Yedi nokta ve yedi doğrudan oluşan Fano düzlemi, sezgilerimizi zorlayan ama bir o kadar da öğretici olan yapılardan biridir.
David Hilbert, 19. ve 20. yüzyılın en etkili matematikçilerinden biriydi ve matematiği, özellikle de geometriyi, sağlam ve titiz bir temele oturtmak için büyük çaba harcamıştı. Hilbert’in uğraştığı temel sorunlardan biri, matematik tarihinin belki de en can sıkıcı maddelerinden biriydi: Öklid’in paralellik aksiyomu.
Bir doğru alırsanız ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçerseniz, o noktadan geçen ve başlangıçtaki doğruya paralel olan tam olarak bir doğru vardır. Geometrinin geri kalanı yüzyıllar boyunca bu varsayımın üzerine kurulmuştu.
Sorun şuydu: Kimse bu ifadeyi diğer aksiyomlardan türeterek kanıtlayamıyordu. Bu yüzden “aksiyom” olarak kabul edilmek zorunda kalmıştı. İki bin yıla yakın bir süre boyunca matematikçiler bu maddenin gerçekten zorunlu olup olmadığını anlamaya çalıştı.
19. yüzyılda fark edilen şey, oyunun kurallarını tamamen değiştirdi. Paralellik aksiyomunun geçerli olmadığı geometriler de vardır. Bugün bunlara Öklid dışı geometriler diyoruz. Bu geometrilerde, paralellik aksiyomu çökerken, geri kalan matematik hâlâ tutarlı kalıyordu. Yani sorun geometrinin kendisinde değil, hangi yüzey üzerinde çalıştığımızdaydı.
Geometride bazı ayrımlar, doğanın zorunlu bir gerçeği değil, seçilmiş tanımların sonucudur. Projektif geometri de, tanımları değiştirerek daha simetrik ve daha bütünlüklü bir yapı elde etmeyi amaçlar.
Projektif geometri, doğruların hiçbir zaman “paralel” kalmadığı bir geometri anlayışıdır. Bu yaklaşımda her iki doğru mutlaka bir noktada kesişir. Gündelik Öklid geometrisinde paralel doğruların kesişmemesi bir kuraldır; projektif geometri ise bu kuralı bilinçli olarak kaldırır.
Projektif geometri, Öklid geometrisini yok saymaz; onu daha geniş bir çerçeveye yerleştirir. Öklid geometrisi, projektif geometrinin özel bir durumu gibidir. “Düzlemde paralellik geçerlidir, ama projektif düzlemde bu ayrıcalık kaldırılmıştır.
Fano Düzlemi Nedir?
Projektif düzlemin geometrisi iki temel aksiyoma dayanır. Buna göre, her iki nokta tam olarak bir ortak doğruyu belirler. Aynı şekilde, her iki doğru da tam olarak bir ortak noktada kesişir. Bu iki kural, yapıyı hem sade hem de tutarlı kılar.
Matematikçiler bu aksiyomları sağlayan bir geometriyi tanımladıktan sonra, başka örneklerin olup olmadığını merak etti. Gerçekten de bu koşulları sağlayan pek çok projektif düzlem vardır; bazıları oldukça büyük, bazıları ise çok küçüktür.
Bunların en küçüğü Fano düzlemidir. Adını, 19. yüzyılın sonlarında sonlu geometriler fikrini ciddiyetle ele alan ilk matematikçilerden biri olan Gino Fano’dan alan Fano düzlemi, projektif geometri aksiyomlarının mümkün olan en küçük ölçekte nasıl gerçekleştiğini açık biçimde gösterir. Az sayıda nokta ve doğruyla kurulan bu yapı, konunun özünü sade bir biçimde ortaya koyar.
Fano düzlemi, sezgilerimizi zorlayan bir yapıdır. Çizimine ilk baktığınızda, üzerinde sonsuz sayıda nokta varmış gibi düşünmeniz çok doğaldır. Sonuçta yedi doğru görürüz ve en kısa doğru parçası bile sonsuz sayıda noktadan oluşur. Ama burada durmamız gerekir.
Bu yapıda yalnızca yedi nokta vardır ve başka nokta yoktur. Doğrular, bildiğimiz anlamda noktaların birleşiminden oluşmaz. Şekil yalnızca yedi nokta içerir. Her bir doğru yalnızca üç noktadan oluşur. Toplamda yedi doğru vardır: Altısı düz doğruya benzer, biri ise çember gibi çizilir. Görünüşü ne kadar alışılmadık olursa olsun, bu yapı projektif düzlemin temel iki aksiyomunu eksiksiz biçimde sağlar.
Matematikte kuralları biz koyarız. Gino Fano’nun yaklaşımı da budur. Doğası ne olursa olsun birtakım nesneleri alırız ve onlara “nokta” deriz. Bu adlandırma, nesnelerin fiziksel ya da görsel özelliklerinden bağımsızdır.
Aynı şey doğrular için de geçerlidir. Bir doğru düz bir çizgiye benzeyebilir, bir çember gibi görünebilir ya da bambaşka bir şekle sahip olabilir. Önemli olan görünüşü değil, kurallara uyup uymadığıdır. Eğer bu nesneler, noktalar ve doğrular için belirlenen kurallara uyuyorsa, onları geometri olarak kabul ederiz.
Fano Düzlemi Ne İşe Yarar?
Bu yaklaşım, ilk bakışta matematiği gerçeklikten uzaklaştırıyor gibi görünebilir. Ancak tam tersine, bu sayede Öklid geometrisine hiç benzemeyen uzayları anlayabiliyoruz. Görelilikteki uzay-zaman geometrisi ve bugün internet ağlarını modellemek için kullanılan yapılar bu düşünce biçimi sayesinde ortaya çıktı.
Matematikte önemli olan şey, fikirlerin nereden geldiği değil, doğru tanımlanıp tutarlı biçimde çalışıp çalışmadığıdır. Fano düzlemi bunu en sade hâliyle gösterir.
Şekilde yine Fano düzlemini görüyorsunuz; bu kez yedi nokta 1’den 7’ye kadar numaralandırılmış. Şimdi bu şekli “geometrik” bir nesne gibi değil, bir düzenleme aracı gibi düşünelim. Fano düzleminde yedi doğru vardır ve her doğru tam olarak üç noktadan geçer. Bu yüzden her doğruyu, üzerindeki üç sayıyı yan yana yazarak kaydedebiliriz. Bunu yaptığımızda şu yedi üçlü ortaya çıkar:
- 124
- 135
- 167
- 257
- 347
- 236
- 456
Yedi sayı arasından üç sayının çekildiği bir piyangoda, toplam 35 farklı üçlü vardır. Bu yüzden büyük ikramiyeyi tutturma olasılığı 35’te birdir. Ancak Fano düzlemi sayesinde, en az iki sayıyı tutturma ihtimalini belirgin biçimde artırmak mümkündür.
Temel fikir şudur: Birden fazla bilet alırsınız, ama aynı sayı çiftini iki farklı bilete yazmaktan özellikle kaçınırsınız. Örneğin hem 123 hem de 234 numaralı biletleri almak iyi bir strateji değildir. Çünkü bu durumda 2–3 çifti iki kez yer alır. Bu, aynı çifti gereksiz yere tekrar etmek anlamına gelir ve başka bir sayı çiftini kapsama şansınızı boşa harcar.
Fano düzleminden gelen bu yedi biletle oynarsanız, çekilişte hangi üç sayı gelirse gelsin, bu biletlerden en az biri mutlaka iki sayıyı tutturur. Çünkü çekilen üç sayıdan oluşan her olası sayı çifti, listede bir yerde zaten vardır. Fano düzleminin yapısı, bu kombinasyonları zorunlu olarak üretir.
Noktaları farklı şekilde numaralandırsanız, ortaya çıkan bilet listesi değişir; ancak bu temel özellik değişmez. Yapı, Fano düzleminin simetrisinden kaynaklanır.
Sonuç Olarak
Elbette yalnızca üç sayı çeken piyangolar çok yaygın değildir. Ancak yeterli dikkat ve bilgisayar desteğiyle bu fikir daha büyük sistemlere uyarlanabilir. Bu örnek, soyut görünen bir geometrik yapının, doğru bağlamda son derece somut bir probleme nasıl doğrudan çözüm üretebildiğini gösterir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
A Few of My Favorite Spaces: The Fano Plane. Yayınlanma tarihi: 24 Ekim 2015. Kaynak site: Scientific American. Bağlantı: A Few of My Favorite Spaces: The Fano Plane
Matematiksel
