GEOMETRİ

Kaostan Doğan Düzen: Pappus Teoremi

“Kaostan doğan düzen olarak adlandırılan fenomenden güçlü bir kişisel estetik haz duygusu meydana gelmektedir. Bir dereceye kadar matematiğin bütün amacı kaosun hüküm sürdüğü yerlerde düzen oluşturmak, düzensizlik ve kargaşanın ortasından düzen ve değişmezliği çekip çıkarmaktır.” *

Herhangi bir üçgenin her bir iç açısını üç eş parçaya ayıran ışınların üçgen içerisinde eşkenar üçgen oluşturması Morley Teoremi olarak bilinir.

Herhangi bir dörtgenin kenar orta noktalarının birleşiminden oluşan dörtgenin her zaman paralelkenar çıkması, herhangi bir üçgenin yardımcı elemanlarının (kenarortay, açıortay, yükseklik gibi) tek bir noktadan geçmesi ve konumuz olan Pappus teoremi, yazının başında bahsi geçen fenomenin en güzel örneklerinden bir kaçıdır.

Pappus Teoremi

Herhangi iki doğru üzerinde karşılıklı olarak alınan 3er nokta A,B,C,D,E ve F olsun. Bu noktalar şekil 1 de gösterildiği gibi birleştirildiğinde; AE ile BD nin kesişiminden X, AF ile DC nin kesişiminden Y ve BF ve CE nin kesişiminden elde edilen Z noktaları her zaman aynı doğru üzerindedir.

Şekil 1

İki nokta her zaman bir doğru üzerinde bulunur. Ama üç noktanın aynı doğru üzerinde bulunması geometride önemli bir şeydir. Keza iki doğrunun bir noktada kesişmesinde şaşılacak pek bir şey yoktur. Ama üç doğrunun aynı noktada kesişmesi kayda değer bir durumdur.

Pappus Teoreminde de üç noktanın aynı doğru üzerinde denk gelmesini ispatlayarak bu estetik zevki derinlemesine hissedeceğiz.

Ama öncesinde ispatta kullanacağımız ve lise geometri konuları arasında özellikle üçgenlerde benzerlik kapsamında öğrendiğimiz Menelaus teoreminden bahsetmeliyiz.  Bu bize üç noktanın doğrusal olup olmadığını garanti eden bir teoremidir.

Menelaus Teoremi:

Pappus Teoreminin İspatı

Şekil 2 de, UVW üçgeninde birtakım Menelaus teoremleri uygulayacağız. UVW üçgeni ile sırasıyla EC, AF, DB, DF ve AC doğrularını göz önüne alarak Menelaus yapalım:

Şekil 2

Pappus Teoremi gibi açılardan, uzunluklardan bağımsız bir şekilde noktaların bir doğru üzerinde olup olmaması gibi durumlarla ilgilenen  geometrinin bir kolu olan Projektif (izdüşümsel) Geometri içerisinde bu teoremin ispatı çok daha kolaydır. İleride belki buna da değiniriz.

Kaynakça:

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu