbermann piyanosu olduğu bilinmektedir. Frederick yalnızca piyanoların değil, J. S. Bach’ın da hayranıydı. Ayrıca, Frederick, sarayında akşamları oda müziği konserleri düzenlemeyi severdi. Sonunda 1747’de bu davetlerden bir tanesine Bach’da dahil oldu. Bu ziyarette Bach Kral’dan kendisine bir Füg konusu ver­mesini istedi. ( Füg kanona benzer. Genellikle farklı seslerde ve farklı anahtarlarda, bazen de farklı hızlarda, baş aşağı ya da geri geri çalınan bir tema içerir.)

Kral konusunun doğaçlamadan ustaca çalınmasından hayranlık duyarak ve herhalde sanatın nereye kadar varabileceğini görmek için altı zorunlu sesli bir Füg dinlemek istediğini söyledi. “Musikalisches Opfer” [Müzikal Sunu] bu sayede ortaya çıktı. Müzikal Sunu’daki on kanon Bach’ın yazdığı kanonlar arasında en ince iş­lenmiş olanlardır. Ama tuhaftır ki Bach bunları hiçbir zaman tamamıyla yazıya dökmemiştir. Bu kasıtlı yapılmıştır. Bunlar Kral Frederick’e bulmacalar halinde sunulmuştur. Bunun nedeni de bir tema üzerine kurulan kanonun bir başkası tarafından keşfedilmesinin o günle­rin yaygın bir müzik oyunu olmasıdır. Müzikal Sunu elbette Yengeç kanonu da içeriyordu.

Yengeç kanonu müzikal bir Möbius şerididir

Nota diziliminin temelde iki boyutu vardır: perde ve zaman. Zaman koordinatı soldan sağa doğru ilerler (x ekseni) ve perde koordinatı ise yüksekliğe karşılık gelir ( y- ekseni). Topolojik olarak bu iki boyutlu bir şerittir. Ancak bu dizilim içinde simetri barındırırsa ortaya ilginç bir şey çıkar. Eğer bir eser, aynı nota dizisini tekrar tekrar çalıyorsa karşımıza topolojik olarak bir silindir çıkar. Bach’ın tüm kanonları bu şekilde düzenlenmiştir.

Müzik notasyonunda, tekrar çubukları dizinin sonunu başlangıcıyla tanımlar. Bu tanımlama, eseri topolojik olarak bir silindir haline getirir

Kayma-yansıma simetrisine sahip herhangi bir periyodik metin bir Möbius şeridine uygulanabilir. Möbius şeridi, geometrik olarak uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece bükerek diğer ucu ile birleştirilmesiyle elde edilen yüzeydir.

Möbius şeridinde kodlanmış, kayma-yansıma simetrisine sahip periyodik bir metin. Şerit yukarıdan ve aşağıdan gösterilmiştir. Görsel: Tony Phillips.

Yukarıda kısaca aktarmaya çalıştığımız oluşum biçimi Bach’ın yengeç kanonunda da karşımıza çıkar.

Yukarıda aktardığımız formata uygun notaları kağıt bir şeride yazıp, Möbius şeridi olacak biçimde bükersek bu şekilde görünecektir. Her notun iki kopyasının artık tam olarak eşleştiğine dikkat edin.

Şu ana kadar aktardığımız süreci aşağıdaki kısa video da dinleyerek daha iyi kavrayabilirsiniz.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • Bach and the musical torus; https://plus.maths.org/
  • Douglas R. Hofstadter; GÖDEL, ESCHER, BACH: bir Ebedi Gökçe Belik; ISBN 978-605-87953-0-3

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu