Bu yazımızda Shakespeare’in bir oyunu Portia’nın kutuları isimli bir bulmaca olarak karşınıza çıkacak. Romeo ve Juliet, Machbet, Kral Lear gibi ölümsüz eserler ortaya koyan Shakespeare, şüphesiz İngiliz edebiyatının en etkileyici yazarları arasında yer almaktadır. William Shakespeare’in Olgunluk Dönemi komedyalarından biri olan Venedik Taciri 1596-1597 yılları arasında yazılmıştır. Bu oyunun biçim ve içerik özellikleri açısından Shakespeare’in yazarlık serüveninde önemli bir yer tuttuğu bilinmektedir. Portia, William Shakespeare’in Venedik Taciri’nin kadın kahramanıdır. Ölen babasının tek varisi, genç ve güzel Portia evlilik çağına gelir. Fakat babasının vasiyeti üzerine kendi istediği birisiyle değil hatta onu isteyen her hangi birisiyle de değil yalnızca üç sandık arasından doğru sandığı bulan talibiyle evlenmek zorundadır. Bu hikayenin gerçek kısmı. Bu yazımızda Portia’nın kutuları bir bulmaca olarak karşınıza çıkacak. Venedik Taciri isimli oyundan bir kare ABD’li matematikçi, filozof ve bulmacacı Raymond Smullyan, söz oyunlarına ve paradokslara dayalı eğlenceli bulmacalarıyla tanınır. Hayatının daha önceki dönemlerinde konser piyanistliği ve illüzyonistlik yapan Smullayan, sonraları matematiksel mantık alanında başarılı bir akademik kariyer yapmıştır. Ancak esas ününü bulmaca kitaplarına borçludur. Aşağıda okuyacağınız Smullyan’ın hazırladığı bulmaca, Shakespeare’in Venedik Taciri adlı oyununa dayanmaktadır. Aday Hangi Kutuyu Seçmeli? Güzel Portia’nın biri altın, biri gümüş ve biri de kurşun olan üç kutusu, bu kutulardan birinin içinde de bir resmi var. Babasının vasiyetine göre, kendisiyle…
Beyin Jimnastiği
Elinizde kilitli bir dolap var ve kilidin üç haneli şifresini unuttunuz. Hatırladığınız bir kaç ipucu var. Bu ipuçlarından yola çıkarak kilidin şifresini çözünüz. İpucu 1: 682: Bir hane doğru ve yerinde İpucu 2: 614: Bir hane doğru ama yanlış yerde İpucu 3: 206: İki rakam doğru ama ikisi de yanlış yerde İpucu 4: 738: Tüm rakamlar yanlış İpucu 5: 380: Bir hane doğru ama yanlış yerde Bu ipuçlarından yola çıkarak şifreyi kırabilir misiniz? Bir kağıt kalem yardımı ile önce bunu kendiniz deneyin ve hazır olduğunuzda çözüm için okumaya devam edin. İpucu 4: 738 (Tüm rakamlar yanlış): Seçenekleriniz arasından 7, 3 ve 8 sayılarını ortadan kaldırdığı için ilk başlangıç noktanız burası olmalıdır. Bu basamak bizi içinde 3 ve 8’in mevcut olduğu bir sonraki ipucuna götürür. İpucu 5: 380 (Bir hane doğru ama yanlış yerde): Önceki ipucundan 3 ve 8’in yanlış olduğunu biliyoruz,. Bu da 0’ı doğru rakam yapar. Ancak ipucu bize yanlış yerde olduğunu söylüyor. Bu durumda 0’ın birinci veya ikinci sırada olması gerekecektir. İpucu 3: 206 (İki hane doğru ama ikisi de yanlış yerde): 0’ın doğru rakam olduğunu zaten biliyoruz. Bu da 2 veya 6’nın doğru olduğu anlamına gelir. Bu ipucu, iki doğru rakamın yanlış yerde olduğunu belirttiğinden, artık ikinci…
Zamanı söylemek kolaydır. Ama sayıları olmayan ve aynı zamanda rastgele bir konuma döndürülmüş bir saat olunca işler zorlaşır. Bir de bu saatin birbirinin aynısı dakika, saniye ve akrep ibreleri varsa sorun artacaktır. Görselde böyle bir saat görüyorsunuz. Okuyacağınız bulmaca kaynaklardan öğrendiğimize göre Rusya’da lise düzeyinde mantık dersinde öğrencilere sorulan bir soru. Bu nedenle de adı Rus saati problemi olarak geçiyor. Şimdi aşağıdaki saate bakın. Bu saatin üzerinde herhangi bir sayı yok. Ayrıca saniye, yelkovan ve akrep aynı uzunlukta. Peki saat kaç? ( Cevaba hemen bakmamanız gerektiğini unutmayınız. Aksi halde işin büyüsü bozulacaktır.) İpucu: Soruyu çözebilmek için öncelikle kolları A,B ve C biçiminde isimlendirin. Daha sonra da bu kollardan iki tanesinin tam olarak kadrandaki ana işaretleri gösterdiğine dikkat edin. Saat Problemin Çözümü Eğer verdiğimiz ipucunu kullandıysanız cevaba yaklaşmış olmalısınız. Biz isimlendirmeyi aşağıdaki gibi yaptık. Görselde A ve C’nin tam olarak kadrandaki ana işaretleri gösterdiğini görüyoruz. Eğer bunlardan bir tanesi saati gösteren akrep olsaydı, yelkovan ve saniye ibresi tam olarak 12 sayısında üst üste gelirdi. Ancak görüyorsunuz ki hiçbiri üst üste gelmemiş. Bu durumda B ibresinin akrep olması gerekiyor. Yani saati B gösteriyor. Bu bulgumuz da sorunun çözümünü kolaylaştırıyor. Bu durumda A veya C’den birisi saniye olmalı ama hangisi? A ve C kadrandaki ana işaretleri…
Normalde bir cismi döndürmek veya ötelemek, hatta parçalamak o cismin toplam hacmini değiştirmez. Bunlar bizim geometriyle ilgili temel sezgilerimizdir. Ancak sonsuz çikolata ve Banach-Tarski Paradoksu bu sezgilerimize meydan okur. Banach-Tarski Paradoksu, matematikteki sonsuzluk kavramıyla ilgili en büyük paradokslardan biridir. Bu sayede başladığınızdan daha fazla çikolataya da sahip olmanız olasıdır. Ormanda yürüyüş yapan iki arkadaş hayal edin. Acıkırlar ve bir elmayı bölmeye karar verirler, ancak yarım elma yetersiz gelir. Sonra içlerinden biri hayatında karşılaştığı en garip fikirlerden birini hatırlar. Bu, en azından prensipte bir elmayı iki elmaya dönüştürmeyi mümkün kılan, sonsuzlukla ilgili bir matematiksel bir teoremdir. Bu argümana, 1924’te bunu ortaya atan matematikçiler Stefan Banach ve Alfred Tarski’nin anısına Banach-Tarski paradoksu denir. Matematiğin temel kurallarına göre, üç boyutlu katı bir topu parçalara ayırmanın ve bu parçaların birleşerek orijinalinin iki özdeş kopyasını oluşturmasının mümkün olduğunu kanıtlar. Teorik olarak, küçük bir top sınırlı sayıda parçaya ayrılır ve daha sonra büyük bir top olarak yeniden birleştirilir. Yani istenirse bezelye büyüklüğünde bir küreyi sonlu sayıda parçaya bölüp, parçaları tekrar birleştirerek güneş büyüklüğünde bir küre yaratmak mümkündür! Bu bir elmadan iki elma yapmak anlamına da gelecektir. Hiçbir şeyden bir şey elde etmeninin mümkün olduğunu gösterir. Diğer bir deyişle de 1+1=1 olacaktır. Banach-Tarski Paradoksuna geçmeden önce bu…
Bir patatesten nasıl paradoks çıkar demeyin. Çünkü matematiksel sezgilerimiz bazen bizi şaşırtabilir. Bu yazıda patates paradoksu ile bunu size kanıtlayalım. Patates paradoksu sezgilerimize ters düşen en ilginç paradokslardan birisidir. Toptancı pazarına gittiniz ve 100 kg patates aldınız diyelim. Patatesler gerçekte % 79 oranında sudan meydana gelir. Geri kalanı karbonhidrat ve proteinlerden oluşur. Ancak sizin aldığınız patatesler %99 sudan ve %1 katı maddeden meydana geldiğini kabul edelim. 100 kg patatesi alıp eve götürdünüz. Sonra patatesleri biraz kurutmaya karar verdiniz. Birkaç gün kuruttuktan sonra patateslerin su oranı %99’dan %98’e düşsün. Geriye kaç kg patates kalır? Bu soru size oldukça kolay gelmiş olmalıdır. Sonuçta başlangıçta 99 kg su, 1 kg katı madde, yani toplamda 100 kg patates vardır. Kuruttuktan sonra da 99 ya da 98 kg civarında bir şey kalır diye düşünüyorsanız yanılıyorsunuz. Çünkü geriye sadece 50 kg patates kalır! Zaten patates paradoksu da budur. Suyu yüzde 1 oranında azaltmak, patateslerin toplam ağırlığını yarıya indirmek anlamına gelir. Patates Paradoksu Nedir? Karışıklık genellikle su oranındaki %99’dan %98’e olan değişime bakıp, kaybedilen su miktarının toplam kütlenin %1’ine eşit olduğu sonucuna varma eğiliminde olduğumuz için ortaya çıkar. Bu durumun sezgilerinize aykırı gelmiş olması doğaldır. Sonuçta su oranının %99’dan %98’e düşmesinin, patateslerin ağırlığının yansını kaybetmesi demek olması…
Hiç 9 rakamının şaşırtıcı olduğunu fark ettiniz mi? Eğer cevabınız hayır ise o zaman şaşırmaya hazır olun. Ancak baştan söyleyelim. Bu yazıda sizi 9 rakamının spritüal anlamı beklemiyor. Daha ziyade 9 rakamı ile etrafınızı şaşırtabileceğiniz bazı hesaplamaları öğreneceksiniz. Ancak öncelikle temel bilgi ile başlayalım. Bildiğiniz gibi 9 sayısının katları: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135,…biçimindedir. Hepsinin ortak yönü basamaklarının toplamının 9 olmasıdır. 1 + 8 = 9; 2 + 7 = 9; 5 + 4 = 9; 1 + 2 + 6 = 9. Bu duruma istisna olan 99 gibi sayılar da vardır. Ama bir sorun değildir, çünkü 99 sayısının basamaklarındaki sayıların toplamı 18’dir ve bu sayının da basamakları toplamı yine 9 yapacaktır. İşte bu nedenden dolayı herhangi bir sayının 9’un katı olup olmadığını anlamak için rakamlarını toplamak yeterlidir. Zaten bu bilgi de okullarda 9 ile bölünebilme kuralı olarak öğretilmektedir. Bu temel özellik nedeniyle de 9 sayısı genelde bazı bulmacaların yapıtaşını oluşturur. Örnekler mi verelim? Okumaya devam edin… 9 Rakamı İle Sihir Yapmak Mümkün! Matematikte bazı alışılmadık kalıplar vardır. Görselde gördüğünüz bunun bir örneğidir. İki veya üç basamaklı bir sayı tutun. Şimdi tuttuğunuz sayının rakamlarını toplayın. Sonra bulduğunuz toplamdan ilk tuttuğunuz…
