Bitcoin’in güvenliğini sağlayan şifreleme sistemi, sadece modern matematiğe değil, kökleri Rönesans sanatına kadar uzanan bir düşünce yapısına dayanır. Perspektif çizimlerin matematiksel temeli olan projektif geometri, zamanla gelişerek eliptik eğri kriptografisine dönüştü. Yani bugün dijital para birimlerini koruyan algoritmaların temeli, 600 yıl önce sanatçılar ve matematikçilerin uzayı anlamlandırma çabalarıyla atılmıştır.
Filippo Brunelleschi’nin geliştirdiği perspektif kuralları, Batı sanatında yüzyıllar sürecek bir dönüşümün başlangıcını oluşturdu. O dönemde çizimlere derinlik ve gerçeklik kazandıran bu kurallar, zamanla sadece sanatla sınırlı kalmadı.
Yüzyıllar sonra matematiksel temellere dönüşerek eliptik eğri kriptografisi gibi modern yapıların gelişmesini sağladı. Bugün Bitcoin ve diğer kripto paraların güvenliğini sağlayan şifreleme teknolojilerinin kökeninde, Brunelleschi’nin o ilk çizgileri yatıyor.
Brunelleschi’den Bitcoin’e uzanan yolculuğun ilk adımlarını, perspektif kurallarındaki geometriyi okulda öğrendiğimiz Öklid geometrisiyle ilişkilendirenler attı. Bu bağlantıyı ilk kuran kişi, 17. yüzyılda perspektif üzerine çalışan Fransız matematikçi Girard Desargues’ti.
Ancak Desargues, fikirlerini anlaşılması güç ve ağır bir dille kaleme aldığı için çağdaşlarının ilgisini çekemedi. Onu ciddiye alıp takip eden tek kişi, yine bir Fransız matematikçi olan Blaise Pascal oldu. Pascal, daha sonra “projektif geometri” adını alacak bu alana kendi teoremiyle katkı sundu.
Desargues, her şeye rağmen büyük bir sıçrama yaptı. Öklid geometrisine sonsuzdaki noktalar ve doğrular kavramını ekleyerek, klasik geometri ile perspektife dayalı projektif geometri arasında tutarlı bir yapı kurdu. Bu sistemde, paralel doğrular dahil tüm doğrular bir noktada kesişir. Parabol ve hiperbol gibi eğrileri, sonsuzda bir ya da iki nokta ekleyerek elipsle eşdeğer hâle getirdi.
Ne var ki bu fikirler, bir asırdan fazla süre boyunca unutuldu. Desargues’in çalışmalarını kimse yeniden keşfetmedi. Sonunda 18. yüzyılda Gaspard Monge benzer sorularla uğraşmaya başladı Ve sonucunda neredeyse aynı sonuçlara bağımsız olarak ulaştı.
Projektif geometriye önemli bir katkı
Projektif geometriye dair 19. yüzyıldaki en kapsamlı katkıyı, Fransız mühendis ve matematikçi Jean-Victor Poncelet yaptı. Üstelik bunu çok zor koşullarda başardı.
Poncelet, Fransa’nın seçkin eğitim kurumlarından École Polytechnique’te öğrenim gördü ve 1810’da mezun oldu. 1812’de Napolyon’un Rusya seferini desteklemek üzere, bugün Belarus sınırları içinde kalan bölgeye gönderildi. Aynı yıl, birlikleriyle birlikte Moskova’ya girdi. Ancak Ruslar barış yapmayı reddedince, Poncelet Napolyon’la birlikte geri çekilen orduda yer aldı.
Fransız ordusundan ayrılmadan, Krasnoye Muharebesi’ne kadar birlikle birlikte ilerledi. Ancak bu çatışmada birliğinden koptu. Savaşın ardından Rus ordusu onu yakaladı ve ülkenin güneydoğusundaki Saratov kentine götürdü. Bu şehir, Krasnoye’ye 1.100 kilometre, memleketi Metz’e ise 3.200 kilometreden fazla uzaklıktaydı.
Poncelet fiziksel olarak bir hücreye kapatılmasa da, kendi ifadesiyle “kitaplardan ve her türlü konfordan yoksun” bir yaşam sürdü. Zor koşullarla başa çıkmak için, öğrendiği tüm matematiği baştan inşa etmeye karar verdi. Fakat bu planı hayata geçiremedi. Çünkü hem ülkesinin yaşadığı felaket hem de kendi durumu onu derinden sarsmıştı.
Bunun yerine, Monge’un çalışmalarını temel alarak onları genişletti. Sonunda Desargues’in yüzyıl önce ortaya koyduğu fikirleri, ondan bağımsız biçimde yeniden keşfetti. Savaş sona erdikten sonra Fransa’ya dönen Poncelet, 1822’de yayımladığı iki ciltlik projektif geometri çalışmasıyla, Desargues’in eserinin gölgede kalmış etkisinin aksine, çok daha fazla ilgi gördü ve bilim camiasında geniş yankı uyandırdı.
Eğriler ve İntegraller
Poncelet’in projektif geometri kitabını tamamladığı sıralarda, Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel, eliptik integralleri inceliyordu. Başlangıçta bu integraller, bir elipsin çevresini hesaplama çabasının parçası olarak ortaya çıkmıştı.
Abel, bazı durumlarda bu integrallerin terslerinin—yani eliptik eğrilerin—kullanılabileceğini fark etti. Eğriler, hesaplama açısından çok daha elverişliydi. Ancak Abel’in bu alandaki çalışmaları erken sona erdi; 1829’da, henüz 26 yaşındayken veremden hayatını kaybetti.
1830’ların başında, Fransız matematikçi Évariste Galois, yeni bir matematik alanının temellerini attı: grup kuramı. Galois, 20 yaşında bir düelloda hayatını kaybetti ama ölümünden önce, belirli kuralları izleyen matematiksel nesne ve işlemlerden oluşan yapılar olan grupların temel ilkelerini ortaya koydu.
Bu yapıların Kartezyen koordinat sistemiyle birleşmesini sağlayan kişi ise Alman matematikçi August Möbius oldu. Möbius, cebirsel denklemleri grafikleştirmede kullanılan homojen koordinatları geliştirdi. Bu sistem, daha sonra eliptik eğri kriptografisi için kritik bir rol oynayacaktı.
1901’de Fransız matematikçi Henri Poincaré, eliptik eğrilerin üzerindeki rasyonel koordinatlı noktaların bir grup oluşturduğunu fark etti. Bu grupta iki rasyonel nokta arasında tanımlanan “toplama” işlemi, üçüncü bir rasyonel noktaya götürüyordu. Ancak bu işlemin düzgün çalışması için Möbius’un bulduğu ve “sonsuzdaki nokta”yı da içeren koordinat sistemi kullanılmalıydı. Bu gruplar Abel grubu özellikleri taşıyordu, yani toplama işleminin sırası sonucu etkilemiyordu.
Bu matematiksel temeli, 1980’lerin ortasında, IBM’den Victor S. Miller ve Washington Üniversitesi’nden Neal Koblitz kriptografi alanına taşıdı. Her ikisi de birbirinden bağımsız olarak, eliptik eğri gruplarına dayalı açık anahtarlı bir şifreleme sistemi kurulabileceğini keşfetti.
Şifreleme Anahtarları
İnternetteki veri trafiğinin büyük kısmı, açık-özel anahtarlı şifreleme sistemleriyle güvence altına alınır. Bu sistemde iki anahtar vardır. Özel anahtar, yalnızca mesajı gönderen kişide bulunur ve kimseyle paylaşılmaz. Açık anahtar ise özel anahtardan türetilir ve herkese açık biçimde iletilir. Ancak iletilen mesajın şifresini çözmek için her iki anahtar da gereklidir.
Eliptik eğri kriptografisinde, taraflar öncelikle aynı eğri üzerinde anlaşır. Her biri aynı başlangıç noktasından başlayarak belirli sayıda toplama işlemi yapar. Bu işlemler, eliptik eğri üzerindeki bir noktaya ulaşmak anlamına gelir. Her taraf, ulaştığı noktayı temsil eden bir sayıyı karşı tarafa gönderir. Bu, açık anahtardır. Daha sonra, karşı taraf da bu yeni sayıya uygulayarak yine aynı noktaya ulaşır. Bu ortak nokta, şifreleme ve şifre çözme işlemleri için kullanılır.
Eliptik eğri kriptografisi, bu alanda görece geç ortaya çıkmıştır. İlk kapsamlı araçlar 2004 yılında geliştirilmiştir. Bu tarihler, Web standartlarına dahil edilmek için geç olsa da, 2009’da piyasaya çıkan Bitcoin gibi kripto para birimleri tarafından benimsenmesi için yeterince erkendi.
Kripto paraların fiili güvenlik standardı hâline gelmesi, eliptik eğri sistemlerinin daha fazla tanınmasını sağladı. Ayrıca eliptik eğri şifrelemesi, RSA’ya göre bazı belirgin avantajlara sahiptir. Bit başına daha güçlü güvenlik sağlar ve daha hızlıdır. Örneğin, 256 bitlik bir eliptik eğri anahtarı, yaklaşık olarak 3.072 bitlik bir RSA anahtarı kadar güvenlidir. Ayrıca yaygın kullanılan 2.048 bitlik RSA anahtarlarından çok daha üstündür.
Sonuç olarak
Bugünkü eğilimler sürerse, Rönesans ressamlarının 600 yıl önce keşfettiği kaçış noktası geometrisinin ardındaki matematik, gelecekte internet şifrelemesinin temel taşlarından biri olabilir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Yan, Yuhan. (2022). The Overview of Elliptic Curve Cryptography (ECC). Journal of Physics: Conference Series. 2386. 012019. 10.1088/1742-6596/2386/1/012019.
- This Cutting-Edge Encryption Originates in Renaissance Art and Math. Yayınlanma tarihi: 28 Mayıs 2025. Kaynak site: Scientific American. Bağlantı: This Cutting-Edge Encryption Originates in Renaissance Art and Math
Matematiksel
