Sanat ve Edebiyat

Bach ve Yengeç Kanonu: Klasik Müziğin Topoloji İle Buluşması

Klasik müzik, ortaçağın başlangıcından 1900’lerin başlarına kadarki müziğin büyük bir bölümünü kapsar. 1550-1900 arasında da en canlı dönemini yaşamıştır. Bu dönemin en önemli isimlerinden biri Johann Sebastian Bach’tır. Eserleri üzerinde yorum yapan müzik tarihçileri her birinin ayrı bir zekâ ürünü olduğu konusunda hemfikirdir.

Johann Sebastian Bach (1748). Bach sayılara takıntılı bir müzisyendi ve özellikle 14 sayısının onun için özel bir anlamı vardı. Yaşadığı dönemde birçok Avrupalı ​​düşünür ve filozof, harfleri sayılara çevirmek ve bağlantılar çıkarmak için Kabala ile ilgileniyordu. Bach, soyadının (BACH) harflerinin sayılara çevrilip toplandığında 2 + 1 + 3 + 8 = 14 olduğunu keşfetmiş ve devamında bu sayı onun imzası haline gelmişti. 

Onun kanonları aldatıcı derecede basit bir kurallar dizisinden oluşturulmuştur. Arka planındaki fikir ise son derece matematikseldir.

Müzikte Kanon Nedir?

Müzikte bir çeşit çok seslilik kuralı ile yapılmış parçalara kanon denir. 2 sesli bir kanon en az 2 kişi tarafından art arda başlanarak çalınır veya okunur. Bir kanonda önce birinci ses girer. Sabit bir süre geçtikten sonra tamamıyla aynı anahtardan onun “kopyası” girer. İkinci ses için de aynı sabit süre geç­tikten sonra üçüncü ses aynı temayla girer. Böyle devam eder.

Kanonların çok daha karmaşık çeşitleri vardır. Karmaşıklığı artı­ran ilk adım, temanın kopyasının yalnızca zaman aralıklarıyla değil farklı perdelerle söylenmesiyle olur. Örneğin böylece birinci ses temaya Do sesiy­le başlar. Ancak ikinci ses dört nota yüksek­ten sol sesiyle başlayarak aynı temayı söyler. Karmaşıklığın ikinci adımı farklı seslerin hızları eşit olmadığında ortaya çıkar. Yani ikinci ses birinci sesin iki katı hızlı veya iki katı yavaş olur.

Daha bitmedi! Kanon kuruluşunda karmaşıklığın sonraki adımı temayı çe­virmedir. Bach çevirmelere özellikle düşkündü, eserlerinde sıkça örneklerine rastlanmaktadır. Bunun en iyi örnekleri Müzikal Sunu’da (Musical Offering) karşımıza çıkar. En karmaşık kanon türü de ters yönde olanlardır. Yani tema zaman içinde sondan başa doğ­ru çalınır. Bu hilenin kullanıldığı kanon, yengecin yürüyüşünün özelliği nede­niyle yengeç kanonu diye adlandırılmaktadır.

Johann Sebastian Bach’ın el yazısıyla The Musical Offeringden altı sesli füg

Bach ve Yengeç Kanonu

Barok müzik özünde saray müziği idi. Dönemin Prusya kralı, Kral Büyük Friedrich tam bir müzik aşığıydı. Kral’ın onbeş kadar Silbermann piyanosu olduğu bilinmektedir. Frederick yalnızca piyanoların değil, J. S. Bach’ın da hayranıydı. Ayrıca, Frederick, sarayında akşamları oda müziği konserleri düzenlemeyi severdi. Sonunda 1747’de bu davetlerden bir tanesine Bach’da dahil oldu. Bu ziyarette Bach Kral’dan kendisine bir Füg konusu ver­mesini istedi. ( Füg kanona benzer. Genellikle farklı seslerde ve farklı anahtarlarda, bazen de farklı hızlarda, baş aşağı ya da geri geri çalınan bir tema içerir.)

Kral konusunun doğaçlamadan ustaca çalınmasından hayranlık duyarak ve herhalde sanatın nereye kadar varabileceğini görmek için altı zorunlu sesli bir Füg dinlemek istediğini söyledi. Sonrasında da “Musikalisches Opfer” [Müzikal Sunu] ortaya çıktı. Müzikal Sunu’daki on kanon Bach’ın yazdığı kanonlar arasında en ince iş­lenmiş olanlardır.

Ama tuhaftır ki Bach bunları hiçbir zaman tamamıyla yazıya dökmemiştir. Bu kasıtlı yapılmıştır. Bunlar Kral Frederick’e bulmacalar halinde sunulmuştur. Bunun nedeni de bir tema üzerine kurulan kanonun bir başkası tarafından keşfedilmesinin o günle­rin yaygın bir müzik oyunu olmasıdır. Müzikal Sunu elbette Yengeç kanonu da içeriyordu.

Yengeç kanonu müzikal bir Möbius şerididir

Müzik notasyonunda, tekrar çubukları dizinin sonunu başlangıcıyla tanımlar. Bu tanımlama, eseri topolojik olarak bir silindir haline getirir

Nota diziliminin temelde iki boyutu vardır: perde ve zaman. Zaman koordinatı soldan sağa doğru ilerler (x ekseni) ve perde koordinatı ise yüksekliğe karşılık gelir ( y- ekseni). Topolojik olarak bu iki boyutlu bir şerittir. Ancak bu dizilim içinde simetri barındırırsa ortaya ilginç bir şey çıkar. Eğer bir eser, aynı nota dizisini tekrar tekrar çalıyorsa karşımıza topolojik olarak bir silindir çıkar. Bach’ın tüm kanonları bu şekilde düzenlenmiştir.

Möbius şeridinde kodlanmış, kayma-yansıma simetrisine sahip periyodik bir metin. Şerit yukarıdan ve aşağıdan gösterilmiştir. Görsel: Tony Phillips.

Kayma-yansıma simetrisine sahip herhangi bir periyodik metin bir Möbius şeridine uygulanabilir. Möbius şeridi, geometrik olarak uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece bükerek diğer ucu ile birleştirilmesiyle elde edilen yüzeydir.

Yukarıda aktardığımız formata uygun notaları kağıt bir şeride yazıp, Möbius şeridi olacak biçimde bükersek bu şekilde görünecektir. Her notun iki kopyasının artık tam olarak eşleştiğine dikkat edin.

Yukarıda kısaca aktarmaya çalıştığımız oluşum biçimi Bach’ın yengeç kanonunda da karşımıza çıkar. Süreci bu video da dinleyerek daha iyi kavrayabilirsiniz.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip not:

Matematiksel, tamamen gönüllü bir ekip tarafından 2015 yılından beri yürütülen, Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmayı hedefleyen, öğretmenler tarafından kurulmuş bir bilim platformudur. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu