Fizik

Fourier Serisi: Basit Bir Buluş Birçok Sırrın Kilidini Nasıl Açtı?

Matematikte bir problemi çözmek için tasarlanmış, ancak daha sonra diğer birçok problemi çözmek için kullanılmış bir en güzel örneklerinden biri Fourier serisidir. 19. yüzyılın başında metal işleme sektörünün ih­tiyaçları nedeniyle gezegenin iç sıcaklığı konusuna olan ilgi artmıştı. Bu dönemde bilimde ısı akışı büyük önem kazanmıştı. Dünyanın derinlerdeki sıcaklığını doğrudan ölçmek imkânsız olduğundan, geriye dolaylı yöntemler kalıyordu. Bu nedenle çeşit­li bileşimlere sahip cisimlerde ısının ne şekilde aktığını anlamak şarttı.

Joseph Fourier (1768-1830) de bu dönemde ısının katı bir nesneden nasıl yayıldığı sorununu çözmeye çalışıyordu. Sonunda buna bir çözüm üretti. Kenarlarından birine bir ısı kaynağı uygulandıktan sonra nesnenin, herhangi bir zamanda ve yerdeki sıcaklığını hesaplamasına izin verecek bir yaklaşım geliştirdi. Fourier’in yaptığı ilk iş, ısı akışı için kısmi türev denklemi elde etmek olmuş­tu. Denklemi basitleştirmek için çeşitli kabuller yapmıştı. Örneğin cisim homojen olmalı (özelikler, cismin her noktasında aynı olmalı) ve izotropik olmalıydı. (cismin her yönünde davranışlar birbirinin aynı olmalı). Bu şekilde, günümüzde ısı denklemi dediğimiz denklemi buldu.

Isı denklemi, üç-boyutlu bir cismin herhangi bir noktasında sıcaklığın zamana göre değişimini verir. Aşağıdaki denklemin çözümü T(x,t) nesnenin x noktasındaki ve t zamanındaki söyleyecektir. Bu denklemde yapılan küçük bir değişiklik karşımıza hiç beklenmedik sonuçlar çıkarmıştır.

Denklemde k nesnenin termal iletkenliğidir. Denklem bir cismin T biçimindeki sıcaklığını zamana ve uzaya bağlıdır.

Fourier öncelikle T(x,t) ifadesini basit fonksiyonların toplamı olarak olarak yazabileceğini düşündü. Yani çözümü adım adım yapacak, önce bu fonksiyonları çözecek, sonuçta da aradığı cevaba ulaşacaktı. İkinci olağanüstü kavrayışı, sıcaklığı oluşturmak için fonksiyon seçimindeydi. Seçimi, trigonometride ortaya çıkan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını kullanmaktı. Tüm bunların sonucunda denklemi aşağıdaki biçimde ifade etti.

.

Denklemde gördüğünüz a0(t), a1(t), a2(t), b0(t), b1(t) ve diğerleri kesin değeri başlangıç ​​koşullarına bağlı olan katsayılardır. Bu gösterim biçimi günümüzde Fourier serisi olarak adlandırılıyor. Aşağıda an(t) ve bn(t) ise aşağıda gördüğünüz formül ile belirleniyor. Formüldeki An ve Bn başlangıç koşullarına bağlı olarak değerler alıyor.

Fourier Serisi Ne İşe Yaradı?

İlk bakışta yukarıdaki denklem size bir anlam ifade etmeyecektir. Ancak bu denklem kesinlikle doğru seçimdi. Fourier’in bu çalışmasından evvel, ısı denklemlerine genel bir çözüm yoktu. Her ne kadar parçalı yaklaşımlar olsa da yeterli değildi çünkü bu yaklaşımlar ısı dağılımının basit denklemlere göre dağıldığını varsayaraktan probleme yaklaşıyordu. Bu gösterim biçimi sayesinde problem artık çok daha basit problemlere bölünmüştü. Fourier’in kavrayışından kısa bir süre sonra, bir fonksiyon oluşturmak için sinüs ve kosinüs kullanımının çok sayıda başka sorunu çözebileceği anlaşıldı. Bunların arasında dalgaların hareketi, gazların davranışı, yerçekimi, elektrostatik, elektromanyetizma ve hatta borsanın davranışındaki birçok problem vardır.

Fizikteki birçok problem, titreşimler ve salınımlar içerir. Çoğunlukla yaylar, sarkaçlar, harmonik dalgalar gibi salınım hareketleri basittir. Bu hareketler sinüs veya kosinüs fonksiyonları olarak kolayca gösterilir. Bununla birlikte, birçok durumda (elektromanyetizma, ısı iletimi, kuantum teorisi vb.) dalga formları basit değildir. Yani onları bilinen sinüs ve kosinüs fonksiyonlarına dönüştürmek kolay değildir. Fourier serisi, bir fonksiyonun sonsuz bir dizi sinüs ve kosinüs fonksiyonu olarak ifade edilebilmesini sağlar. Yani basit bir ifadeyle Fourier serisi kendi başına üzerinde çalışılması zor periyodik fonksiyonları alır ve sonra onu başa çıkması daha kolay olan bir grup sinüs ve kosinüs fonksiyonu olarak ayırır.

Fourier, doğanın derinlemesine incelenmesinin matematiksel keşiflerin en verimli kayna­ğı olduğunu söylerdi. Bununla birlikte, oluşturduğu matematiksel kuram pek çok farklı alanda işe yaradı. Bugün Fourier Serisi matematiği yanı sıra, fizik ve mühendislik çalışmalarında temel bir rol oynamaktadır. Fourier serilerinin modern halini Joseph Fourier geliştirmese de onun onuruna, trigonometrik serilerde yaptığı önemli buluş adıyla anılmaktadır. Dalgalar yoluyla enerji aktarımı ile uğraşan hemen hemen her bilim dalı Fourier’in ortaya koyduğu yöntemleri kullanır.

Kaynaklar ve İleri Okumalar:

  • Maths in a minute: Fourier series; https://plus.maths.org/
  • lan Stewart; Taming The Infinite:The Story Of Mathematics; ISBN 978-605-171-373-1

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu