Feller Paradoksu ve Hızlı İlerleyen Kuyruğu Seçme Formülü

Alışverişe çıkmak başta heyecan verse de para ödemek için kasaya ilerlediğinizde süreç genelde bir kabusa dönüşür. Kendinize göre en kısa kuyruğu seçip beklemeye başladığınızda, az evvel hızla ilerleyen kuyruk sanki yavaşlamış gibidir. Bu sırada da yan taraftaki kuyruk daha hızlı ilerlemeye başlamıştır. Peki, zamandan tasarruf etmek adına doğru kuyruğu nasıl seçeceğiz.

Aslında matematikçiler buna bir çözüm üretmek için yıllardır çalışıyor. Sadece bu konuyla ilgilenen bir matematik dalı bile var. Buna kuyruk teorisi denir. Kuyruk teorisi, ortalama bekleme süresi ve kuyruk uzunluğu gibi kritik faktörleri hesaplamamızı sağlar.

Trafik akışı, havaalanı operasyonları, telekomünikasyon, hastane acil servislerinin organizasyonu ve diğer birçok alanda uygulamalara sahiptir. Kuyruk teorisi, daha çok endüstri, mühendislik ve ulaşımda yaygın olarak uygulama yeri bulur.

Kuyruk Teorisi İle Nasıl Tanıştık?

Kuyrukların ilk matematiksel çalışması 1909’da Kopenhag Telefon Şirketi’nden Agnar Krarup Erlang tarafından yapıldı. Amaç, tatmin edici bir hizmet sunmak için, kaç telefon hattına ve kaç operatöre ihtiyaç olduğunu belirlemekti. Bunun sonucunda, ortalama bekleme süresini hesaplamak için bugün hala kullanılan bir denklem türetti.

Kuyruk teorisi matematiğin kapsamlı bir çalışma alanıdır. Kaynak: https://amsilverny.medium.com

Kendisi daha sonra, büyük ölçüde olasılık dağılımlarına dayanan teorisini destekleyen bir makale de yayınlamıştır. Bir kuyruk Markov zincir teorisi tarafından yönetilen bir dizi durum denklemi tarafından belirlenmektedir. Rastgele, düzenli veya aralıklı müşterilerin gelişi, genellikle Poisson dağılımı ile istatistiksel olarak modellenir. 

Denklemler genellikle zorludur. Bekleme süresi, kuyruk uzunluğu, hizmet süresi gibi durumları belirlemek için bilgisayar simülasyonları kullanılmaktadır. Peki tüm bunlar sadece bir diş fırçası almak için gittiğimiz ve bir kuyruğa takılıp kaldığımız market alışverişimizde işimize yarar mı?

1961’de bir MIT profesörü olan John Little, konu ile ilgili bir yasa tasarladı. Buna göre bir sıradaki ortalama insan sayısı, ortalama varış oranlarının, kuyruk sisteminde kaldıkları ortalama süre ile çarpımına eşittir.

Bir Kuyruk Oluşumu Nelere Bağlıdır?

Her servis noktası için bir tane olmak üzere bir kuyruk sistemi

Bir kuyrukta bekleme, sizden önce hizmet verilen kişilere, çalışan sunucuların veya sayaçların sayısına ve her bir müşteriye hizmet vermek için gereken süreye bağlıdır. Örneğin, süpermarkette kısa kuyruk iki tane çok dolu arabaya sahipse ve uzun kuyrukta nispeten boş olan dört araba varsa, birçok kişi uzun kuyruğa katılmanın avantajlı olduğunu düşünür.

Ancak aslında kasiyerlerin eşit hızda çalıştığı düşünülürse burada belirleyici olan müşteri sayısı değil sıradaki toplam öge sayısıdır. Bu da bize hizmet süresi dağılımı kavramını tanıtır. Bu kavram ortalama hizmet süresi ve ortalama değerden standart sapma hakkında bilgi içerir. Ve farklı müşterilerin ne kadar süreye ihtiyaç duyduklarına bağlı olarak servis süresinin nasıl dalgalandığını gösterir.

Ne yazık ki, bir mağazaya girdiğinizde ilgili değişkenlerin tam olarak ne olduğunu bilmeniz mümkün olmaz. Bu noktada da işin içine psikolojik faktörler karışır. Bir kuyruğa girdiğinizde doğru seçimi yapıp yapmadığınızı bilmek isteyeceksiniz. Mesela sizin kasanızdaki kasiyer en hızlısı mı? Sıradaki ilk kişinin hizmet alması için gereken süreyi ölçmeye çalışırsanız, muhtemelen yanlış sırayı seçtiğiniz duygusuna kapılırsınız. Buna, Feller paradoksu denir.

Feller Paradoksu Nasıl Çalışır?

en hızlı kuyruk
Sıraya girdiğinizde, mevcut sıra durmuş ancak yandaki sıra da hızlanmış gibi gelir. Bu durum Feller paradoksu olarak bilinir.

Feller paradoksu şöyle işliyor. Bir bankanın iki hizmet sunduğunu varsayalım. Birinci hizmet eşit olasılıkla ya 0 ya da 5 dakika sürsün. Diğer hizmet ise yine eşit olasılıkla, 10 ya da 20 dakika sürsün. Bir müşterinin her iki hizmeti de seçmesi eşit derecede olasıdır.

Bu nedenle bankanın ortalama hizmet süresi 8.75 dakikadır. Bir işlem sırasında siz de sıraya girerseniz 0 dakika ihtimali geçerli olamayacağına göre sizden önceki müşteri 5, 10 ya da 20 dakikalık servisi kullanıyor olmalıdır.

Bu da ilk ortalama olan 8.75 dakikadan daha fazla bekleme süresi demektir. Aslında, aynı durumla karşılaştığınız üç seferden ikisinde, önünüzdeki müşteri 10 ya da 20 dakika hizmet almaktadır. İşte bu nedenle girdiğiniz sıra hiç bitmeyecek gibi gözükmektedir.

En Hızlı Kuyruğu Seçmek İçin Bazı Öneriler

Uzmanlar çok fazla sayıda ürün almış müşterilerin işlemlerini yapmanın kasiyerlerin daha hünerli ve hızlı olmasını sağladığını düşünüyor. Alışveriş sepeti hınca hınç dolu bir müşteri gördüklerinde, ondan bir an önce kurtulma arzularının motivasyonlarını ve buna bağlı olarak da hüner ve hızlarını artırdığını söylüyor.

Araştırmalar, çoğu insanın sağ elini kullandığını ve bir kuyruğa girmek zorunda kaldığımızda bu nedenle sağa dönme eğiliminde olduğumuzu gösteriyor. Yani, çok sayıda insan sağa doğru toplanma eğilimindedir. Bu nedenle daha kısa bir kuyruk bulmak için sola dönmeniz öneriliyor.

Bir kuyruğun ilerlemesi yalnızca önünüzdeki insan sayısına bağlı değildir. Aynı zamanda onların yaşlarına ve ne satın aldıklarına da bağlıdır. Aynı marka cipsin iki paketinin geçmesi, tamamen farklı iki öğeden çok daha hızlı biçimde gerçekleşecektir.

Ayrıca kuyrukta beklerken kasiyeri göremiyorsak (kasiyeri görmemizi engelleyen bir kolon, raf vb. varsa) bekleme süresini olduğundan daha uzun olarak algılıyoruz. Kasiyerin işini yaptığına tanık olmak bize kuyruk daha hızlı ilerliyor gibi hissettiriyor.


Bunlara da göz atabilirsiniz:


Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • There’s a mathematical formula for choosing the fastest queue. Yayınlanma tarihi: 7 Mayıs 2017; Bağlantı:  http://theconversation.com/
  • Humans Are Not Machines: The Behavioral Impact of Queueing Design on Service Time. Yayınlanma tarihi: 10 Şubat 2017; Bağlantı. https://pubsonline.informs.org

Dip Not

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu