Elipsin İki Tanımının Eşdeğerliği: Dandelin Küreleri

Bir elipsi nasıl çizersiniz?

Bunun en çok bilinen yöntemi, bir düzleme iki çivi çakmak ve bu çivilere bir ip bağlamaktır. Kalemi ipe geçirip bir tur attırdığımızda çizilen eğri elipstir.

Öte yandan Antik Yunanlılar daha geometrik bir tanım verirlerdi. Onlar bir koniyi bir düzlemle keser, böylece oluşan ara kesitin elips olduğunu söylerlerdi.

Birbirinden çok farklı gibi görünen bu iki tanım nasıl eşdeğer olabilir? İşte bu yazımızda bunu göreceğiz.

Önce birinci tanımı daha matematiksel olarak verelim:

Sabit iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların kümesi bir elipstir. En başta da söylediğimiz gibi bu tanım, elips çizmek için sık sık kullanılır. F1 ve F2 noktalarına bağlanan bir ip, gergin tutularak bir tur attırıldığında P noktası bir elips çizer.

Geometrik olan ikinci tanım, Apollonus ve Eucleides gibi antik çağ matematikçilerinin kullandığı tanımdı.

Buna göre bir koni ile bir düzlemin arakesiti daima bir koniktir. Eğer düzlemin yatayla yaptığı açı, koninin doğrultmanının yatayla yaptığı açıdan küçükse, bu konik “elips” adını alır.

Ama önce belleğimizi tazeleyelim:

Düzlemde bir daireye dışındaki bir P noktasından çizilen iki teğet parçası eşit uzunluktadır.

Bir çembere dışındaki bir P noktasından çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir. Yani, |AP|=|BP

Bunu küreye de uygulayabiliriz. Bir küreye dışından çizilen teğet parçaları eşit uzunluktadır.

Bir küreye dışındaki bir noktadan çizilen tüm teğet parçaları eşit uzunluktadır.

Şimdi gelelim kanıtımıza:

D düzlemi ile K konisinin ara kesiti, odakları F1 ve F2 olan elips olsun.

Koniye ve elipse teğet olan iki tane küre vardır. Şekilde bu küreler M1 ve M2 merkezli kürelerdir. Kendinizi bu kürelerin her zaman çizilebileceğine ikna ediniz. (Nasıl?)

Verilen bir koniye ve onu kesen düzleme teğet olan bir küre her zaman bulunabilir.

Şimdi, elips üzerinde herhangi bir P noktası alalım. T noktası K konisinin tepe noktası olmak üzere, [PF1] doğru parçasının [PR] doğru parçasına eşit olduğunu görünüz. Bunun nedenini anlamak için P noktasının hem elips, hem de koni üzerinde olduğunu anımsamamız gerekiyor. Dolayısıyla P’den küreye çizilen teğet parçaları eşit olacaktır, çünkü küre hem elips düzlemine hem de koniye teğettir.

Benzer şekilde, [PF2] doğru parçası da [PS] doğru parçasına eşittir.

Burada, R ve S noktaları TP doğrusunun, [M1] ve [M2] merkezli küreleri kestiği noktalardır.

Şimdi ispatımız tamamlanıyor. E elipsi üzerinde alınan her P noktası için, |PF1|+|PF2| toplamı sabittir, çünkü:

|PF1| + |PF2| = |PR|+|PS| = |RS| olur. Zaten kanıtlamak istediğimiz de buydu. (|RS| uzunluğunun sabit olduğunu görünüz.)

Not: Matematiğin en güzel ispatlarından biri olan bu ispat 1822’de Belçikalı matematikçi Germinal Pierre Dandelin tarafından verilmiştir.

Sinan İpek

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Yazıyı Hazırlayan: SİNAN İPEK

Avatar
Yazar, çizer, düşünür, öğrenir ve öğretmeye çalışır. Temel ilgi alanı Bilimkurgu yazarlığıdır. Bunun dışında Matematik, bilim, teknoloji, Astronomi, Fizik, Suluboya Resim, sanat, Edebiyat gibi konulara ilgisi vardır. Ara sıra sentezlediklerini yazı halinde evrene yollar. ODTÜ Matematik Bölümü mezunudur ve aşağıdaki başarılarıyla gurur duyar: TBD Bilimkurgu Öykü yarışmasında iki kez birincilik, 2. Engelliler Öykü yarışmasında birincilik, Ya Sonra Öykü Yarışması'nda finalist, Mimarlık Öyküleri Yarışması'nda finalist, 44. Antalya Altın Portakal Belgesel Film Yarışmasında finalist.

Bunlara da Göz Atın!

Dünyanın En Kısa IQ Testi

Eğer zekanızı ölçmek için bir IQ testi çözmek istiyorsanız ancak uzun uzun soruları gördüğünüz zaman …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.