Aşağıdaki görsele dikkatlice bakın. Izgara üzerinde toplam 12 siyah nokta yer alıyor. Ancak bu noktalar bir garip: Sanki bazıları sürekli yer değiştiriyor ya da kayboluyor. Üstelik çoğu kişi, bu 12 noktanın tamamını aynı anda göremiyor. Peki ama bu nasıl mümkün oluyor? İlk olarak Japon profesör Akiyoshi Kitaoka tarafından paylaşılan illüzyonun kökenleri aslında 2000 yılında yayınlanan bir bilimsel makaleyle açıklanmıştır. Hermann ızgarası gibi optik illüzyonlar, gözlerimizin gerçekte orada olmayan bir şeyi varmış gibi “gördüğü” durumlardır. Bu durum bize, algılarımızın her zaman gerçeği yansıtmadığını hatırlatır. Bu da insan zihninin sınırlarını görmek açısından öğretici ve alçakgönüllü bir deneyim olacaktır. Hermann ızgarası yanılsaması nedir? Hermann Grid illüzyonu: Size küçük bir kopya verelim. Aslında kutuların kesişim bölgelerine bakarsanız hayalet noktalar kaybolacaktır. Alman fizyolog Ludimar Hermann (1838–1914), bu görsel illüzyonu bir fizik kitabı okurken fark etti. Kitaptaki şekiller matris benzeri bir düzende basılmıştı. Hermann, bu gözlemini 1870 yılında bir makalede yayımladı. 1872’de Hering, benzer etkinin siyah ızgara ve beyaz karelerden oluşan bir düzende de görüldüğünü belirtti. Bu nedenle bu yanılsama zaman zaman Hermann-Hering illüzyonu olarak anılır. Görsel illüzyonlar genellikle fiziksel olarak var olan birden fazla nesnenin birlikte algılanmasıyla ortaya çıkar. Örneğin Müller-Lyer illüzyonundaki çizgiler bütün figür içinde birbirleriyle olan ilişkileri nedeniyle yanıltıcı bir görünüm kazanırlar. Görseldeki dikey çizgiler…
Beyin Jimnastiği
Köprü ve meşale bilmecesi dört kişi, bir köprü ve bir meşale içeren klasik bir mantık problemidir. Bu problem, belirli kısıtlamalar altında bazı öğelerin bir nehirden karşıya geçirilmesini konu alan nehir geçişi bilmeceleri sınıfında yer alır. Nehir geçişi bilmeceleri, çeşitli öğelerin bir nehir kıyısından diğerine en az sayıda geçişle taşınmasını konu alır. Bu bilmecelerin zorluğu genellikle, aynı anda kaç ya da hangi öğelerin taşınabileceği ve birlikte bırakıldıklarında hangilerinin güvenli olmadığı gibi kısıtlamalardan kaynaklanır. Senaryo, yüzeysel olarak değiştirilebilir; örneğin, nehir yerine bir köprü kullanılabilir. Bu tür bilmecelere dair bilinen en eski örnekler, Propositiones ad Acuendos Juvenes (Türkçesiyle: Gençleri Zihinsel Olarak Keskinleştirme Problemleri) adlı elyazmasında yer alır. Bu metnin 9. yüzyıla tarihlenen nüshalarında, üç farklı nehir geçişi problemi bulunur. Bu bilmecenin çeşitli varyasyonları bulunmaktadır. Bu değişiklikler genellikle kozmetiktir; karakter adları farklı olabilir, geçiş süreleri ya da zaman sınırı değiştirilebilir. Bazı versiyonlarda, meşale belirli bir sürede söndüğü için zaman sınırını doğrudan belirler. Senaryo ne kadar değişse de, bilmecenin temel yapısı ve çözüm mantığı sabit kalır. Köprü Bilmecesi Nedir? Dört kişi – Alper, Bülent, Can ve Deniz – yalnızca iki kişiyi aynı anda taşıyabilen cılız bir köprüyle vadiyi aşmak zorundadır. Hava kararmıştır ve yapı dayanıksızdır; bu nedenle karşıya geçen herkesin el feneri kullanması gerekir. Ancak…
Çift kefeli terazi, binyıllar boyunca ticaretin temel araçlarından biri olmuş, günümüzde hâlâ gelişmekte olan ülkelerin canlı kırsal pazarlarında rastlanan bir ölçüm aracıdır. Bu tür teraziler, hem bilimde hem de sanatta da sembolik bir nesne olarak öne çıkar. Rekreatif matematikte, teraziler çok sayıda bulmacaya konu olur. Bu tür sorular yalnızca ayrıntılı ve dikkatli bir mantık yürütmeyi gerektirmez; aynı zamanda genelleme yapmanın temellerini de öğretir. Bilimde, ağırlık kavramının temelini oluşturur. Bu, Arşimet’in ünlü ilkesiyle başlayan tarihsel sürecin bir parçasıdır. Arşimet gerçekten “Eureka” diye bağırmış olmasa da, onun buluşu modern kimyada kullanılan hassas terazilere ve en sonunda Dalton’un atom kuramına zemin hazırlamıştır. Sanat ve beşerî bilimlerde ise çift kefeli terazi; denge, eşitlik ve adaletin simgesi olarak görülür. Rekreatif matematikte ise bu teraziler, özellikle sahte paraları bulmaya yönelik mantık bilmecelerinde sıkça kullanılır. Bu tür sorularda, görünüşte benzer paralar karşılıklı tartılarak farklı ağırlıktaki sahte para bulunmaya çalışılır. Sahte para ya daha hafiftir ya da daha ağır. Bu tür bulmacalar, tüm olasılıkların dikkatle düşünülmesini gerektirdiği için güçlü bir mantıksal düşünme alıştırması sunar. Ayrıca genelleme becerisini geliştirerek, belli sayıda tartmayla kaç parayı test edebileceğinizi tanımlayan formüllere ulaşmanızı sağlar. Bu yazıda, size iki klasik bulmaca sunalım. ( Not: Sorularda standart ağırlıklar verilmemiştir. Paraları birbirine karşı tartmanız gerekir. Ayrıca…
Bir arkadaş ortamında, toplama işlemini hesap makinesinden daha hızlı yaparak çevrenizdekileri şaşırtmak ister misiniz? Muhtemelen istersiniz. O halde, size hızlı işlem yapmanızı sağlayacak basit bir yöntem gösterelim. Öncelikle kâğıda 10 satır çizin ve her satırı 1’den 10’a kadar numaralandırın. Ardından arkadaşınızdan, 1 ile 20 arasında iki pozitif tam sayı düşünmesini isteyin. Bu iki sayıyı, kâğıtta 1. ve 2. satırların karşısına yazsın. Sonrasında birkaç basit toplama işlemi yapması gerekiyor. 1. ve 2. satırdaki sayıları toplayıp sonucu 3. satıra yazacak. Daha sonra 2. ve 3. satırdaki sayıları toplayıp sonucu 4. satıra yazacak. Bu işlemi aynı şekilde sürdürecek. Yani her seferinde üstteki iki satırın toplamı bir alt satıra yazılacak. En son olarak 8. ve 9. satırın toplamı, 10. satıra yazıldığında işlem tamamlanmış olacak. Aşağıda örnek bir kâğıt yer alıyor. Ancak önemli bir nokta var: Tüm bu işlemler yapılırken siz kâğıdı hiçbir şekilde görmeyeceksiniz. Solda satır numaraları, sağda ise toplanması gereken sayılar var. İlk iki satırdaki sayı rastgele seçilmiştir. İşlem tamamlandıktan sonra, arkadaşınızdan kâğıdı size göstermesini isteyin. Kâğıda şöyle bir göz attıktan sonra, yazılı olan tüm sayıların toplamını anında söyleyin. Örneğin, yukarıdaki örnekte bu toplam 671’dir. Bu sonucu bulmak için tüm sayıları tek tek toplamanız gerekmez. Eğer arkadaşınızı daha da şaşırtmak isterseniz, ondan 10.…
Sevin ya da sevmeyin, Rubik Küpü — ülkemizde bilinen adıyla zeka küpü — dünyanın en popüler bulmacalarından biridir. İlk olarak 1974’te Macar heykeltıraş ve mimar Ernö Rubik tarafından Sihirli Küp adıyla tasarlanan bu oyuncak, 1980’ler ve 90’ların başında dünya genelinde milyonlarca kişinin ilgisini çekmiştir. Rubik Küpünü çözmekte zorlanıyorsanız endişelenmeyin; yalnız değilsiniz. Mucidi Ernö Rubik’in bile kendi icadını çözmesi bir ayını almıştı. Bunun nedeni, standart bir 3×3 Rubik Küpünün 43 kentilyondan fazla olası kombinasyona sahip olmasıdır. Ancak bu devasa sayı içinde yalnızca bir doğru çözüm vardır. Küpten rastgele hamlelerle doğru sonuca ulaşmak neredeyse imkânsızdır. Bunun yerine, belirli çözüm stratejilerini öğrenmek süreci hem hızlandırır hem de çok daha keyifli hale getirir. Rubik Küpü En Hızlı Çözme Rekoru Kime Aittir? Rubik Küpü’nü en hızlı çözme rekoru, sürekli olarak gelişen bir alandır ve “Speedcubing” adı verilen bu spor dalı, dünya genelinde binlerce kişiyi bir araya getirir. Şu anda 3×3 Rubik Küpü çözme dünya rekoru, Yusheng Du adlı Çinli bir oyuncuya aittir. Yusheng Du, bu rekoru 3.47 saniyede çözerek 2018 yılında kırmıştır. Bu olağanüstü başarı; modern çözüm teknikleri, hızlı el becerisi ve gelişmiş algoritma bilgisi sayesinde mümkün oldu. Du’nun kullandığı yöntem, Dr. Jessica Fridrich tarafından geliştirilen ve turnuvalarda en etkili çözümlerden biri olarak bilinen Fridrich…
Sürpriz sınav paradoksu, geleceğe dair bilginin sınırlarını sorgulayan klasik bir düşünce deneyidir. Bir olayın hem kesin olarak gerçekleşeceğinin bildirilmesi hem de ne zaman olacağının beklenmedik olacağının söylenmesi, mantıksal bir çelişki yaratır. Bu durum, “beklenmedik idam paradoksu” gibi daha sert örneklerle de anlatılır. Paradoksun temelinde şu çelişki vardır: Eğer bir olayın ne zaman olacağını tahmin edebiliyorsak, artık o olay sürpriz değildir. Ama gerçekten sürpriz olacaksa, o zaman zamanını önceden bilemeyiz. Bu durum, olayın hem beklenmedik hem de öngörülebilir olamayacağını gösterir. Sürpriz sınav paradoksu, ilk olarak 1940’larda matematikçi Lennart Ekbom tarafından ortaya atıldı. Ancak geniş kitlelerce tanınması, 1960’larda Martin Gardner’ın Scientific American dergisindeki Mathematical Games köşesinde yazmasıyla oldu. Paradoks, bugüne kadar kesin olarak çözülememiştir. Farklı çözüm önerileri sunulmuş olsa da, üzerinde uzlaşılmış tek bir yorum yoktur. Sürpriz Sınav Paradoksu Nedir? Bir öğretmen, haftanın beş günü derse girdiği bir sınıfta, öğrencilerine önümüzdeki hafta içinde sürpriz bir sınav yapılacağını duyurur. Ayrıca, sınavdan önce hiçbir öğrencinin sınavın hangi gün olacağını bilemeyeceğini, bu nedenle hafta sonunu ders çalışarak geçirmeleri gerektiğini özellikle vurgular.Öğrenciler eve döner ve sınavın hangi gün yapılabileceğini anlamaya çalışır. İçlerinden biri şöyle düşünür: “Cuma günü sınav olamaz. Çünkü eğer sınav Cuma günü yapılacaksa, biz Perşembe günkü dersin sonunda sınavın artık yalnızca Cuma günü yapılabileceğini…
Bu yazıda, “cevabını bilseniz bile imkânsız gibi görünen” ünlü bir matematik bilmecesinden söz edeceğiz: 100 Mahkûm Problemi. Olasılık teorisi ve kombinatorik alanlarında klasikleşmiş bu problem, 2003 yılından bu yana, şaşırtıcı derecede etkili ve zarif çözümü sayesinde daha da büyük ilgi görmeye başlamıştır. Problemin kurgusu şöyle: 100 mahkum var, her birinin üzerinde 1’den 100’e kadar bir numara yazıyor. Mahkumlar sırayla, üzerinde numaralar olan 100 kutunun bulunduğu bir odaya giriyor. Amaçları, kendi numaralarının yazılı olduğu kâğıdı bulmak. Her mahkum en fazla 50 kutu açabilir. Eğer hepsi kendi numarasını bulursa, topluca serbest kalacaklar. Başlamadan önce bir kez toplanıp strateji belirleyebilirler. Ama ilk mahkum içeri girdikten sonra konuşmaları yasak. Soru şu: Mahkumlar nasıl bir strateji izleyerek kurtulma şanslarını en yükseğe çıkarır? İlk bakışta, mahkumların iyi bir strateji geliştirebileceği pek gerçekçi görünmez. En olası senaryo, her mahkumun 50 çekmeceyi rastgele seçmesidir. Bu durumda, her mahkumun kendi numarasını bulma olasılığı %50 olur. İki mahkum için her birinin başarı şansı %50 olduğundan, ikisi de başarılı olma ihtimali 0.5 × 0.5 = 0.25 yani dörtte bir olur. 100 mahkum için bu olasılık şöyle olur: 0.5100 ≈ 0.000000000000000000000000000008 Bu rakamın ne kadar küçük olduğunu görmek kolay. Bu nedenle mahkumların affedilme şansı yokmuş gibi görünür. Ama aslında öyle değildir. Gerçekten…
Kökleri antik tarihe uzanan Josephus Problemi, klasik bir matematiksel ve algoritmik bulmaca olarak problem çözme becerilerimizi sınar. Birinci yüzyılda yaşamış Yahudi tarihçi Josephus’un, doğru çözümü bularak hayatını kurtardığı rivayet edilir. Flavius Josephus, Kudüs aristokrasisine mensup bir Yahudi tarihçiydi. MS 64 yılında, çeşitli nedenlerle Roma’da rehin tutulan bazı Yahudi rahiplerin serbest bırakılması için İmparator Neron (MS 54–68) ile görüşmek üzere Roma’ya gitti. Bu dönemde Neron, Yahudi isyanını bastırmak için General Vespasian’ı görevlendirmişti. Vespasian’ın komutasındaki Roma ordusu, Josephus ve 40 arkadaşını Jotapata adlı bir dağ kasabasında kuşatma altına aldı. Kuşatma sırasında Josephus ve adamları bir mağarada mahsur kaldılar. Bu olay, Josephus Problemi’nin ortaya çıktığı rivayet edilen tarihi bağlamı oluşturur. Josephus Problemi Nedir? Hikâyeye göre, Josephus ve 40 arkadaşı Roma’ya teslim olup köleleştirilmektense topluca intihar etmeye karar verirler. Ancak bunu rastgele değil, belli bir düzene göre yapmayı planlarlar. Bu plan için herkes bir çember oluşturacak şekilde dizilir. Sonra belirlenen yönde saymaya başlanır: Her üç kişiden biri öldürülecektir. Yani birinciden başlayarak “1, 2, 3” denir ve 3’üncü kişi öldürülür. Sonra sıradaki kişiden tekrar “1, 2, 3” sayılarak bir sonraki kurban seçilir. Bu işlem, çemberde yalnızca iki kişi kalana kadar devam eder. Efsaneye göre Flavius Josephus, matematiksel zekâsını kullanarak bu ölümcül oyunda hayatta kalmanın yolunu…
Günümüzde herkes bir şekilde çok para kazanmanın peşinde. Ancak gerçekten para kazanmak istiyorsanız önce paranın nasıl işlediğini anlamalısınız. Karmaşık ekonomik terimlere girmeden, bu yazıda anlatacağımız Zengin Konuk Paradoksu (The Rich Guest Paradox) size bu konuda önemli bir fikir verecek. Para kazanmak istemekte hepimiz haklıyız. Sonuçta bugün pek çok insan borçla yaşamını sürdürüyor. Size anlatacağımız hikaye de ekonomik zorluklarla boğuşan bir sahil kasabasında geçiyor. Sezonun kötü geçmesi yüzünden herkes birbirinden borç alarak ayakta kalmaya çalışıyor. Bu borç sarmalı ise bir gün Zengin Konuk Paradoksu olarak bilinen ilginç bir duruma yol açıyor. Kasabada ayrıca kapanma noktasına gelmiş bir otel de var. Otelde tek müşteri kasabanın doktoru. Bir gün beklenmedik şekilde zengin bir müşteri kasabaya geliyor ve geceyi bu otelde geçirmeye karar veriyor. Resepsiyona 100 dolar bırakıyor ve kalacağı odayı seçmek için boş odaları gezmeye başlıyor. Otel sahibi 100 dolarlık banknotu alır almaz hemen kasabada biriken kasap borcunu kapatıyor. Kasap, aldığı parayla hayvanları tedarik ettiği çiftliğe olan borcunu ödüyor. Hayvan yetiştiricisi de 100 doları alır almaz yem ve yakıt tedarikçisine borcunu kapatıyor. Tedarikçi parayı alınca kasabanın doktoruna olan borcunu ödüyor. Doktor ise zaten otelde kaldığı için bu 100 doları otel sahibine vererek konaklama borcunu kapatıyor. Tam o sırada zengin turist, odalara baktıktan sonra…
Dünyanın birçok yerinde matematikçiler yıllardır üç kulübe problemi, elektrik-su-doğal gaz problemi ya da üç ev üç kuyu problemi adıyla bilinen bu basit görünümlü matematik sorusunun cevabını arıyor. Bu sorunun ilk kez kimin tarafından ortaya atıldığına dair kesin bir bilgi yok. Ünlü bulmaca yazarı Sam Loyd, problemi 1903 yılında yayımlamıştı. Ancak bu bulmacanın ondan çok daha önce var olduğuna ve Loyd’un yalnızca farklı bir versiyonunu paylaştığına inanılıyor. Günümüzde de problemin çeşitli versiyonları internette dolaşıyor. Eğer henüz karşılaşmadıysanız kısaca açıklayalım. Üç Ev Üç Kuyu Problemi Nedir? Aslında problem oldukça basit görünüyor. Üç eviniz ve üç kuyunuz var. Her evden her kuyuya birer boru döşemek istiyorsunuz. Ancak şart şu: borular birbirinin üzerinden ya da altından geçmemeli. Yani her evi her hizmete bir çizgiyle bağlarken, bu çizgilerin kesişmemesi gerekir. Problemin diğer bir versiyonu ise şöyle: üç ev var ve her birine elektrik, su ve doğalgaz bağlamak gerekiyor. Burada da aynı kural geçerli. Tüm bağlantıları yaparken hatların birbirini kesmemesi mümkün mü? Konuyu daha iyi anlamak için verilen çizime göz atabilirsiniz. Görselde de görebileceğiniz gibi, üç ev problemi bu çizimde çözülememiştir. Aslında işin gerçeğini baştan söyleyelim ki yıllarınızı harcamayın: Bu sorunun bir kağıt üzerinde, yani iki boyutta çözümü imkansızdır. Ne yaparsanız yapın, borulardan en sonuncusu daha…
Verilen bir kesri sadeleştirmek basit bir işlem gibi görünür. Ancak özellikle ilköğretim düzeyindeki öğrencilerin sık yaptığı bir hata vardır. Bu hata, iki veya daha fazla basamaklı kesirlerin sadeleştirilmesi sırasında ortaya çıkar ve öğretmenlerin uyarısıyla sık sık düzeltilir. İlginç olan ise, bu yanlış yöntemin bazı örneklerde doğru sonuca ulaştırabilmesidir. Örneğin 16/64 kesrini ele alalım. Matematik bilgisi sınırlı bir öğrenci, her iki taraftaki 6 rakamını sadeleştirerek 1/4 sonucunu bulabilir. Bu işlemin kurallara aykırı olduğunu biliyoruz. Ancak sonuç doğrudur. Bu, öğrenciye bir haklılık payı verir. Benzer durumlar 26/65 kesrinde 6’lar, 19/95 kesrinde 9’lar veya 49/98 kesrinde 9’lar için de geçerlidir. Öğrenciler bu hatayı yapar ama bazen ulaştıkları doğru sonuç şans eseri değil, matematiksel bir gerçeklikten kaynaklanır. Yöntem hatalı da olsa belirli durumlarda doğru sonucu verir. Ancak burada önemli bir nokta var. Hiçbir şekilde genelleme yapmamalıyız. Bazı örneklerde doğru sonuç vermesi, bu yöntemin her zaman geçerli olduğu anlamına gelmez. Eğer birkaç örneğe bakarak bunun genel bir kural olduğunu sanarsak önemli bir yanılgıya düşeriz. Şimdi, yukarıda aktardığımız hatalı yöntemle kesirleri sadeleştirirken sonucun neden bazen doğru çıktığını anlamaya çalışalım. Kesirleri Yanlış Gidiş Yoluyla Doğru Biçimde Nasıl Sadeleştirdik? Aslında iki basamaklı sayılarda bu durumun geçerli olduğu yalnızca dört örnek vardır. Bunlar, yukarıda da belirttiğimiz gibi 16/64, 26/65,…
Go oyunu, büyülü bir oyundur. Kurallarını öğrenmesi 10 dakika sürer. Oyunu öğrenmesi ise ömür…