Sabun Köpüğündeki Geometri

Yumurta, neden yumurta şeklindedir ya da neden balık, balık şeklindedir? Neden gezegenler ve yıldızlar bir küp ya da piramide değil de bir topa benzerler? Bal arıları, neden peteklerinde altıgen bir yapılanma izlemeyi tercih ederler? Yüzyıllar boyu bu ve benzeri soruları matematikçiler kendilerine sormuşlar ve doğanın tasarım ustalığını açıklayan bir dizi kural bulmayı ummuşlardır. İşte bu umudun peşinde koşarken karşılarına çıkar sabun baloncukları…

Sabun baloncuklarının matema­tikle olan serüveni, çok eski yıllarda başlar. Roma mitolojisine göre Dido, Sur şehrinden Fenikeli bir prensestir. Kral olan kardeşi, kocasını öldürdü­ğünde şehirden kaçar ve Kuzey Afri­ka’da, ileride Kartaca adını alacak olan yere ulaşır. Bu bölgenin kralı, onun ve insanlarının yerleşebilmeleri için toprak satın almalarına izin verir. Fakat yalnızca bir öküz derisinin kaplayabileceği büyüklükte bir top­rağı…

Bunun üzerine Dido. önce “kapla­mak” kelimesini en geniş anlamıyla ele alır. Yanındakilere deriyi ince şerit­ler halinde kestirip bunları birbirine bağlatır ve uzun bir kordon elde eder. Eğer her bir şeridin çeyrek santim in­celikte kesildiğini varsayarsak, 1000 ile 2000 metre uzunluğunda bir kor­don çıkardıklarını tahmin edebiliriz.

Sıra bu kordonu, en geniş alanı kaplayacak şekilde yere yaymaya gel­miştir. Verin tamamen düzgün oldu­ğu farz edilirse, Dido’nun şu matema­tiksel problemle karşı karşıya olduğu söylenebilir:

Verilen uzunluktaki ka­palı eğriler arasında, en geniş iç böl­geye sahip olanı bulmak…

Anlatılan­lara göre, Dido doğru yanıtı bulmuş­tur. Kordonu bir çember şeklinde ye­re yaydırır ve 3 ile 12,5 km- arasında bir alan elde eder. Ortaçağ Avrupa’sı­nın surlarla çevrili şehirlerine bakıldı­ğında, kent sakinlerinin Dido’nun izinden gittiği görülebilir.

Dido doğru seçimi kısa zamanda yapmış ve eşit çevre uzunluğuna sahip düzlemsel şekiller arasında en fazla alanın daireye ait olduğunu görmüştür. Ancak matematikçiler için bu iş o kadar kolay olmaz. M.ö. 3 yy civarında Yunanlı matema­tikçi Zrnodoros, bu konuda ilk girişi­mi yapmakla beraber, kanıtı bazı açıklar içermektedir. Bu açıklar ise an­cak 19. yüzyılda Alman matematikçi Weierstrass tarafından kapatılabilir.

Bıı problemin üç boyutlusu olan, verilen bir hacim için en az yüzey ala­nına kürenin sahip olduğu gerçeğini kanıtlamak daha zordur. İlk olarak Arşimet bu konuyu incelemiş, 1882 yılında da Alman matematikçi Hermaun Amandus Sekmen en küçük yüzey alanına kürenin sahip olduğu­nu kanıtlamayı başarmıştır.

Doğada da bu özelliği taşıyan şe­killerle karşılaşabiliriz. Örneğin, hüc­reler ve yağmur damlaları küresel yü­zeylere sahiptirler. Sa­bun baloncııklarıyla oluşturulan kü­reler ise, şaşırtıcı bir şekilde, mate­matiksel hesaplamalara mükemmele yakın cevap verebilmektedirler.

19. yüzyıl boyunca. Belçikalı fizikçi Josefih Plaleau sabun baloncukları­nın yapısı ve özellikleri üzerine pek çok deney yürütmüş ve dört basit so­nuca ulaşmıştır. Günümüzde Plaleau kanunları olarak adlandırılan bu dört sonuç, sabun baloncuklarının ge­ometrik yapısını ortaya koyar.

  • Bir sabun zarı (sabun kö­püğünden elde edilen zar) düzgün parçalar topluluğun­dan oluşur.
  • Her bir düzgün parçanın ortalama eğriliği (yani yüzeyle­rinin ortalama eğimi) sabittir.
  • Üç sabun baloncuğunun yüzeyleri, birleştikleri yerde düzgün bir eğri meydana geti­rir ve 120 derecelik bir açıyla her bir yüzeyi böler.
  • Ortaya çıkan altı eğri bir­birlerine yaklaştıkları yerde bir nokta oluştururlar ve bu nokta­da her çift eğri arasındaki açı eşittir (yaklaşık 109 derecedir).

Pla­teau kanunları, aslında tek bir prensi­bin sonucunda doğmuştur: Verilen bir hacim için en küçük yüzey alanı­nı veren şekiller, sabun baloncukları­na benzerler.

Sabun baloncuklarının bu özelli­ği, daha genel bir ifadeyle dile geti­rilebilir: Sabun zarlarını model alan matematiksel yüzeyler, en küçük alana sahip yüzeylerdir. Matematik­çilerin deyimiyle, minimal yüzeyler­dir. İşte bu nedenledir ki, sabun ba­loncukları “minimum-maksimum” problemleri için müthiş bir malze­medir.

Han Özsöylev

Sitemize kısaltılarak eklenmiştir. Bütün haliyle incelemek için burayı kullanabilirsiniz.

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematiğe Yön Veren Yedi Talih Oyunu

Tarih boyunca şans oyunlarının ve bazen de kumarın bilim için esas olan birçok fikri etkilediğini …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');