Bir kuzuyu öldürmek için kaç aslan gerekir? Cevap düşündüğünüz kadar basit değil. En azından oyun teorisine göre hayır. Varsayımsal bir oyun teorisi senaryosunda, bir grup aslan otlarla kaplı bir adada yaşıyor. Ancak başka hiçbir hayvan yok. Bir gün adada mucizevi bir şekilde bir kuzu geliyor. Ancak aslında kuzunun hayatta kalma şansı, oradaki aslan sayısına bağlıdır. İş dünyasında, politikada ve hayatta, insanlar bazen rekabet eder, bazen de işbirliği yapar. Oyun teorisi bize, bu karmaşık duruma ilişkin bir düşünme tarzı sağlar. Oyun teorisi, her karar vericinin en iyi kararının diğerlerinin aldığı kararlara bağlı olduğu etkileşimli bir dünyada karar vermeyle ilgilidir. Sonuç olarak, bu etkileşimli dünyada herkesin kendi çıkarlarını geliştirmek için başkalarının kararlarını tahmin etmesi gerekecektir. Bu kapsamda oyun teorisi kapsamında ortaya varsayımsal senaryolar atılır. Sonrasında oyuncular bu senaryo kapsamında, bir dizi eylem arasından seçimler yapmak zorunda kalacaktır. Bu yöntem ekonomi, biyoloji, politika ve psikoloji dahil olmak üzere çok çeşitli durumlardaki davranışları açıklamaya yardımcı olmak için kullanılmıştır. Ancak oyun teorisi doğası gereği bazı eğlenceli zeka oyunlarının da ortaya çıkmasına neden olmuştur. Bunlardan birisi de lezzetli kuzular ve aç aslanlar ile ilgilidir. Aslanlar ve Kuzular Bulmacası Yemyeşil otlar ile kaplı bir adada yaşayan birbirinin tamamen aynısı bir grup aslan düşünelim. Adada başka hiçbir hayvan…
Kim demiş matematik işe yaramaz diye? İşte size hayatınızı kolaylaştıracak bir problem. Birazdan okuyacağınız ayakkabı bağlama sorusu, 2008 yılında yani, Fields Madalyası’nı kazanan matematikçi Terence Tao tarafından ortaya atıldı. Diyelim ki izninizi ayarladınız, kış boyunca biriktirdiğiniz paraya uygun bir otelle anlaştınız, valizinizi hazırladınız ve yolculuğunuza başlamak için hava limanına ulaştınız. Şimdi güvenlikten kapınıza doğru yürüyorsunuz. Bu hava limanı oldukça büyük. Bu nedenle uçağa binmek için yürüdüğünüz yol iki kısımdan oluşuyor. İlk kısım normal bir yol. Ancak ikinci kısımda bir yürüme bandı yer alıyor. Sabit bir hızla yürüdüğünüzü varsayalım. Bu sabit hızınız u kadar olsun. Yürüme bandının da sabit bir hızı var. Bu da v kadar olsun. Aceleniz olduğu için de yürüme bandının üzerindeyken de yürüdüğünüzü varsayım. Bu durumda hızınız u+v kadar olacaktır. Uçağa doğru yürürken bir anda ayakkabı bağınızın açıldığını fark ediyorsunuz. Ayakkabı bağınızı her zaman aynı süre içinde bağlayabiliyorsunuz. Bağınızı yürüme bandına binmeden önce mi yoksa bandın üzerinde mi bağlarsanız uçağa bineceğiniz kapıya daha erken ulaşırsınız? Geç kalmanız durumunda kısa bir süre koşacak kadar kendinizi enerjik hissettiğinizi varsayalım. Diyelim ki w hızıyla koşabiliyorsunuz. Uçağa yetişmek için banda kadar koşup sonra bantta yürümek mi daha mantıklıdır yoksa banda kadar yürüyüp bantta koşmak mı daha iyi olacaktır? Yoksa iki türlü de aynı…
Mantıkçı Raymond Smullyan bir çok mantık bulmacası tasarladı. Filozof George Boolos ise birazdan okuyacağınız soruyu, dünyanın en zor bulmacası olarak ilan edecekti. Çoğu kişi sahip olduğunu iddia ettiği matematiğe karşı genel hoşnutsuzluğa rağmen, mantık bulmacası çözmekten hoşlanır. Bunun bir sonucu olarak matematik fobisi olduğunu iddia eden bir kişi bile farkında olmadan kendini denklemleri çözmeye çalışırken bulacaktır. Oysa ki bu bulmacaların pek çoğu matematik problemlerinin bir miktar değiştirilmiş halidir. Bu bulmaca, ilk kez 1996’da Harvard Review of Philosophy’de yayınlanmıştır. Daha sonrasında Amerikalı bilgisayar bilimcisi John McCarthy işin içine karışmış ve yazı boyunca okuyacağınız, ja ve da’yı eklemiştir. Aynı zamanda bulmacada okuyacağınız ‘da’ ve ‘ja’ sözcüklerinin bir anlamı yoktur. Şimdi dünyanın en zor bulmacasını okuyalım. Mantıkçı Raymond Smullyan bir çok mantık bulmacası tasarladı. Ancak bir başka filozof bunlardan birinin tüm zamanların en zoru olduğunu ilan edecekti. Dünyanın En Zor Mantık Bulmacası Nedir? Ekibinizle birlikte bir gezegene zorunlu iniş yaptınız. Kurtulmanın tek yolu, üç lider olan Doğru, Yanlış ve Rastgele’ye doğru sembolleri vererek gitmenize izin vermelerini sağlamak. Fakat maalesef kimin kim olduğunu bilmiyorsunuz. Kurallara göre, her lidere birer tane olmak şartıyla sadece üç evet-hayır sorusu sorma hakkınız var. Doğru her zaman doğru, yanlış ise her zaman yalan söylüyor. Rastgele ise her seferinde rastgele seçim yapıyor. Yani bazen doğru bazen de yalan söylüyor. Fakat bir…
Her şey bir olasılıktır ve her yeni bilgi, olasılıklarımızı güncellememizi sağlar. Bunun ilk kez Fransız matematikçi Joseph Louis François Bertrand (1822–1900) tarafından, 1889 yılında yayınlanan “Calcul des probabilités” adlı kitabında ortaya atılan güzel bir örneği vardır ve dilimizde Üç Kutu Paradoksu adı ile bilinmektedir. Paradoks Monty Hall problemine benzer bir biçimde, içerikleri başlangıçta bilinmeyen ve dışarıdan bakıldığı zaman birbiri ile aynı gözüken üç kutuyla başlar. Kutuların her birinde iki çekmece vardır. Bir kutunun iki çekmecesinin her birinde birer altın bulunur ( AA). İkinci kutunun iki çekmecesinde de birer gümüş para bulunur (GG). Üçüncü kutuda ise bir çekmecede gümüş para, diğer çekmecede de altın var(AG) . Şimdi gelişigüzel bir kutu seçelim. İki bölmesinden rastgele birini açtığımızda içinde altın para olduğunu görüyorsak diğer bölmesinde de altın para olma olasılığı diğer bir deyişle AA ikilisini seçmiş olma olasılığımız nedir? Cevaba geçmeden önce biraz düşünmenizi öneriyoruz. Tamam yeterince düşündüm diyorsanız cevaba geçelim… Fransız matematikçi Joseph Bertrand Joseph Bertrand, termodinamik, istatistiksel olasılık, eğriler ve yüzeyler alanındaki çalışmalara katkıda bulunan bir matematikçi ve eğitimciydi. Doğru gibi görünen bir yaklaşımın doğru olmadığını göstermek için anlatılarında paradoksları kullanmayı seviyordu. Üç kutu paradoksu buna bir örnektir. Üç Kutu Paradoksunun Çözümünü Neden Yanlış Anlıyoruz? Üç kutudan herhangi birini seçme olasılığı diğerleriyle…
Birazdan okuyacağınız 4 tane 4 sorusu 1914’te W.W Rouse Ball tarafından yazılan “Mathematical Recreations and Essays” isimli kitapta yayınlandı. Ancak bu sorunun 1890 civarında ilk olarak ortaya çıktığı ve zamanının matematikçileri arasında popüler olduğu da söylenceler arasındadır. Soru oldukça kolay ve şaşırtmaca yok. Size gereken sadece kağıt, kalem ve biraz da boş zaman Göreviniz şu: Elinizde sadece 4 tane 4 rakamı olsun. Sadece bu sayıları kullanarak 1’den 100′ kadar tüm sayıları yazabilir misiniz? Öncelikle Kuralları Belirleyelim Aslında kurallar oldukça basit. Size kullanmanız için izin verilen işlemler ve semboller şunlar. Dört aritmetik işlemini kullanabilirsiniz. (+, x, -, /). Rakamları birleştirebilirsiniz. Yani 44 sayısı kuralı bozmaz ama bu durumda iki adet 4 kullanmış sayılırsınız. Ayrıca, ondalık sayılar kullanmak yani 4,4 yazmak da serbesttir. (Ondalık sayıları yazarken bazı zamanlarda 0 rakamını kullanmadan ,4 biçiminde de 4 sayısını kullanabilirsiniz). Son olarak, üstlü sayılar (44 ‘te olduğu gibi ), kare kökler, küp kökler, faktöriyeller (4! gibi) kısacası aklınıza gelen tüm matematiksel işlemleri kullanabilirsiniz. Ayrıca istediğiniz parantezleri de kullanmanıza da izin verilir. Sonuçta, tek şartımız var sadece 4 adet 4 kullanacaksınız. Şimdiden sizlere hatırlatalım. Bazı sayıları son derece kolay yazabileceksiniz. Ancak üzerinde en çok zaman harcayacağınız sayılar muhtemelen 69 ve 73 sayıları olacaktır. Bu sayıların çözümleri…
Çocukluğunuz da muhtemelen tic-tac-toe oyununu en az bir kez oynamışsınızdır. Bu oyun yakın zamanda ülkemizde de üç taş oyunu olarak tanınmaya başladı. Bildiğiniz gibi bu oyunun kuralları son derece basittir. Ancak eğer matematiğe ilgi duyan biri iseniz, bu oyun sizi tahmininizden çok daha fazla oyalayacaktır. Tic-tac-toe iki oyunculu bir oyundur ve her iki oyuncu tarafından da en iyi şekilde oynanırsa her zaman beraberlik ile sonuçlanır. Bu oyun geleneksel anlamda bir kağıda çizilerek ya da sınıf ortamında bir tahtaya çizilerek oynanır. Yapmanız gereken X ve O harflerini belli bir stratejiye göre 3 x 3’lük bir ızgaraya yerleştirmektir. Aynı oyunu farklı renkte pullar ya da taşlar ile de oynamanız mümkündür. Zaten üç taş oyunu ile Tic-tac-toe arasındaki tek fark budur. Arkeolojik bulgular bu oyunun MÖ 1. yüzyıl civarında Roma İmparatorluğu’nda da oynandığını bizlere gösteriyor. O dönemde adına “Bir seferde üç çakıl taşı” anlamına gelen “terni lapilli” dendiğini biliyoruz. Oyunun ızgara işaretlerine, bir çok Roma kalıntısında rastlanıyor. Ayrıca antik Mısır döneminde de bu oyunun bir benzerinin oynandığı düşünülmektedir. Terni lapilli oyunu günümü oyununa benziyordu. Ancak bu ızgaralar içinde hiçbir işaret bulunamadı. Bu da tarihçilerin oyunun X’ler ve O’lar gibi işaretler yapmak yerine hareketli parçalarla oynandığına inanmalarına yol açtı. Üç Taş Oyunu Nasıl Oynanır? Çoğumuz bu oyunu bir…