Matematik, çözülen ve hâlâ çözülememiş pek çok problemle doludur. Bu yazıda, şimdiye kadar çözülmüş en zor dokuz problem üzerinde duracağız.
1) Üç Küp Problemi
Douglas Adams’ın bilim kurgu serisi Otostopçunun Galaksi Rehberi‘nde, iki programcı galaksinin en büyük süper bilgisayarına evrendeki her şeyin anlamını bulma görevini verir. Bilgisayar, 7.5 milyon yıl süren bir işlem sonunda cevabı verir: 42. Ancak programcılar, kimsenin bu cevabın hangi soruya ait olduğunu bilmediğini fark eder. Üç küp problemi de tesadüfen 42 sayısı ile ilişkilidir.
Bu soru en azından 1955’ten beri gündemde. Hatta bazılarına göre, M.S. 3. yüzyılda yaşamış Antik Yunan düşünürleri bile bu problemi tartışmış olabilir. Soru şu: “1 ile 100 arasındaki her sayıyı, üç küp sayının toplamı şeklinde ifade edebilir miyiz?”
Matematiksel olarak göstermek gerekirse “x3 + y3 + z3 = k denkleminde k, 1’den 100’e kadar herhangi bir tam sayı olabilir mi?
Bu aldatıcı derecede basit görünen problem, adını yaklaşık 1800 yıl önce benzer sorular ortaya atan İskenderiyeli matematikçi Diophantos’tan alır ve “Diophantus denklemi” olarak bilinir. Modern matematikçiler, bu probleme yeniden yöneldiklerinde, küçük k değerleri için çözümleri hızlıca buldular. Ancak bazı sayılar inatla çözüm vermedi. 2019 yılı başına kadar, hâlâ çözülememiş iki sayı kalmıştı: 33 ve 42.
Nihayet 2019 yılında, matematikçi Andrew Booker, 33 sayısı için çözümü buldu. Geliştirdiği bilgisayar algoritmasıyla, x, y ve z değişkenleri için pozitif ve negatif 99 katrilyona kadar olan tüm sayıları tarayarak denklemin çözümünü elde etti. Yine de yapılan kapsamlı taramalar, 42 sayısı için herhangi bir çözüm ortaya koyamadı.
Bu nedenle Booker, bir sonraki denemesinde matematikçi Andrew Sutherland’dan yardım aldı. Sutherland, Booker’a Charity Engine adlı küresel bilgisayar ağını kullanma imkânı sağladı. Sonunda Booker ve Sutherland, yaklaşık 1 milyon işlem saati sonunda, k=42 olan Diophantus denkleminin çözümünü bulmayı başardı.
2) Poincaré Sanısı
2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü, çözülememiş yedi büyük matematik problemini “Milenyum Problemleri” adıyla duyurdu. Bu problemlerden herhangi birini çözen kişiye 1 milyon dolar ödül verileceğini açıkladı. Bugün, yalnızca Poincaré Sanısı çözüme kavuştu; diğer altı problem hâlâ yanıt bekliyor.
Cebirsel topoloji, 19. yüzyılın sonlarında Henri Poincaré’nin çalışmalarıyla ortaya çıktı. Bu alan, geometri ve topolojideki karmaşık problemleri cebirsel terimlerle ifade ederek, soyut matematiksel yapıları anlamayı mümkün kıldı.
Poincaré, topolojinin temellerini atarken bir soruya odaklandı: Topolojinin en basit üç boyutlu yapısı, dört boyutlu bir yüzeyi tanımlamak için yeterli olabilir miydi? Bu sorgulama, onu matematik tarihinin en ünlü sorularından birine götürdü. Hiçbir belirgin özelliği — delik, kulp ya da büküm gibi — bulunmayan bir üç boyutlu uzay, mutlaka bir üç boyutlu küre midir? İşte bu soru, Poincaré varsayımının temelini oluşturdu.
Bir yüzyıl sonra Rus matematikçi Grigori Perelman, Poincaré sanısını ispatladı. 2002’de konuyla ilgili 39 sayfalık ilk makalesini alışılmadık bir şekilde internete koydu ve özetini ABD’deki 12 matematikçiye e-postayla gönderdi. Ertesi yıl iki bölüm daha yayımladı. İspatı 2006’da matematik camiası tarafından tamamen kabul edildi.
3) Fermat’ın Son Teoremi
Pierre de Fermat, 17. yüzyılda yaşamış Fransız bir avukat ve matematikçiydi. Onun için matematik, bir hobiden ibaretti. İlginç bir kişiliği vardı ve öldükten sonra, çözümü için matematikçilerin on yıllarını hatta yüzyıllarını harcayacağı ispatsız iddialar bıraktı. Bu iddialar arasında en zoru, aynı zamanda en meşhuru olan Fermat’nın Son Teoremi’ydi. Bugün “zor matematik problemi” denince akla ilk gelen örneklerden biridir.
Fermat’ın son teoremi, Pisagor teoremine benzer. Ancak Fermat ise, bu denklemdeki üssün 2’den büyük olması durumunda neler olacağını sorguladı. Örneğin x3 + y3 = z3 denkleminin tam sayı çözümleri var mıdır? Peki ya üs 10, 50 ya da 30 milyon olursa ne olur?
Pierre de Fermat cevabın hayır olduğunu iddia etmişti. Bir kitabın kenarına bu teoremi ispatladığını, ancak sayfa kenarında yeterince yer olmadığı için ispatı yazamadığını not etti.
Yüzyıllar boyunca matematikçiler, Fermat’nın gerçekten bir kanıta sahip olup olmadığını merak etti. Bu soru, onun ölümünden tam 330 yıl sonra, 1995’te yanıt buldu. İngiliz matematikçi Sir Andrew Wiles, sonunda bu zor problemi çözdü.
Wiles, teoremi kanıtlamak için matematiğin birçok farklı alanını bir araya getirdi. Bunlardan biri de eliptik eğrilerdi. Ancak bu kavram, Fermat’nın yaşadığı dönemde henüz bilinmiyordu. Bu nedenle, çoğu matematikçi Fermat’nın bu teorem için gerçek bir kanıta sahip olmadığına inanıyor.
4) Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılması
Soyut cebir, Rubik Küpü’nü çözmekten, Futurama dizisinde beden değiştirme sahnelerini açıklamaya kadar pek çok alanda karşımıza çıkar. Bu alanın temel kavramlarından biri “grup”tur.
Gruplar, bazı basit kurallara uyan sayı kümeleridir. Bir grubun kaç elemandan oluştuğunu biliyorsanız, bu yapının nasıl görüneceğini belirlemeye çalışabilirsiniz. Ancak bu, düşündüğünüzden çok daha karmaşıktır. Örneğin, n=2 ya da n=3olduğunda yalnızca bir grup türü vardır. n=4 olduğunda iki farklı grup mümkündür. Matematikçiler bu yüzden, her grup büyüklüğü için tüm olası yapıların listesini oluşturmak istediler.
Ancak bu listeyi hazırlamak inanılmaz zordu. Çünkü yalnızca tüm grupları tarif etmek değil, aynı zamanda hiçbir yapıyı atlamadığınızdan emin olmak gerekiyordu. Bu zorlu görev, 20. yüzyılın en büyük matematik projelerinden biri hâline geldi. “Sonlu basit grupların sınıflandırılması” olarak bilinen bu dev çalışmayı, 1972 yılında Harvard Üniversitesi’nden Daniel Gorenstein başlattı.
1985 yılına gelindiğinde çalışmalar büyük ölçüde tamamlandı. Ancak ortaya çıkan ispat, binlerce sayfa uzunluğundaydı ve çok sayıda farklı makaleye dağılmıştı. Tek bir kişinin tümünü okuyup doğrulaması neredeyse imkânsızdı. Bu nedenle matematikçiler, kanıtın parçalarını tek tek inceledi. Yıllar süren çabanın sonunda, listenin eksiksiz olduğu kabul edildi.
1990’lı yıllarda bu sınıflandırma genel kabul gördü. Daha sonra, bu dev kanıtı sadeleştirmek ve anlaşılır hâle getirmek için yeni bir proje başlatıldı. Bu çalışma hâlâ devam ediyor.
5) Dört Renk Teoremi
Bu problem, ifade edilmesi kadar kanıtlanması da zor olan türden. Bir harita alın ve dört farklı renk belirleyin. Şöyle bir kural uygulayın: Komşu olan hiçbir bölge (ülke ya da eyalet) aynı renkte olmasın. Her harita bu kuralla renklendirilebilir mi?
Beş renkle her haritanın boyanabileceğini 19. yüzyılda matematikçiler kanıtladı. Ancak bunu dört renge indirmek çok daha zor oldu ve ancak 1976 yılında başarıldı.
Illinois Üniversitesi’nde görevli iki matematikçi, Kenneth Appel ve Wolfgang Haken, bu problemi çözmek için ilginç bir yöntem geliştirdi. Kanıtı, sonlu ama çok sayıda duruma indirgediler. Sonra bir bilgisayar yardımıyla yaklaşık 2000 farklı durumu tek tek kontrol ettiler ve tarihte eşi benzeri olmayan bir ispat tarzı ortaya koydular.
6) Süreklilik Hipotezinin Bağımsızlığı
19.yüzyılın sonlarında Alman matematikçi Georg Cantor, sonsuzluk kavramına yepyeni bir bakış getirdi. Sonsuzlukların da farklı “büyüklükleri” olduğunu keşfetti. Cantor, reel sayıların kümesinin, doğal sayılar kümesinden daha büyük olduğunu gösterdi. Bunu |ℝ|>|ℕ| şeklinde ifade ederiz. Doğal sayıların kümesi en küçük sonsuz küme büyüklüğüdür; hiçbir sonsuz küme ondan daha küçük değildir.
Peki reel sayılar bu dizide ikinci sırada mı yer alır? Yani, doğal sayılardan büyük ama başka hiçbir sonsuzluk büyüklüğünün arada olmadığı ikinci sonsuz büyüklük müdür? Bu soru, “Süreklilik Varsayımı” (Continuum Hypothesis – CH) olarak bilinir.
Süreklilik hipotezinin matematiğin temel aksiyomlarına göre bağımsız olduğu kanıtlanmıştır. Bu şu anlama gelir. Süreklilik hipotezinin doğru olması mümkündür. Bu durumda hiçbir mantıksal çelişki içermez. Süreklilik hipotezi aynı zamanda yanlış da olabilir. Ayrıca yine hiçbir mantıksal çelişki içermez. Bu durum size oldukça tuhaf gelmiş olmalıdır. Ancak matematikte pek de nadir görülen bir olay değildir.
Bu sonuca ulaşmak onlarca yıl sürdü ve iki önemli parçaya ayrıldı. Doğru olabileceğini ispatlayan bölüm ve yanlış olabileceğini ispatlayan bölüm.
İlk kısmı, ünlü mantıkçı Kurt Gödel 1938’de tamamladı. “Gödel’in Kurulabilir Evreni” adıyla bilinen bu yapı, temel aksiyomlarla çelişmediğini gösterdi. Bu çalışma bugün hâlâ küme teorisi derslerinin temelidir. İkinci kısmı ise 20 yıl sonra Paul Cohen tarafından çözüldü. Cohen, yanlış olabileceğini göstermek için “zorlamalı ispat” (forcing) adı verilen yepyeni bir yöntem geliştirdi. Bu teknik, model kuramında çığır açtı.
7) Gödel’in Eksiklik Teoremi
Kurt Gödel’in matematiksel mantık alanındaki çalışmaları gerçekten çığır açıcıydı. Üstelik yalnızca matematiksel ifadeleri ispatlamakla kalmadı; aynı zamanda bir şeyin ispatlanabilir olup olmadığını da araştırdı. Ancak onun en çok bilinen çalışması olan Eksiklik Teoremleri (Incompleteness Theorems), çoğu zaman yanlış anlaşılır. Bu yüzden şimdi onları sade ve net şekilde açıklama zamanı.
Gödel’in Birinci Eksiklik Teoremi şöyle der: Hangi matematiksel sistem olursa olsun, sistemin içinde doğruluğu ispatlanamayan ifadeler mutlaka vardır. Yani bazı ifadeler gerçekten doğrudur ama bunu sistem içinde kanıtlayamazsınız.
Eksiklik teoremini daha iyi anlamak için bir örnek üzerinden gidelim. Şu cümleyi düşünün: “Bu ifade ispatlanamaz.” Eğer bu cümle yanlışsa, o zaman ispatlanabilir demektir. Ama bu, içeriğiyle çelişir. Yani bu olamaz. Peki, cümle doğruysa?
O zaman gerçekten ispatlanamaz olmalı. Ama onu ispatlarsanız, yine içeriğiyle çelişmiş olursunuz. Bu durumda geriye sadece bir olasılık kalıyor: Cümle doğrudur ama ispatlanamaz. İşte Gödel’in ilk teoremi tam da bunu söyler.
Gödel’in ikinci eksiklik teoremi ise bir başka ilginç sonucu ortaya koyar: Hiçbir matematiksel sistem, kendi çelişkisizliğini sistem içinden kanıtlayamaz. Bir sistemin çelişkisiz olması demek, o sistemin hem “bir şey doğrudur” hem de “aynı şey yanlıştır” gibi çelişkili sonuçlar vermemesidir.
Bunu şöyle düşünebiliriz: Aslı ve Banu’nun elinde, her birine ait farklı matematiksel kurallar (aksiyomlar) olsun. Eğer Aslı, Banu’nun kurallarının çelişkisiz olduğunu ispatlayabiliyorsa, o zaman Banu, Aslı’nın kurallarının çelişkisiz olduğunu ispatlayamaz.
Bu yüzden matematikçiler, hangi aksiyomları temel alacaklarını seçerken bu sınırların farkında olmak zorunda. Üstelik bu tartışmalar, sanıldığından çok daha sık yaşanıyor.
8) Asal Sayı Teoremi
Asal Sayı Teoremi asal sayıların sayı doğrusu üzerindeki dağılımını açıklar. Daha net ifade etmek gerekirse, herhangi bir doğal sayı N verildiğinde, N’den küçük asal sayıların sayısı yaklaşık olarak N/log(N) formülüyle tahmin edilebilir.
Bu fikir, 19. yüzyılın ortalarına kadar uzanır. İki matematikçi, Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallée Poussin, 1898 yılında birbirinden bağımsız olarak bu teoremi kanıtladı.
Asal Sayı Teoremi bugün hâlâ büyük önem taşır. Modern bilgisayarlar, asal sayılarla çalışan birçok işlemde bu teoreme dayanır. Asallık testleri ve onlara bağlı tüm kriptografi sistemleri bu temele oturur.
9) Polinomların Radikallerle Çözülmesi
Lisede öğrendiğimiz ikinci dereceden denklemler için çözüm formülünü hatırlarsınız. Ezberlemesi zor olsa da kapalı bir formüle sahip olması oldukça kullanışlıdır. Benzer şekilde, üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler için de çözüm formülleri vardır. Ancak bu formüller hem çok daha karmaşık hem de kullanımı zordur. Ancak beşinci dereceden itibaren (ve daha yüksek dereceli) denklemler için böyle genel bir formül yoktur.
Bunu bize 1832’de henüz 20 yaşındayken ölen Fransız matematikçi Évariste Galois kanıtladı. Galois’nin fikirleri, ölümünden sonra yıllar içinde anlaşıldı ve bugün onun adıyla anılan Galois Teorisi’ne dönüştü.
Bu teori, bir polinomun “köklerle çözülebilir” olup olmadığını belirleyen kesin koşulları ortaya koyar. İkinci, üçüncü ve dördüncü dereceden polinomlar bu koşulları sağlar. Ancak beşinci dereceden itibaren bazı polinomlar bu koşulları karşılamaz.
Sonuç Olarak;
İncelediğimiz bu dokuz zor matematik problemi, bir zamanlar cevapsız kalan sorular arasındaydı. Bugün hâlâ çözüm bekleyen pek çok problem var. Ancak matematiğin en etkileyici yanlarından biri de budur: Her sorunun bir cevabı vardır — o cevaba ulaşmak yüzyıllar sürse bile.
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved. Yayınlanma tarihi: 28 Kasım 2022. Bağlantı : The 10 Hardest Math Problems That Were Ever Solved (popularmechanics.com)
Matematiksel
