Geometri

Kaostan Doğan Düzen: Pappus Teoremi

Geometrideki en nefis ilişkilerden biri, bir şeyin şeklinden bağımsız olarak ilişki doğru kaldığında oluşur. Sonuçta telefon­da bir arkadaşınıza geometri sorusu sorduğunuzu ve ne çizmesi gerektiğini anlattığınızı düşünelim. Bunun sonucunda doğal olarak telefon hattının diğer ucundaki kişinin talimatlara göre çizdiği şekil kişiden kişiye değişecektir. Ancak bir parçası kimi durumlarda her zaman aynı kalır. Buna geometri de değişmez denir. Böyle bir durum bize, Matematik Koleksiyonu (Synagoge) adlı kitabında İskenderiyeli Pappus (yaklaşık M.Ö 300-350) tarafından gösterilmiştir;

Bir çiftçi, her sırada üç ağaç olacak biçimde on düz sıra oluşturacak şekilde dokuz ağaç dikmek istesin. Bunu nasıl yapabilirdi? Bu amaca ulaşmanın ilginç bir yolu Pappus teoremi kullanmaktır. İskenderiyeli Pappus ( 290-350) antik çağın son büyük Yunan matematikçilerinden biridir. İskenderiye’de geometri dersle­ri vermiş, çok sayıda öğrenci yetiştirmiş­tir. Az önce bahsettiğimiz eseri, eski dönem matematikçilerinin çalışmalarının günümüze aktarıldığı en ünlü eserdir.

Bu eserin birinci cildi aritmetik konu­sunda kaleme alınmıştır. İkinci cildi sü­rekli çarpımlarla ilgili bir sistem geliştiril­mesini anlatmaktadır. Eserin üçüncü cildi düzlem ve uzay geometrisi problemleri­ne ayrılırken, dördüncü ciltte üç çembere teğet olacak şekilde çizilen dış çemberle ilgili teoremler yer almaktadır. Eserin beşinci cildi şekillerin alan ve hacimlerini konu alır. Altıncı cilt hakkında bilgi sahibi değiliz. Yedinci cilt eski matematikçilerin adlarını ve ça­lışmalarını içermektedir. Sekizinci cil­dinde ise mekanik konuları incelenmiştir.

Pappus yaşadığı dönemdeki mate­matiksel gerilemenin farkındaydı. Bu eserini de bu düşüşü durdurmak için ka­leme almış, ancak başarılı olamamıştı. Bu nedenle Pappus’un eseri Yunan-Ro­ma matematiğinin ulaştığı en yüksek noktadır.

Yazının başında aktardığımız sorunun çözümü. A, B, C noktaları bir çizgi boyunca herhangi bir yerde bulunuyorsa ve D, E, F noktaları da ikinci bir çizgi üzerinde herhangi bir yerde bulunuyorsa, Pappus teoremi X, Y, Z kesişimlerinin düz bir çizgi üzerinde olduğunu garanti eder.

Pappus Teoremi Nedir?

En başından beri geometri ölçüler yani uzunluklar, alan ve hacim hesaplamaları ile ilgiliydi. Ancak Pappus teoremi bu anlamda farklıydı. Bu teorem tüm ölçüm öğelerinden bağımsız olarak kurgulanan ilk teoremdi. Sinagog, 1588’de Latince çevirisinin yapılmasından sonra Avrupa’da yaygın olarak tanınmaya başlandı. Kitap devamında Isaac Newton ve Rene Descartes’ın ilgisini çekti. Pappus’un Sinagog’u yazmasından yaklaşık 1300 yıl sonra, Fransız matematikçi Blaise Pascal, Pappus teoreminin ilginç bir genellemesini sağladı.

Şekil 1; Herhangi iki doğru üzerinde karşılıklı olarak alınan 3er nokta A,B,C,D,E ve F olsun. Bu noktalar şekil 1 de gösterildiği gibi birleştirildiğinde; AE ile BD nin kesişiminden X, AF ile DC nin kesişiminden Y ve BF ve CE nin kesişiminden elde edilen Z noktaları her zaman aynı doğru üzerindedir.

İki nokta her zaman bir doğru üzerinde bulunur. Ama üç noktanın aynı doğru üzerinde bulunması geometride önemli bir şeydir. Keza iki doğrunun bir noktada kesişmesinde şaşılacak pek bir şey yoktur. Ama üç doğrunun aynı noktada kesişmesi kayda değer bir durumdur. Pappus Teoreminde de üç noktanın aynı doğru üzerinde denk gelmesini ispatlayarak bu estetik zevki derinlemesine hissedeceğiz. Ama öncesinde ispatta kullanacağımız Menelaus teoreminden bahsetmeliyiz.  Bu bize üç noktanın doğrusal olup olmadığını garanti eden bir teoremidir.

Menelaus Teoremi:

Pappus Teoreminin İspatı

Şekil 2 de, UVW üçgeninde birtakım Menelaus teoremleri uygulayacağız. UVW üçgeni ile sırasıyla EC, AF, DB, DF ve AC doğrularını göz önüne alarak Menelaus yapalım. Sonrada bulduğumuz sonuçların hepsini taraf tarafa çarpalım. Bu durumda ZV/ZW . YW/YU . XU/XV çarpımı 1 olacaktır. Bu da X, Y, Z noktalarının doğrudaş olduğunu gösterir.

Şekil 2

Pappus Teoremi gibi açılardan, uzunluklardan bağımsız bir şekilde noktaların bir doğru üzerinde olup olmaması gibi durumlarla ilgilenen  geometrinin bir kolu olan Projektif (izdüşümsel) geometri içerisinde bu teoremin ispatı çok daha kolaydır.


Kaynakça:

  • Davis, P.J., Hersh, R. (2015). Tüm Yönleriyle Matematiksel Deneyim  içinde (sayfa 188). (Çev: Soner Durmuş, Oben Eruçar). Nobel Yaşam
  •  Clifford A. Pickover; The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics; ISBN: 9781402788291

Matematiksel

Başa dön tuşu