Josephus Problemi: Bir Çemberde Hayatta Kalmanın Anahtarı

Josephus Problemi adını MS 66-70 yılları arasında Romalılara karşı yapılan Yahudi isyanına katılan ve bunu tarihlendiren tarihçi Flavius ​​Josephus’tan almıştır. Josephus, bir general olarak, Jotapata kalesini 47 gün korumayı başarmış ancak şehrin düşmesinden sonra yakındaki bir mağarada 40 askeri ile birlikte kıstırılmıştı.

Askerler tarafından öldürülmek yerine intihar etmenin daha onurlu olduğunu söyleyen Flavius ve arkadaşları bunu belli bir sıra ile yapmak isterler ve bunun için bir çember oluşturacak biçimde dizilirler. Efsaneye göre Flavius Josephus matematiksel becerileri sayesinde bu ölümcül şans oyununda hayatta kalmayı başaracaktır.

Bunun için askerlerini en sonunda kendisini öldürecek tek kişi kalana kadar birbirlerini öldürmeye ikna eder. Bunu ise belli bir kuralla yapacağını açıklar. Sonuçta kendisi ile beraber 41 kişilerdir. Yapmaları gereken belli bir yönde hareket ederek her üç kişiden birini öldürmektir.

Hikayeye göre Josephus, ölecek son kişinin konumunu hemen hesaplar ve o yerde durur. Sadece o ve başka bir adam hayatta kaldığında da, kurbanını Romalılara teslim olmaya ikna eder. Peki ama Josephus nerede durmuştur?

Biz bu yazıda açıklaması daha kolay olduğu için problemin her ikinci kişinin öldüğü versiyonu inceleyeceğiz. Tabi ki matematikçiler bu problemin n kişi olduğunda k. kişinin nerede durduğunu hesaplamak ile ilgilenirler.

Josephus Problemi Nasıl Çözülmelidir?

Aslında problemin çözümüne geçmeden önce daha kolay anlaşılması için 41 kişi yerine 8 kişi ile bu soruyu çözmeye çalışalım. Her iki kişiden birinin öldüğünü kabul ediyoruz.


Bu durumda 1 numaralı kişi 2. kişiyi, 3 numaralı kişi 4. kişiyi, 5 numaralı kişi 6. kişiyi ve 7 numaralı kişi 8. kişiyi öldürecek. Şu an geriye 1,3,5 ve 7 numaralı kişiler kaldı.

Aslında bu noktadan sonra görsele bakarak çözümü görmüş olmanız gerekiyor. Sonucunda şu an 1 numaralı kişi 3. kişiyi öldürdü, 5 numaralı kişide 7. kişiyi öldürdü ve geriye sadece 1 ile 5 kaldı. Bu durumda Josephus 1 numarada durmalı ve 5 numaralı kişiyi ikna etmeli, olmadı öldürmelidir.

Şimdi daha genel bir kural bulmaya çalışalım. n sayma sayısı için oyunu kazanan kişinin numarasını J(n) ile gösterelim. Oyuncu sayısını çift ve tek olarak iki ayrı durumda inceleyeceğiz.

Çift Sayıda Asker Varsa

Eğer oyun 2n kişiyle başlarsa ilk turun sonunda çember etrafında sadece tek numaralı oyuncular kalacaktır. Geriye kalan kişi sayısı ilk kişi sayısının yarısı kadar olacaktır. Ancak artık sıralamaları değişmiş durumdadır. Dikkat ederseniz önceden 3 numaralı olan kişi artık 2. konumda, 5 numaralı kişi 3. konumda, 7 numaralı kişi 4. durumda durmaktadır.

Yani aslında yeni yerleri ilk konumlarının bir fazlasının yarısı kadardır. Diğer bir deyişle eski konumları yeni konumlarının iki katının bir eksisi kadardır. Bu durumda Buradan, J(n) kazanan oyuncunun numarası olduğundan, n≥1 için J(2n)=2J(n)-1 eşitliğini yazabiliriz.

Tek Sayıda Asker Varsa

Şimdi de oyunun 2n+1 yani tek sayıda kişiyle oynandığını varsayalım. Bu durumda, ilk turun sonunda sırasıyla 2,4,6,… ,2n ölecek ve geriye bu sefer tek numaralı kişiler kalacaktır. Yani ikinci turda 1 numaralı kişi aslında 3. kişi, 2 numaralı kişi aslında 5 kişi, 3 numaralı kişi 7. kişi oldu. Bu durumda kişilerin yeni konumlarını bulmak için eski konumlarını 2 ile çarpıp bir toplamamız gerekiyor. Buradan da, J(n) kazanan oyuncunun numarası olduğundan, n≥1 için J(2n+1)=2J(n)+1 eşitliğini yazarız.

Sonrasında da bu iki bilginin bir araya getirilmesi ile de ispatımızı yapıp genel çözümü elde edebiliriz. ( İspatı bu yazıda ele almayacağız. Merak edenler kaynaklar kısmından ulaşabilir)

Josephus Problemin Cevabı

Şimdi bir tablo yapalım. Aşağıdaki tablo 15 kişiye kadar hayatta kalan kişinin durması gereken yeri gösteriyor. 8 kişi için 1 cevabını yukarıda bulmuştuk. Diğerleri için de çemberler çizerek gerekli sağlamayı yapabilirsiniz.

Yukarıdaki tabloda dikkat etmeniz gereken şey hayatta kalanların her zaman tek numaralı konumlarda bulunduğudur. Ayrıca bu tek sayıların belli bir noktaya kadar iki iki arttığını sonra da yine 1’e geri döndüğünü görebilirsiniz. Aslında tabloya dikkatle bakarsanız 1 numaralı konumda hayatta kalanların karşısında 2 sayısının kuvvetlerinin yer aldığını fark edeceksiniz. Aslında bu problemi anlamanın püf noktasıdır. Yani elimizde 32 askerimiz olduğu zamanlarda da 1 numaralı asker hayatta kalan olacaktır.

Problemimizde 41 kişi vardı. 41 sayısına en yakın 2’nin kuvveti 32dir. Sonrasında sayarak çözümü elde edebiliriz. 33. asker 3, 34. asker 5, 35. asker 7, 36. asker 9, 37. asker 11, 38. asker 13, 39. asker 15, 40. asker 17 ve 41. asker 19. konumda durursa hayatta kalacaktır. Bu durumda da Josephus son kalan olmak için 19. konumda bulunmalıdır.

Herkes tarafından anlaşılabilmesi için ispata ve genel çözümlere bu yazımızda yer vermedik. Merak edenler kaynaklar kısmından devam edebilir.



Kaynaklar ve ileri okumalar


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu