Tarihin karanlık dönemlerinden günümüze yalnızca adıyla ulaşabilmiş figürler vardır. Diophantus da bu isimlerden biridir. Onun kim olduğu, neye benzediği ya da tam olarak ne zaman yaşadığı hâlâ kesin olarak bilinmemektedir. Ancak geride bıraktığı izler, özellikle matematik tarihindeki yeri açısından oldukça dikkat çekicidir. İskenderiye’li Diophantus: (Tahmini 201–285) Diophantos’un gerçekten yukarıdaki temsildeki gibi görünüp görünmediği belirsizdir. Hatta ne zaman yaşadığı bile kesin olarak bilinmemektedir. Çok sayıda çalışması kaybolmuş olan bu ünlü matematikçiden elimizde sınırlı bilgi vardır. Polygonal sayılarla ilgili bir metninde Diophantos, İ.Ö. 175 civarında yaşamış olan matematikçi ve astronom Hypsikles’in artık kayıp olan bir eserine atıfta bulunur. Bu bilgi, onun en erken bu tarihten sonra yaşamış olabileceğini düşündürür. Öte yandan, ünlü matematikçi Hypatia’nın babası olan Theon, 364 yılında yazdığı bir çalışmada Diophantos’un Arithmetica adlı eserine doğrudan gönderme yapar. Ayrıca, 3. yüzyıla ait bir papirüste Arithmetica‘daki sembollerin aynısı yer alır. Bu nedenle bugün, Diophantos’un yaklaşık olarak İ.S. 250 yılında İskenderiye’de yaşamış olduğu varsayılmaktadır. Ne zaman yaşadığı kesin olarak bilinmese de, ne kadar yaşadığıyla ilgili bilgi vardır. Bu bilgi, yaklaşık 500 yılında yazılmış bir mezar yazıtından gelir. Mezardaki bilmece şeklindeki şiirsel anlatım, bir denklem aracılığıyla Diophantos’un 84 yaşına kadar yaşadığını ortaya koyar: “Bu mezar Diophantos’u örtüyor. Bakın bu mucizeye! Ölenin sanatı sayesinde yaşı…
Beyin Jimnastiği
Görsel yanılsamalar, çevremizi hızlı ve verimli algılamamıza yardımcı olan görsel sistemin zaman zaman yanılmasından kaynaklanır. Bu tür hatalar, beynimizin karmaşık görsel bilgileri basitleştirme çabasının bir sonucudur. Bu durumun en bilinen örneklerden biri, Ebbinghaus İllüzyonu olarak adlandırılan boyut yanılsamasıdır. Yukarıdaki iki turuncu top aynı boyutta olmasına rağmen, soldaki biraz daha büyük gibidir. Algıdaki bu tuhaflık, turuncu topları birbirleriyle karşılaştırmadan önce ait oldukları gruplar ile karşılaştırmadan duramadığımız için gerçekleşiyor. Bu görüntüde beyin soldaki büyük, gri daireleri yakında; sağdakileri ise uzakta olarak algılıyor. Aynı anda beyin turuncu daireleri de gri dairelerle aynı gruba koyuyor. Detaylara geçmeden önce klasik soruyu soralım: Yukarıdaki görselde, merkezdeki iki turuncu daireden hangisi daha büyük? Çoğu kişinin tahmin edeceği gibi, doğru cevap “hiçbiri”dir. Çünkü merkezdeki iki turuncu daire gerçekte aynı boyuttadır. Ebbinghaus İllüzyonu Neden Kaynaklanıyor? Gördüğümüz şeyleri anlamlandırırken bağlamdan yararlanırız. Küçük nesnelerle çevrili bir nesne, gerçekte aynı boyutta olsa bile bize daha büyük görünür. Görsel sistemimiz, yalnızca nesnenin kendisine değil, çevresine de bakarak bir yargıya varır. Bu nedenle, sağdaki turuncu daire soldakinden daha büyükmüş gibi algılanır. Bu yanılsama, 19. yüzyılda Alman psikolog Herman Ebbinghaus tarafından tanımlandı. O zamandan beri Ebbinghaus İllüzyonu ve benzeri geometrik algı hataları, psikoloji alanında düzenli olarak incelenmektedir. İlk olarak psikolog Edward B. Titchener tarafından tanımlandığı…
David Hilbert’in “sonsuz otel paradoksu” (Hilbert’s Hotel), sonsuzluk kavramının sezgilere aykırı doğasını gözler önüne seren çarpıcı bir düşünce deneyidir. David Hilbert ve Onun Sonsuzluk Oteli. Bir sonraki yüz yılı ilgilendiren problemleri tahmin etmek, özel bir teknik zeka ve kendine güven gerektirir. Neyse ki, bu iki özellik de Alman matematikçi David Hilbert’te fazlasıyla mevcuttu. 1900’da Paris’teki Uluslararası Matematik Kongresi’nde, David Hilbert, gelecek yıllarda matematikçilerin zihinlerini meşgul edeceğine inandığı 23 soruyu büyük bir özgüvenle sundu. Bu, onun ne kadar ileri görüşlü bir matematikçi olduğunun açık bir kanıtıydı. Aynı zamanda, matematik dünyasına büyük bir meydan okuma yapıyor ve gelecekte matematiksel araştırmaların yönünü belirleyecek bir çerçeve çiziyordu. David Hilbert (1862-1943), Alman matematikçi ve matematiksel mantıkçıdır. Ancak kendisinin matematiğe tek katkısı bu değildi. Hilbert, matematiği daha kesin ve tutarlı bir temele oturtmak için aksiyomatik yöntemi geliştirdi. Öklidyen geometriyi sistematik bir şekilde yeniden yapılandırarak, aksiyomların önemini vurguladı. Ayrıca, sayı teorisi, fonksiyonel analiz, cebir ve mantık alanlarında da büyük keşifler yaptı. Ancak tüm bunların ötesinde kendisi en çok Sonsuzluk Oteli paradoksu ile anımsanır. Hilbert’in Sonsuzluk Oteli Paradoksu Nedir? Diyelim ki bir otel yöneticisisiniz ve oteliniz tamamen dolu. Elbette bu harika bir durumdur, ancak daha fazla misafiri içeri almak her zaman cazip gelir. Gerçek hayatta bu, TripAdvisor’da kötü…
Dünyanın çevresine bir ip dolasak ne olurdu? İlk bakışta çocukça ya da anlamsız gibi görünen bu soru, aslında sezgilerimize meydan okuyan ve matematiğin gücünü ortaya koyan bir düşünce deneyine dönüşüyor. Birazdan okuyacağınız ilk bulmaca 1702 yılına ait. İngiliz matematikçi ve doğa filozofu William Whiston (1667–1752) tarafından kaleme alınan bir ders kitabında yer alıyor. Bu bulmaca, matematik tarihinde bir dönüm noktası olarak görülmese de, sezgilerimizin ne kadar yanıltıcı olabileceğini göstermesi bakımından uzun süredir ilgi çekmeye devam ediyor. İkinci bulmaca olan “dünyayı çevreleyen ip” sorusunun ise ilk olarak Henry Ernest Dudeney tarafından yazıya döküldüğü düşünülüyor. Her iki bulmacada da düşünmeyi kolaylaştırmak için dünyanın mükemmel bir küre olduğunu ve yüzeyinin tamamen düzgün kabul edildiğini varsayacağız. İlk bakışta birbirinden farklı görünseler de, her iki soru aynı temel matematiksel ilkeye dayanıyor. Hazırsanız başlayalım. 1- Dünyanın Çevresinde Yürüyen Adam Dünyanın çevresinde yürüyen bir adam hayal edin. Böyle bir durumda, adamın kafasıyla ayaklarının kat ettiği mesafelerin birbirine eşit olmaması gerekir. Peki ama bu fark ne kadar olabilir? Sorunun biraz garip olduğunu kabul etmek gerek. Ancak bu bir düşünce deneyi; dolayısıyla “öyle olmaz” demeden, işe matematiksel bir yaklaşımla bakalım. Öncelikle bazı temel bilgileri hatırlayalım: bir çemberin çevresi, 2πr formülüyle hesaplanır. Yukarıdaki hayali diyagramda, r Dünya’nın yarıçapını ve H…
Ay’ı (veya Güneş’i) ufka yakın gördüyseniz, bu yanılsamayı deneyimlemişsinizdir. Ay, ufukta devasa görünür ve tepede olduğu zamankinden çok daha büyük algılanır. Ay’ın ufuk çizgisinde de, gökyüzünün en yüksek noktasında da aynı boyutta olduğunu bilsek de, yine de onu büyükmüş gibi görmekten kaçınamayız. Bu duruma Ay yanılsaması ya da Ay İllüzyonu denir. Bu yanılsamanın adı “Ay yanılsaması” olsa da aynı şey doğan ya da batan Güneş için de geçerlidir. Ancak Güneş’e uzun uzun bakamadığımızdan bu etkiyi daha çok dolunay zamanında fark ederiz. Bu illüzyon binlerce yıldır bilinmektedir. Asur şehri Ninova’da bulunan ve MÖ 7. yüzyıla tarihlenen çivi yazılı bir kil tablette de bu yanılsama tasvir edilmiştir. Açıklama çabaları da, yanılsamanın kendisi kadar eskidir ve çoğu başarısız olmuştur. Örneğin Aristoteles, bu etkiyi atmosferdeki sisin neden olduğu kırılmaya bağlamıştır. Ancak bu doğru değildir; çünkü illüzyon, hava tamamen açık olduğunda da görülür. Günümüzde de yaygın olan başka bir teori, Dünya’nın atmosferinin bir mercek gibi davranarak Ay’ın ışığını kırdığı ve onu büyüttüğüdür. Ancak bu da doğru değildir. Çünkü Ay, gökyüzünün neresinde olursa olsun aynı boyuttadır. Üstelik atmosferin mercek etkisi, Ay’ı büyütmek yerine daha çok yatay eksende sıkıştırarak basık göstermeye neden olur. Dolayısıyla, bu fiziksel açıklama da illüzyonun kaynağı olamaz. Ay Yanılsaması Neden Gerçekleşiyor? Photoshop olduğunu…
Bazen matematik öylesine zarif ve etkileyici bir şekilde karşımıza çıkar ki, insan bunu kendi keşfetmemiş olsa bile “Eureka!” diye haykırmak ister. Genellikle bu his, alışılmadık bir bakış açısı, beklenmedik bir bağlantı veya sorunun yeni bir şekilde ele alınmasıyla karmaşık bir şeyin aniden basit görünmesiyle ortaya çıkar. Bu tür şaşırtıcı matematiksel yaklaşımların en güzel örneklerinden biri, Sanat Galerisi Problemi olarak bilinen sorudur. Sanat Galerisi Problemi, bir sanat galerisi veya müze gibi çokgen şeklindeki bir alanın tamamını görebilmek için en az kaç güvenlik görevlisinin gerekli olduğunu belirlemeye çalışan klasik bir geometrik ve kombinatorik problemdir. Matematikçi Victor Klee tarafından 1973 yılında ortaya atılan bu problem, geometrik hesaplamalarla ilgilidir ve sanal bir sanat galerisini en az kaç güvenlik kamerasının kapsayacağını bulmaya çalışır. Yaklaşık beş yıl sonra, matematikçi S. Fisk, bu problemi ele almak için oldukça zarif bir yöntem geliştirdi. İlginç olan, bu problem daha önce Václav Chvátal tarafından farklı bir yöntemle ispatlanmış olmasına rağmen, Fisk’in çözümü beklenmedik derecede şık ve sezgisel bir yaklaşım sundu. Öyleyse, bu problemin ne anlama geldiğini anlamak için önce temel fikri ortaya koyalım. Sanat Galerisi Problemi Nedir? Bir sanat galeriniz olduğunu ve burada paha biçilmez tablolar ve heykeller sergilendiğini düşünelim. Galerinin tamamını güvenlik altına almak için belirli noktalara güvenlik görevlileri…
İnternette vakit geçiren birçok kişi, matematiğe ilgi duysun ya da duymasın, zaman zaman kendini bir mantık veya görsel algı sorusunu çözerken bulur. Özellikle sosyal medyada sıkça karşılaşılan bulmacalardan biri, “Bu görselde kaç üçgen var?” sorusudur. Bu görselde kaç üçgen var? Akla gelen ilk çözüm, görseldeki üçgenleri tek tek saymaktır. Ancak bunu yapmaya başladığınızda, sürecin beklediğiniz kadar kolay olmadığını fark edersiniz. Eğer matematiğe yatkınsanız, kombinasyon hesaplamalarını kullanarak bu tür soruları çözebilirsiniz. Ancak bu yazıda, daha sezgisel ve görsel bir yöntemle sonuca ulaşmaya odaklanacağız. Bu tür sorular, farklı üçgen formlarından oluşsa da genellikle belirli bir şablonu takip eder. Yukarıda verdiğimiz örnek gibi sorularla karşılaşmanız oldukça yaygındır. Eğer çözümü kendi başınıza denemek isterseniz, okumaya devam etmeden önce bir süre görseli inceleyebilirsiniz. Ancak zaman kaybetmek istemiyorsanız, doğrudan çözüm sürecine geçebiliriz. Bu tip soruların çözümünde, büyük üçgeni parçalara ayırarak ilerlemek en etkili yöntemlerden biridir. Soruyu sistematik bir şekilde çözebilmek için, büyük üçgenin içinde yer alan farklı boyutlardaki üçgenleri belirleyerek adım adım ilerleyeceğiz. Şimdi yukarıda kırmızı nokta ile işaretlenen bölgelere odaklanalım ve birden on altıya kadar hangi üçgenleri elde ettiğimizi inceleyelim. “Görselde Kaç Üçgen Var?” Sorusunun Çözümü 1 numaralı görselde, tek ve belirgin bir üçgen bulunuyor. Bu oldukça açık bir durum olduğundan detaylı bir açıklamaya gerek…
Fermi problemleri, belirsizlikler içinde mantıklı bir çerçeve oluşturmayı, karmaşık sorunları sadeleştirmeyi ve kritik düşünmeyi geliştirmeyi sağlar. 1945 yılında, ilk atom bombası New Mexico çölünde patladığında, Enrico Fermi patlamadan kilometrelerce uzakta duruyordu. Elinde yalnızca birkaç parça kağıt vardı. Şok dalgası kendisine doğru ilerlerken, kağıtları yere bıraktı ve ne kadar uzağa sürüklendiklerini gözlemledi. Bu basit hareketle, bombanın gücünü yaklaşık olarak hesapladı. Tahmini yaklaşık 10 kiloton TNT kadardı. Gerçek patlama gücü ise 20 kiloton TNT civarında idi. Sonucu tam bulamasa da, yalnızca kabataslak bir tahminle, yaklaşık bir değere ulaşmıştı. Bu olay, Fermi’nin sezgisel matematik yeteneğinin ve pratik düşünme becerisinin en ünlü örneklerinden biri olarak tarihe geçti. Amerikalı Nobel ödüllü fizikçi Enrico Fermi, (1901- 1954) yirminci yüzyılın en önemli fizikçilerinden biriydi. Kendisi kuantum mekaniğine ve atom fiziğine birçok önemli katkı yaptı. 1938’de radyoaktivite ve nükleer tepkimeler üzerine yaptığı çalışmalarla Nobel Ödülü aldı. 1940’ların başında ilk nükleer reaktör olan Chicago Pile-1’i kurdu. Ayrıca nötrino denilen parçacığın varlığını öngören o oldu. Fermi, dünyanın ilk nükleer reaktörünü geliştiren ve Nobel Ödülü kazanan bir fizikçiydi. Ancak onu asıl farklı kılan, çok az bilgiyle son derece doğru tahminler yapabilme yeteneğiydi. Bugün, bu yeteneği Fermi problemleri olarak bilinen bir dizi zihinsel egzersizde yaşamaya devam ediyor. Bu tür problemler, ilk bakışta…
Matematikte sorulara genellikle net cevaplar verilir. Ancak 2000 yılında popüler hale gelen ve o günden bu yana matematikçileri ve filozofları ikiye ayıran Uyuyan Güzel Problemi için henüz kesin bir yanıt bulunmamaktadır. Bu problemin çözümüyle ilgili 100’den fazla akademik yayın yapılmış durumda. Görünüşe göre, hemen herkesin bu konuda kendine göre bir fikri var. Problem felsefi literatürde ilk kez ele alındığında, cevabın 1/2 olduğu savunuldu. Ancak daha sonra 1/3 cevabı da ortaya atıldı. O günden beri, bu iki yanıt arasında net bir fikir birliği sağlanamadı. Bu nedenle, kesin bir cevap sunamasak da, problemin yapısını ve her iki çözüm yolunun nasıl hesaplandığını açıklayabiliriz. Meşhur Uyuyan Güzel problemi, matematikçi ve filozofları uzun zamandır kutuplaştırmayı başardı. Uyuyan Güzel Problemi Nedir? Uyuyan Güzel Problemi, olasılık teorisi ve karar verme süreçleriyle ilgili tartışmalı bir düşünce deneyidir. 2000 yılında filozof Adam Elga tarafından popüler hale getirilmiştir. Bir grup bilim insanı, Uyuyan Güzel’i bir deneye davet eder. Uyuyan Güzel de bunu kabul eder ve deney başlar. Deney şu şekilde işler: Pazar günü, Uyuyan Güzel’e bir uyku ilacı verilir ve uyutulur. Uyuyakaldıktan sonra, araştırmacılar adil bir yazı-tura atışı yapar. Eğer tura gelirse, Uyuyan Güzel yalnızca pazartesi günü uyandırılır ve ona paranın tura gelme olasılığı sorulur. Daha sonra deney sona erer.…
Bu yazıya konu olan soru, SAT (Scholastic Aptitude Test) sınavında bugüne kadar sorulmuş en zor matematik sorularından biri olarak kabul edilmektedir. Sorunun zorluk seviyesi o kadar yüksekti ki, sınava giren hiçbir öğrenci doğru cevabı bulamamıştı. SAT sınavında yakın zamanda değişikliğe gidilmiştir. Daha da ilginci, soruyu hazırlayan uzmanlar bile çözüm konusunda tam bir fikir birliğine varamamıştı. Bu durum, yalnızca öğrenciler için değil, matematik alanında yetkin kişiler için de şaşırtıcıydı. Aşağıda, 1982 SAT sınavında sorulan soruyu orijinal haliyle paylaşıyoruz. Ardından, detaylı açıklamasını yaparak neden bu kadar zor olduğunu ele alacağız. Şekilde, A çemberinin yarıçapı, B çemberinin yarıçapının üçte biri kadardır. A çemberi, başlangıç noktasından itibaren B çemberinin çevresinde kaymadan yuvarlanarak hareket etmeye başlar ve sonunda tekrar başlangıç noktasına ulaşır. Bunun için A çemberinin toplamda kaç tur atmalıdır? Bu SAT Sorusu İle İlgili Sorun Nedir? Bu sorunun cevabı, ilk bakışta size 3 gibi görünebilir. Sonuçta, B çemberinin yarıçapının, A çemberinin yarıçapının 3 katı olduğunu biliyoruz. Bu nedenle B çemberinin çevresi de A çemberinin çevresinin 3 katı olacaktır. Eğer küçük çemberi açıp büyük çemberin çevresine sarabilseydik, bunu tam 3 kez yapabilirdik. Bu mantıkla hareket eden sınav sorusunu hazırlayanlar da doğru cevabın 3 olduğunu kabul etmişlerdi. Ancak bu yanlıştı. Üstelik işin ilginç yanı, diğer şıkların…
Virginia’da, CIA’nın Langley’deki merkezinin avlusunda bulunan Kryptos Heykeli, yalnızca bir sanat eseri değil, aynı zamanda tarihin en büyük kriptografik bilmecelerinden biri olarak dikkat çekiyor. Jim Sanborn tarafından 1990 yılında tasarlanan bu 3,7 metre uzunluğundaki bakır heykel, üzerindeki 1.800 karakterle dünya çapında amatör ve profesyonel şifre kırıcıları yıllardır meşgul ediyor. Heykelin üzerinde yer alan şifreli mesajlar, bugüne kadar sayısız çözüm girişimine rağmen hâlâ gizemini koruyor. Şifreli mesajların ilk üç bölümü çözülmüş olsa da, K4 olarak bilinen son 97 karakter içeren bölüm, hem sanat hem de kriptografi dünyasında çözülmeyi bekleyen bir muamma. Kryptos, sanat ile kriptografi arasındaki bağın en somut örneklerinden biridir. Heykel, yalnızca bir sanat eseri değil, aynı zamanda kriptografi dünyasında bir kilometre taşıdır. CIA çalışanları her gün bu heykelin yanından geçerken, onun taşıdığı sırları çözmeye çalışıyor. Kryptos’un zorluğu, dünyanın dört bir yanındaki amatör ve profesyonel şifre kırıcılar için bir meydan okuma haline geldi. Heykel, dört farklı bölümden oluşur. Üzerinde 1.800 karakter vardır. Ancak pek çok insanın düşündüğünün aksine heykelin üzerindeki karakterler, rastgele değildir. Kryptos Heykeli Neden Yapıldı? “Kryptos” kelimesi Yunanca’da “gizli” anlamına gelir ve bu isim, heykelin taşıdığı anlamı mükemmel bir şekilde özetler. Sanborn, eseri tasarlarken yalnızca estetik bir amaca hizmet etmeyi planlamamıştı. Aynı zamanda CIA çalışanlarına entelektüel bir meydan…
Yeni bir eve taşınırken karşılaşılan en büyük zorluklardan biri, mevcut mobilyaların yeni evin odalarına taşınmasıdır. Mobilyalar genellikle bir önceki evin boyutlarına ve düzenine göre seçildiğinden, yeni evin dar veya dönüşlü koridorlarından geçirme süreci tam bir mücadeleye dönüşecektir. Özellikle koridor düz değil, keskin bir dönüşe sahipse, bu durum başlı başına bir sorun haline gelir. İşte bu günlük hayatta karşılaşılan problem, matematik dünyasında uzun yıllardır çözülmeye çalışılan bir bilmecenin, Taşınan Kanepe Probleminin ( İng: moving sofa problem) temelini oluşturur. 1950’li ve 1960’lı yılların en önde gelen matematikçilerinden biri olan Avusturya-Kanadalı Leo Moser (1921-1970), özellikle sayılar teorisi üzerine derinlemesine çalışmalar yapmış önemli bir isimdir. Moser, matematiksel problemlere olan yoğun ilgisi ve analitik yaklaşımıyla tanınırdı. Leo Moser (1921-1970), matematiksel analiz, kombinatorik ve geometri alanlarında çalışmış Kanadalı bir matematikçidir. En çok Moser teoremi ve Moser sayıları ile tanınır. Moser’in yenilikçi bakış açısı ve problem çözmeye yönelik tutkusu, Taşınan Kanepe Problemi gibi soyut ve eğlenceli matematiksel sorulara da ilgi duymasını sağladı. Mose bu problemi ölümünden 4 sene evvel geliştirdi. Ancak üzerinden 50 yıldan fazla zaman geçmesine rağmen kesin bir çözüme henüz ulaşılamadı. Taşınan Kanepe Problemi, ilk bakışta eğlenceli ve soyut bir düşünce deneyi gibi görünecektir. Ancak aslında geometri ve optimizasyon alanında derin bir meydan okumayı temsil eder.…