Karl Weierstrass: Karmaşık Analiz ve Modern Analizin Kurucusu

Karl Weierstrass modern analizin babası olarak bilinir. Kendisi serilerin yakınsaması için testler tasarlamış ve periyodik fonksiyonlar teorisine, gerçek değişkenlerin fonksiyonlarına, eliptik fonksiyonlara, Abelyen fonksiyonlara, yakınsak sonsuz çarpımlara ve varyasyonlar hesabına katkıda bulunmuştur. Ayrıca çift doğrusal ve ikinci dereceden formlar teorisini de geliştirmiştir.

Matematiğin açık, yalın ve sağlam kanıtlara dayanması gerektiğine inandığından bu koşulları sağlayana kadar çalışmalarını yayınlamaktan kaçınmıştır. Dolayısıyla çalışmalarına oldukça titiz yaklaşmasıyla bilinir. Pek çok çağdaşı Karl’ın düşünce birliğine hayrandır. Kendisi Gauss ile Riemann’dan sonra on dokuzuncu yüzyılın en önemli Alman matematikçisi olarak kabul edilir.

Kısaca Karl Weierstrass

31 Ekim 1815 tarihinde Ostenfelde, Vestfalya’da (şimdiki Almanya) dünyaya gelir. Babası Wilhelm Weierstrass, sanat ve bilim hakkında geniş bilgiye sahip iyi eğitimli bir insandır. Karl dört çocuğunun en büyüğüdür. Annesi vefat edince babası yeniden evlenir. Katolik Lisesi’ne giderken aile bütçesine katkı sağlamak için yarı zamanlı olarak bir muhasebecinin yanında çalışır. Aynı dönemde oldukça başarılı bir şekilde matematik öğrenmiş ve kardeşine de matematik dersi vermiştir.

1834 yılında liseyi bitirince babası Bonn Üniversite’sine kayıt olmasını sağlar. Fakat içsel olarak girdiği çatışma sebebiyle ne matematik ne de finans üzerine yoğunlaşabilir. Üniversitedeyken dört yıl boyunca eskrim derslerine katılır ve bol içki tüketir.

Bir süre sonra kendi başına Laplace’ın gök mekaniği ve Carl Jacobi’nin eliptik fonksiyonlar teorisi üzerine çalışır. 1838 yılına gelindiğinde bir dönem daha Bonn Üniversitesi’nde kalır. Sonra finans eğitimini yarıda bırakır. Babasının düşüncesinin aksine matematik üzerine yoğunlaşmaya karar vermiştir.

Bu duruma üzülen babası, oğlunun ortaokul matematik öğretmeni olması için gerekli koşulları sağlar. Sonrasında Karl 1839 yılında Münster Akademisine kaydolur. Bu akademiye büyük hevesle katılmasının nedeni eliptik fonksiyonlar üzerine çalışan Alman Matematikçi Gudermann’ın (1798 – 1852) aynı akademide ders veriyor oluşudur.

Karl Weierstrass’ın Öğretmenlik Hayatı

Gudermann çalışmalarını Karl’a öğretir. Gudermann’ın etkisi altındayken 1841 ve 1842 yıllarında yayınlanmamış 3 makale daha hazırlar. Weierstrass, Batı Prusya’da (şimdiki Polonya) 1842 – 1848 yılları arasında matematik öğretmenliği yapmasının yanında; fizik, botanik, coğrafya, tarih, Almanca, kaligrafi ve hatta jimnastik derslerinde de öğretmenlik yapar. 1850 yılından itibaren yaklaşık 12 yıl boyunca ciddi baş ağrısı nöbetleri geçirir ve bu durum çalışmalarını da olumsuz yönde etkiler.

Yazmış olduğu makaleyle Königsberg Üniversitesi, 31 Mart 1854’te kendisine fahri doktora derecesi verir. Matematik çalışmalarına yoğunlaşabilmek için öğretmenlik mesleğinden bir yıl izne ayrılır. Aslında bir daha dönmemek üzere bu kararı almıştır.

Karl’ın matematiksel başarıları, dünyanın pek çok yerindeki öğrencilerin ilgisini çeker. Ders verdiği konular arasında Fourier serilerinin fizik ve matematiğe uygulamaları, integral, analitik fonksiyonlar teorisi, eliptik fonksiyonların geometriyle mekanik problemlerine uygulanması ve Abelian fonksiyonlar vardır.

