19. yüzyılın başlarında bilim insanları hareketi, kütle çekimini, sesi ve ışığı matematiksel denklemlerle açıklıyordu. Ancak ısının bir cismin içinde nasıl yayıldığını aynı kesinlikle hesaplayamıyorlardı. Bu nedenle Fransız Bilimler Akademisi, 1812 yılı ödülünün konusunu ısı akışı olarak seçti.
Joseph Fourier bu problem üzerinde birkaç yıldır çalışıyordu. Akademiye 1807’de sunduğu ilk inceleme yayımlanmadı. Buna rağmen değerlendirme kurulu çalışmadaki fikirleri önemli buldu ve Fourier’den yöntemini geliştirmesini istedi. Fourier çalışmasını genişletti ve 1812’de ödülü kazandı.
Problemi bir metal çubuk üzerinden düşünebiliriz. Çubuğun bir yarısı sıcak, diğer yarısı soğuk olsun. Zamanla sıcak bölüm soğur, soğuk bölüm ısınır ve aradaki fark azalır.
Fourier yalnızca bu genel sonucu açıklamak istemiyordu. Başlangıçtaki sıcaklık dağılımını bildiğimizde, daha sonraki herhangi bir anda çubuğun her noktasındaki sıcaklığı hesaplamaya çalışıyordu. Bu amaçla ısının hem konuma hem de zamana göre değişimini ifade eden ısı denklemini kullandı.
Ancak doğru denklemi yazmak tek başına yetmedi. Başlangıçtaki sıcaklık dağılımı karmaşık olduğunda Fourier denklemi doğrudan çözemiyordu.
Fourier Serisi Nedir?
Daniel Bernoulli daha önce titreşen telleri ve dalgaları incelerken karmaşık bir hareketi basit titreşimlerin toplamı olarak ele almıştı. Fourier bu düşünceyi ısı problemine uyarladı.
Fourier, karmaşık bir sıcaklık dağılımını tek parça hâlinde ele almak yerine daha basit sinüs ve kosinüs bileşenlerine ayırdı. Her bileşenin zaman içinde nasıl değiştiğini ayrı ayrı hesapladı, ardından sonuçları yeniden topladı.
Bu gösterime Fourier serisi denir. Serideki her sinüs ve kosinüs terimi farklı bir frekansı temsil eder. an ve bn katsayıları ise bu bileşenlerin toplam içindeki ağırlığını belirler.
Fourier sinüs ve kosinüsleri rastgele seçmedi. Bu fonksiyonların ikinci türevleri yine aynı fonksiyonların sabit katlarıdır. Bu özellik sayesinde Fourier, ısı denklemini her trigonometrik bileşen için ayrı ayrı çözdü. Daha sonra bu çözümleri toplayarak cismin sıcaklık dağılımını hesapladı.
Benzer bir düşünce ses dalgalarında da karşımıza çıkar. Gerilmiş bir tel yalnızca tek bir frekansta titreşmez. En düşük doğal frekans olan temel sesin yanında, bu frekansın tam katları olan harmonikler de oluşur. Bir müzik aletinin kendine özgü tınısını, bu harmoniklerin sayısı ve göreli şiddeti belirler.
Saf bir tonu düzenli bir sinüs dalgasıyla gösterebiliriz. Ancak keman, piyano ya da flüt gibi müzik aletleri birçok frekansı aynı anda üretir. Fourier analizi, karmaşık bir ses dalgasını oluşturan frekansları ve bu frekansların ne kadar güçlü olduğunu ortaya çıkarır.
Fourier Serisi Ne İşe Yaradı?
Fourier serisi öncelikle periyodik fonksiyonları belirli frekanslardaki sinüs ve kosinüslerin toplamıyla temsil eder. Ancak günlük hayatta karşılaştığımız her sinyal düzenli aralıklarla tekrarlanmaz. Matematikçiler Fourier’in temel düşüncesini daha sonra bu tür sinyalleri de kapsayacak biçimde genişletti. Bu genellemeye Fourier dönüşümü adını verdiler.
Fourier dönüşümü, bir sinyali zaman ya da konum alanından frekans alanına taşır. Başka bir deyişle sinyalin zaman içinde nasıl değiştiğini göstermek yerine, hangi frekansları içerdiğini ve bu frekansların ne ölçüde etkili olduğunu gösterir.
Mühendisler bugün bu yaklaşımı ses kayıtlarını işlerken, konuşma tanıma sistemleri geliştirirken ve müzikte perde düzeltmesi yaparken kullanıyor. Görüntü işleme uzmanları da dosyaları sıkıştırmak, gürültüyü azaltmak ve belirli ayrıntıları öne çıkarmak için Fourier analizinden yararlanıyor.
BT ve MR cihazları topladıkları ölçümleri doğrudan görüntüye dönüştürmez. Bilgisayarlar bu verileri işleyerek vücudun iç yapısını gösteren kesitler oluşturur. Her iki teknoloji farklı fiziksel ilkelere dayanır, ancak görüntü oluşturma sürecinde Fourier analizine dayanan yöntemler önemli bir rol oynar.
Astronomlar da gök cisimlerinden gelen ışığı frekanslarına ayırır. Ardından bu dağılımı inceleyerek yıldızların ve gezegen atmosferlerinin kimyasal bileşimi hakkında bilgi edinir. Fourier’in ısı akışını anlamak için geliştirdiği yaklaşım, böylece seslerden görüntülere ve gökyüzünden gelen ışığa kadar pek çok alanda kullanılmaya devam eder.
Sonuç Olarak
Fourier yaşamı boyunca pek çok saygınlık kazandı ve Fransız Bilimler Akademisine seçildi. Isıya duyduğu ilgi günlük yaşamında da dikkat çekiyordu. Çevresindekilerin aktardığına göre odalarını aşırı sıcak tutuyor, hatta saunaya kat kat giysiyle giriyordu. Ancak bu alışkanlıkların sağlığını gerçekten etkileyip etkilemediğini bilmiyoruz. Fourier, 16 Mayıs 1830’da 62 yaşında anevrizma nedeniyle yaşamını yitirdi.
Bugün adı Eyfel Kulesi’ne kazınmış bilim insanları arasında yer alır. Bununla birlikte kalıcı mirasını asıl olarak Fourier yasası, Fourier serisi ve Fourier dönüşümü oluşturur.
Ek Okuma: Fourier Dönüşümü: Basit Bir Formül Dünyayı Nasıl Değiştirdi?
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- Maths in a minute: Fourier series. Kaynak site: Plus Maths. yayınlanma tarihi: 28 Kasım 2016. Bağlantı: Maths in a minute: Fourier series/
- lan Stewart; Taming The Infinite:The Story Of Mathematics; ISBN 978-605-171-373-1
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
