Fourier Dönüşümü: Bir Ses Kaydı Nasıl Dijital Müzik Dosyasına Dönüşür?

Bilgisayarınıza bir şarkı indirdiğinizde veya MP3 çalarınızda bir dijital müzik dosyası çaldığınızda, Fourier dönüşümü adı verilen matematiksel bir denklemden yararlandığınızı biliyor muydunuz? Hatta internette gördüğünüz fotoğrafları minik JPG formatına dönüştüren, hatta ses geçirmez kulaklıklarınızın çalışmasını sağlayan da bu denklem. Gelin nasıl çalıştığına bir bakalım…

Fourier Dönüşümü, matematikçi Baron Jean-Baptiste-Joseph Fourier tarafından geliştirildi ve 1822’de yazdığı Isının Analitik Teorisi isimli kitabında yayınlandı. Baron, ısının malzemeler içinde ve etrafında nasıl aktığıyla ilgileniyordu. Bu olguyu çalışırken, bu dönüşüm formülünü geliştirdi. Ancak onun asıl büyük başarısı, karmaşık sinyallerin çok daha basit sinyallerin birbirine eklenmesiyle elde edilebileceğini fark etmesiydi. Bunu, sinüsoid denen dalgalarla yapmayı tercih etti.

Fourier Dönüşümü: Bir Ses Kaydı Nasıl Dijital Müzik Dosyasına Dönüşür?
3 Farklı Sinüs Dalgası: Diyelim ki bir piyanonun tuşlarından üçüne aynı anda bastınız. Bu durumda, 3 ayrı nota üretirsiniz. Bunların her birinin tanımlanmış frekansları vardır.
Fourier Dönüşümü: Bir Ses Kaydı Nasıl Dijital Müzik Dosyasına Dönüşür?
Ancak yukarıdaki görseldeki dalgaları birbirine eklediğinizde, şu dalgayı elde edersiniz:

Fourier Dönüşümü ismi size ilk etapta tuhaf gelebilir, ancak bunu bir tür araç olarak düşünmeniz gerekir. Bu aracın özünde, karmaşık dalgaları birçok basit dalgaya ayırmak ve basit dalgaları tek bir karmaşık dalga halinde birleştirmek vardır. Ve bu dalgalar, hem ses hem de yani dalga özelliği gösteren herhangi bir şey olabilir.

Ses mühendisleri bir ses kaydını MP3 dosyasına dönüştürmek istediklerinde, ses dalgasının ayrı ayrı frekanslarını ortaya çıkarmak ve her an genliklerini not etmek için Fourier dönüşümünü kullanırlar. Ardından, İnternet üzerinden aktarımı kolaylaştırmak için dosyayı sıkıştırmak isterlerse, insanların duyamayacağı frekansları ortadan kaldırabilirler.

İnsan kulağı da bir tür Fourier dönüşümü gerçekleştirir. Herhangi bir anda, tek bir karmaşık ses dalgası kulağa girer, burada kulak zarını titreştirir ve beynin daha sonra analiz edip yorumladığı elektrik dalgaları üretir. Ama o tek dalgayı asla duymazsınız: bunun yerine, solunuzda birinin telefonunda konuştuğunu, sağınızda bir arabanın kornasını çaldığını, üstünüzde bir kuşun cıvıldayıp bir ağaçta dolaştığını duyarsınız. Bunun nedeni o tek dalganın, onu oluşturan parçalarına ayrılmış olmasıdır.

Spotify ve Shazam

Spotify tarafından masaüstü istemcisi için kullanılan dosya türü olan Ogg Vorbis’in çalışma biçimi de genel olarak aynıdır. Bu arada, şarkı tespit yazılımı Shazam da aynı dönüşümleri kullanır. Shazam’ın belirli frekanslardan oluşan bir veri tabanı vardır ve siz ona bir şarkıyı dinlettiğinizde, şarkının sadece spesifik freakanslarını bu veritabanı eşleştirerek uyuşan şarkıyı bulur.

Madem sesten bahsediyoruz devam edelim. Gürültü önleyici kulaklıklarınız da Fourier dönüşümlerini kullanır. Bir mikrofon çevrenizdeki ortam gürültüsünü kaydeder. Kulaklığınız da bütün ses spektrumundaki frekansları analiz eder ve müziğinize buna uygun frekanslar ekleyerek ağlayan bebeklerin veya yoldan gelen gürültünün size ulaşmasını engeller.

Ses Harici Alanlarda Fourier Dönüşümü

Şu ana kadar sadece ses sinyallerinden bahsettik. Ancak bu yaklaşımı aynen kullanarak, dijital fotoğrafları da piksel piksel oluşturmaktan çok daha etkili yöntemler geliştirmemiz mümkün. Kayıpsız görüntü dosyaları, her bir pikselin rengini ayrı ayrı tanımlar. Bir görseli JPG olarak kaydettiğinizde, tüm görüntü daha küçük parçalara bölünür ve bloğun 2 boyutlu Fourier dönüşümü alınır. Bu, görüntünün bu küçük parçası üzerinde renk ve parlaklığın nasıl değiştiğine dair uzamsal frekansların bir tanımını sağlar. Bu esnada görsele keskinlik ve netlik veren bazı yüksek frekanslı parçaları atar.

Çoğumuzun gözleri renkteki ince farklılıkları ayırt edemediği için bu fazlalık frekanslardan kurtulmak görselin kalitesine zarar vermez. Ancak sıkıştırmayı yükseltirseniz, daha düşük ve daha düşük frekansları da dışarı atmaya başlarsınız ve işte o zaman görselde bozulmaları fark etmeye başlarsınız.

Depremler ve Dönüşümler

Bir deprem esnasında, diğer tüm nesneler gibi, binalarda kendi doğal frekansında titreşir. Depremin neden olduğu titreşimler binanın doğal frekansıyla eşleşirse, titreşimler yükselecek ve binanın hasar görme ihtimali daha yüksek olacaktır. Bu durumu ortadan kaldırmak için mühendisler, belirli bir konumdaki tipik depremlerin ayrı ayrı frekanslarını analiz etmek için Fourier dönüşümünü kullanırlar ve daha sonra bölgedeki binalarda bu frekansa göre ayarlamalar yaparlar.

Matematik bilmek ve doğru kullanmak kelimenin tam anlamıyla şehirlerin yıkılmasını engelleyebilir. Düşünecek olursanız tüm bunlar, ufacık bir denklem için fazlasıyla etkileyicidir.

Kaynak:

  • Digital Music Couldn’t Exist Without the Fourier Transform; https://gizmodo.com/
  • Raphael Rosen; From Klein Bottles to Chaos Theory, a Guide to the Nerdiest Math Facts, Theorems, and Equations

Matematiksel


Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu