Matematik Ne İşe Yarar?

Bekleme Süresi Paradoksu: Otobüsler Neden Hep Geç Kalır?

Diyelim ki okula ya da işe gidiyorsunuz ve bunun için otobüsü tercih ediyorsunuz. Durağa vardınız. Ancak otobüs gelmeden önce ne kadar beklemeniz gerekiyor? Şaşırtıcı bir şekilde, cevap bir otobüs tarifesine bakarak tahmin edebileceğinizden çok daha uzun. Bu yazıda gelin bunun cevabını, bekleme süresi paradoksu olarak adlandırılan bir fenomeni birlikte keşfedelim.

Bir otobüs durağına vardığınıza zaman, aşağıda görmüş olduğunuz otobüs bekleme çizelgesine bakarak, beklemeniz gereken zamanın ortalama 6 dakika olması gerektiğini tahmin edebilirsiniz. Ancak bu zaman elbette sizin durağa varışınıza göre değişecektir.

Otobüs durağına geldiğiniz zaman çizelgede bir saat içinde 10 otobüs olduğu yazdığını kabul edelim. Bu, ortalama her 6 dakikada bir otobüs anlamına gelir. 9:00’dan sonraki ilk üç otobüsün 9:01, 9:06 ve 9:09’da varması planlanıyor.

Bu nedenle 1 dakika da bekleyebilirsiniz, 5 dakika da. Aslında, bekleme süreniz için akıllıca bir tahmin 3 dakikadır. Bu da otobüsler arasındaki ortalama sürenin yarısıdır. Ancak ne yazık ki, muhtemelen 3 dakikadan daha fazla beklemek zorunda kalacaksınız. Hatta 6 dakikadan bile fazla beklemeniz gerekebilir. İşte bu duruma bekleme zamanı paradoksu denir. ( Waiting time paradox – bus paradox). Aslında bu paradoks matematiksel bir olgudur ve temelinde otobüsler ile bir ilgisi yoktur.

Bekleme Süresi Paradoksu Neden Gerçekleşir?

Bu paradoksun neden oluştuğunu anlamak için aşağıdaki çizelgeye göz atalım. Gördüğünüz gibi otobüsler, 4 dakikalık veya 12 dakikalık aralıklarla geliyor. Bu durumda 1 saat içinde 6 tane otobüsün 4 dakikada 1 ve 3 tane otobüsün 12 dakikada bir geldiğini çizelgeden görebilirsiniz. ( A – Kırmızı ve mavi)

Çarktaki her dakika, 4 dakikalık olaylar arası süreye karşılık gelen mavi ve 12 dakikalık bir süreye karşılık gelen kırmızı ile renklendirilir.

Şimdi işin içine olasılık hesaplarını ekleyelim. Rastgele bir zamanda otobüs durağına vardınız. Eğer 4 dakika aralıklı otobüs çizelgesine denk geldiyseniz fazla beklemeniz gerekmeyecektir. Yukarıda gördüğünüz gibi aslında 4 dakikalık bir aralığa denk gelmeniz ( yaklaşık yüzde 67), 12 dakikalık bir aralığa denk gelmenizden ( yaklaşık yüzde 33) daha fazla ihtimale sahiptir.

Ancak ne yazık ki, bu bir temennidir. Bir otobüse binmek için beklememiz gereken sürenin tahmini çarkın her bir 0’dan 59’a kadar sayılar olan bir çarkı döndürmeye ve rastgele bir noktada durdurup gelen sayıyı söylemeye benzer. ( Yukarıda C bölümüne bakınız). Parmağınız 33’ü gösteriyorsa otobüs durağına 10:33’te varıyorsunuz demektir. Bu durumda 10:36’da gelen bir sonraki otobüs için 3 dakika beklemeniz gerekiyor.

Çarkta 24 mavi dakika ve 36 kırmızı dakika olduğunu görüyoruz. Bu durumda 12 dakikalık bekleme süresine denk gelme ihtimalimiz ( yüzde 60) daha yüksektir. Bu cevap sizi şaşırtabilir. Ancak çarkımızdaki dilim sayısına baktığımız zaman kırmızı dilimlerin, mavi dilimlerden daha fazla olması yüzünden kımızı seçme ihtimalimiz daha fazladır. Sonuç olarak, bir otobüs tarifesindeki olaylar arası zamanın nadir olması, olaylar arası zamanla karşılaşmanın nadir olduğu anlamına gelmez.

Tüm olaylar arası sürelerin 6 dakika uzunluğunda olduğunu, yani otobüslerin tam olarak her 6 dakikada bir geldiğini varsayalım. Bu durumda, artık bir bekleme süresi paradoksu yoktur. Bekleme süresi paradoksunun gerçekleşmesi için, 4 dakika ve 12 dakika gibi en az iki olay arası sürenin bir karışımına ihtiyacımız var.

Bekleme Süresi Paradoksu Başka Nerede Karşımıza Çıkar?

Aslında size yazının başında konunun otobüsler ile ilgisi olmadığını söylemiştik. Olaylar arası zamanlar yani olayların hangi sıklıkla gerçekleştiği birçok durumda önemlidir. Bu konu ile ilgili bir başka ünlü örnek ise arkadaşlık paradoksudur. Arkadaşlık paradoksuna göre, arkadaşlarınız sizden daha fazla arkadaşa sahip olma eğilimindedir. Örneğin bir sınıftaki öğrencilerden biri olduğunuzu ele alalım. Örneğin sınıfınızda, Ayşe’nin sadece bir arkadaşı varsa, sizin o kişi olma olmanız pek olası değildir; başka biri olma olasılığı daha yüksektir. Buna karşılık, Banu sınıftaki öğrencilerin yarısı ile arkadaşsa, o zaman Banu’nun arkadaşlarından biri olma ihtimaliniz daha fazladır.

Her birinin dört arkadaşı olan altı öğrenci ve her birinin 12 arkadaşı olan üç öğrenci olduğunu varsayalım. Bu 9 öğrenciden sadece biriyle arkadaşsanız, arkadaşınızın 12 arkadaşı olan bir kişi olması muhtemeldir. Aslında bu rakamlar yukarıdaki otobüs örneğimiz ile gösterdiğimiz ile aynı sayılar. Görmüş olduğunuz gibi bekleme süresi paradoksu ile arkadaşlık paradoksu aslında aynı matematiksel altyapıya sahiptir. Matematik görünüşte farklı fikirleri birleştirmenin ve yakından ilişkili olduklarını görmenin bir yolunu sağlar. Bu da güzel bir örnektir. Hazır konu otobüslerden açılmışken bu paradoks ile ilgisi olmasa da ilginizi çekecek küçük bir araştırmadan bahsedelim.

Otobüs Durağında Bekleme Formülü

Durağa vardınız, ama az evvelki süreçte aktardığımız gibi şansınız yaver gitmedi ve otobüs gelmiyor. Gideceğimiz yol da çok uzak değil. Bu durumda acaba otobüsü beklemeye devam mı etmeliyiz, yoksa yürümeye mi başlamalıyız?

İyisi mi siz siz olun gelecek sefer otobüsünüzü bekleyin. Matematikçilere göre hemen her zaman en iyi strateji bu! Harvard Üniversitesi’nde matematik, ekonomi ve etnometikoloji üzerine çalışan Scott Kominers, durakta beklemekte sıkılan ve bu konuya kafa yormaya başlayan matematikçilerden. Kendisi ve arkadaşları sonunda işin içine oyun teorisini sokarak bir otobüsü ne kadar beklemeniz gerektiğini gösteren bir formül bulmuş. Çalışmayı incelemek isterseniz: https://arxiv.org/abs/0801.0297. Ancak otobüs seferleri arasındaki sürenin bir saati aşması ve gideceğiniz yerin 1 kilometreden kısa olması gibi durumlarda bu teori işe yaramıyor. Bu arada eğer tercihiniz yürümek ise bunu durakta beklemeye başlamadan vermeniz de size zaman kazandırıyor.

Matematiğin hiç tahmin etmediğiniz sorulara cevaplar verebilmesi gerçekten bizce etkileyici…


Göz atmak isterseniz

Kaynaklar ve İleri Okumalar:

  • Masuda N and Porter M (2021) The Waiting-Time Paradox. Front. Young Minds. 9:582433. doi: 10.3389/frym.2020.582433; yayınlanma tarihi: 26 Şubat 2021; Bağlantı: https://kids.frontiersin.org/
  • Math explains why your bus route seems so unreliable; yayınlanma tarihi: 29 Temmuz 2018; Bağlantı: https://theconversation.com/

Matematiksel

Başa dön tuşu