Geometri

Elips İle İlgili İki Tanımın Eşdeğerliği: Dandelin Küreleri

Elips çizmenin en bilinen yöntemi, bir düzleme iki çivi çakmak ve bu çivilere bir ip bağlamaktır. Kalemi ipe geçirip bir tur çevirdiğimizde çizilen eğri elipstir. Öte yandan Antik Yunanlılar daha geometrik bir tanım verirlerdi. Onlar bir koniyi bir düzlemle keser, böylece oluşan ara kesitin elips olduğunu söylerlerdi. Birbirinden çok farklı gibi görünen bu iki tanım nasıl eşdeğer olabilir? 1822’de Belçikalı mühendis Germinal Pierre Dandelin (1794–1847) tarafından cevaplandı. Kendisi bir elipsin iki görüntüsünü (a) bir koninin enine kesiti veya (b) PA + PB’nin sabit olduğu bir eğri ilişkilendirmenin yeni bir yolunu keşfetti. Bunu iki küre sayesinde gerçekleştirdi. Bu küreler günümüzde Dandelin Küreleri olarak biliniyor.

Elips Nedir?

1.Tanım: Sabit iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların kümesi bir elipstir. En başta da söylediğimiz gibi bu tanım, elips çizmek için sık sık kullanılır. F1 ve F2 noktalarına bağlanan bir ip, gergin tutularak bir tur attırıldığında P noktası bir elips çizer.

2. Tanım: Bu tanım, Apollonus ve Eucleides gibi antik çağ matematikçilerinin kullandığı geometrik özelliklere dayanan bir tanımdı. Buna göre bir koni ile bir düzlemin arakesiti daima bir koniktir. Eğer düzlemin yatayla yaptığı açı, koninin doğrultmanının yatayla yaptığı açıdan küçükse, bu konik “elips” adını alır. Ancak bu tanımda akla gelmesi gereken bir soru asimetrik bir kesimin neden ve nasıl simetrik bir şekil oluşturduğudur.

Elipsin iki farklı tanımı

Konuya devam etmeden önce belleğimizi tazeleyelim: Düzlemde bir daireye dışındaki bir P noktasından çizilen iki teğet parçası eşit uzunluktadır. Bunu küreye de uygulayabiliriz. Bir küreye dışından çizilen teğet parçaları eşit uzunluktadır.

Bir küreye ve çembere dışındaki bir noktadan çizilen tüm teğet parçaları eşit uzunluktadır.

Dandelin Küreleri Nelerdir?

Şimdi gelelim eşdeğerliliğin nasıl bulunduğuna. D düzlemi ile K konisinin ara kesiti, odakları F1 ve F2 olan elips olsun. Koniye ve elipse teğet olan iki tane küre vardır. Dandelin küreleri diye tanımlanan bu küreler M1 ve M2 merkezli kürelerdir.

Şimdi, elips üzerinde herhangi bir P noktası alalım. T noktası K konisinin tepe noktası olmak üzere, [PF1] doğru parçasının [PR] doğru parçasına eşit olduğunu görünüz. Bunun nedenini anlamak için P noktasının hem elips, hem de koni üzerinde olduğunu anımsamamız gerekiyor. Dolayısıyla P’den küreye çizilen teğet parçaları eşit olacaktır, çünkü küre hem elips düzlemine hem de koniye teğettir.

Düzlemin üzerindeki küre, düzleme F1 noktasında, aşağıdaki küre düzleme F2 noktasında dokunur.

Benzer şekilde, [PF2] doğru parçası da [PS] doğru parçasına eşittir. Burada, R ve S noktaları TP doğrusunun, [M1] ve [M2] merkezli küreleri kestiği noktalardır. Şimdi ispatımız tamamlanıyor. E elipsi üzerinde alınan her P noktası için, |PF1|+|PF2| toplamı sabittir, çünkü: |PF1| + |PF2| = |PR|+|PS| = |RS| olur. Zaten kanıtlamak istediğimiz de buydu. (|RS| uzunluğunun sabit olduğunu görünüz.)

Sinan İpek

Göz Atmak İsterseniz

Matematiksel

SİNAN İPEK

Yazar, çizer, düşünür, öğrenir ve öğretmeye çalışır. Temel ilgi alanı Bilimkurgu yazarlığıdır. Bunun dışında Matematik, bilim, teknoloji, Astronomi, Fizik, Suluboya Resim, sanat, Edebiyat gibi konulara ilgisi vardır. Ara sıra sentezlediklerini yazı halinde evrene yollar. ODTÜ Matematik Bölümü mezunudur ve aşağıdaki başarılarıyla gurur duyar:TBD Bilimkurgu Öykü yarışmasında iki kez birincilik, 2. Engelliler Öykü yarışmasında birincilik, Ya Sonra Öykü Yarışması'nda finalist, Mimarlık Öyküleri Yarışması'nda finalist, 44. Antalya Altın Portakal Belgesel Film Yarışmasında finalist. Ithaki yayınları Pangea serisinin 5. üyesi "Beyin Kırıcı" adlı bir romanı var. https://www.ilknokta.com/sinan-ipek/beyin-kirici.htm

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.