1861 yılının Aralık ayında sağlık durumu oldukça kötüye gider. Yeniden ders vermeye bir yıl sonra başlar. Fakat asla tam olarak iyileşemez. Ders verirken bir öğrencisi tahtaya yazar ve kendisi sandalyede oturarak ders anlatmak zorunda kalır. Öğrencileri arasında Sofia Kovalevskaya, Cantor (Alman Matematikçi, 1845 – 1918), Hensel (Alman Matematikçi, 1861 – 1941) gibi pek çok ünlü matematikçi bulunmaktadır. 1894 ve 1895 yılında çalışmalarını iki cilt halinde yayınlar. Tüm çalışmaları ise ölümünden sonra 1902, 1903, 1915, 1927 ve 1967 yıllarında tek cilt halinde yayınlanır.

Ne yazık ki ölümünden önce son üç yılını tekerlekli sandalyeye mahkûm olarak geçirir. 1897 yılında geçirmiş olduğu zatürre sebebiyle hayata gözlerini yumar.

Karl Weierstrass’un Bilime Katkıları

Weierstrass, öğrencileri tarafından oldukça sevilen bir hocadır. Onların hem akademik hem de gündelik yaşamlarındaki sorunlarına ilgi duyar ve destek olur. Kummer (Alman Matematikçi, 1810 – 1893) ile birlikte Almanya’da ilk kez matematik semineri düzenler.

“Zur Theorie der Abelschen Functionen – Abelian Fonksiyonlar Teorisi Hakkında” üzerine yazdığı makale 1854 yılında yayınlanır. Bu makale, Karl’ın geliştirmiş olduğu hiperelliptik integrallerin terslerinin ön çalışmasını vermekle kalmamış sürekli yakınsayan güç serilerinin değişmeli fonksiyonlarını temsil eden yöntemlerin de ön tanımlarını vermiştir. 1856’da yılında “Theorie der Abelschen Functionen – Abelian Fonksiyonlar Teorisi” adlı makalesiyle, hiperelliptik integrallerin terslerinin ön tanımlarını sunduğu makalesini geliştirir.

Abel (Norveçli Matematikçi, 1802 – 1829) ve Cauchy‘nin (Fransız Matematikçi, 1789 – 1857) öncülüğünde başlayan matematiksel işlemleri kurallara bağlama serüveninde, bir sayı dizisinin limiti ve sürekli değişken gibi kavramları açıklığa kavuşturarak aritmetik eşitsizlikler elde eder.

Ayrıca irdelediği kavramlardan yola çıkarak hiçbir noktada türevi alınamayan sürekli bir fonksiyon problemini ortaya atar. Bu fonksiyonun çözümü için düzgün yakınsak sonsuz bir seri tanımlar.

Abel fonksiyonlarına, Abel integrallerine ve onların ters fonksiyonlarına ilişkin genel bir kuram geliştirir. Kuvvet serilerinin yakınsaklığı, limit ve süreklilik kavramlarının bazı durumlardaki çözümsüzlüğü, Weierstrass’ı irrasyonel sayıların kuramını oluşturmaya götürür. Trigonometrik seriler yoluyla gerçek bir değişkenin tek değerli işlevlerini bulmayı da başarır.

Gauss’un 1831 yılında değinmiş olduğu fakat kanıtlayamadığı analitik fonksiyonların genel teorisindeki aritmetiği, mantıksal temellere dayandırır ve gerçek sayılar kuramını geliştirir. Karmaşık sayıların gerçek sayıların değişmeli cebirsel uzantısı olduğunu kanıtlar.

1861’de Reinmann’ın öne sürdüğü fakat ispatlayamadığı “fonksiyonların sürekli olduğu herhangi bir noktada türevlenebilir” olduğu teoremi kanıtlaması, matematiğe en önemli katkılarından biridir.

Ayrıca fonksiyonların tekillik noktaları, sürekliliği, türevlenebilirliği, analitik süreklilik, çeşitli değişkenlerin analitik fonksiyonları, kontür integralleri ve yukarıda sayılan konularda yapmış olduğu çalışmalar da vardır. Bunlar neticesinde de pek çok araştırmacı tarafından “modern analizin kurucusu” olarak kabul edilmektedir.

Kaynaklar ve ileri okumalar: