Kardiyoit Nedir? Bir Tekerlek Nasıl Kalp Eğrisi Çizer?

Tekerlek, insanlık tarihinin en önemli buluşlarından biri. Ancak matematik açısından onu ilginç yapan yalnızca ulaşımı değiştirmesi değildir. Bir tekerlek yuvarlanırken çevresindeki tek bir noktanın izlediği yol bile şaşırtıcı eğriler ortaya çıkarır.

Bu fikir yalnızca düz bir zeminde yuvarlanan tekerleklerle sınırlı değildir. Bir çemberi başka bir çemberin içinde ya da dışında yuvarlattığımızda, hareket eden çember üzerindeki bir nokta farklı biçimlerde eğriler çizer. Bazen üç ya da dört sivri uçlu şekiller, bazen de kalbi andıran düzgün bir eğri ortaya çıkar.

Bu eğrilerin biçimini belirleyen temel unsur çemberlerin büyüklükleri arasındaki orandır. Oran değiştikçe ortaya çıkan şekil de değişir. Böylece son derece basit görünen bir yuvarlanma hareketi, deltoid, astroid ve kardiyoit gibi birbirinden farklı geometrik eğriler üretir.

Hiposikloidler Nedir?

Bir çember üzerinde yuvarlanan tekerleğin çevresindeki bir nokta, sikloid adı verilen eğriyi çizer. Tekerlek başka bir çemberin iç tarafında yuvarlanırsa hiposikloidler, dış tarafında yuvarlanırsa episikloidler ortaya çıkar. Çemberlerin büyüklükleri arasındaki oran değiştikçe elde ettiğimiz eğrinin biçimi de değişir.

Bu noktada büyük çemberin yarıçapını R, küçük çemberin yarıçapını r ile gösterelim. R/r oranı, ortaya çıkacak şeklin temel özelliklerini belirler. Eğer bu oran irrasyonel bir sayıysa, yuvarlanan çember üzerindeki bir nokta sabit çember üzerindeki başlangıç noktasına bir daha dönmez. Çember hareket etmeye devam ettikçe eğri de kendini kapatmadan yeni kıvrımlar oluşturmaya devam eder.

R/r oranı rasyonel olduğunda durum değişir. Yuvarlanan çember üzerindeki nokta, belirli sayıda turdan sonra başlangıç noktasına geri gelir ve eğri kapanır. Oran tam sayı olduğunda ise bu dönüş tam bir tur sonunda gerçekleşir.

R/r = 3 olduğunda üç sivri uçlu deltoid ortaya çıkar. Aynı eğriyi R/r = 3/2 oranında da elde ederiz. R/r = 4 ya da 4/3 olduğunda ise dört sivri uçlu astroid oluşur. Genel olarak R/r oranı n ya da n/(n−1) olduğunda yuvarlanan çember n sivri uçlu bir hiposikloid çizer.

R/r = 2 olduğunda beklenmedik bir durum ortaya çıkar. Küçük çember büyük çemberin içinde yuvarlanırken, küçük çember üzerindeki bir nokta eğri çizmek yerine büyük çemberin çapı boyunca ileri geri hareket eder. Yani hiposikloid bu özel durumda düz bir doğru parçasına dönüşür.

İşin ilginç yanı bununla bitmez. Küçük çemberin bir çapını seçip hareket boyunca izlediğimizde, bu çapın taradığı bölgenin dış sınırında bir astroid oluşur.

Kardiyoit Nedir?

Çemberlerden biri diğerinin dış çevresinde yuvarlandığında ise episikloidler ortaya çıkar. Bunun en basit ve en dikkat çekici örneklerinden biri, iki çemberin yarıçaplarının eşit olduğu durumdur. Yuvarlanan çemberin çevresindeki bir nokta bu kez kalbi andıran bir eğri çizer. Matematikte bu eğriye kardiyoit adı verilir.

Kardiyoit yalnızca görünüşüyle ilginç değildir. Sivri ucundan geçen bütün kirişlerin uzunluğu aynıdır. Ayrıca bu eğriyi yalnızca iki eşit çemberle elde etmek zorunda değiliz. Daha büyük bir çember, çapı kendisinin yarısı kadar olan sabit bir çemberin çevresinde yuvarlandığında da çevresindeki bir nokta yine kardiyoit çizer.

Kardiyoit Nerede Karşımıza Çıkar?

1959 yılında The American Mathematical Monthly dergisinde yayımlanan bir problem, kardiyoitin beklenmedik bir biçimde karşımıza çıkabileceğini gösteriyordu. Problemde, belinin kesiti kusursuz bir çember olan bir kızın çevresinde yuvarlanan bir hulahop düşünülüyordu. Hulahopun çapı, kızın bel çapının iki katıydı.

Şimdi hulahop üzerinde, başlangıçta kızın göbeğine değen tek bir noktayı işaretleyelim. Hulahop belin çevresinde yuvarlandıkça bu nokta da hareket eder. Soru basittir. İşaretlediğimiz nokta yeniden göbeğe ulaştığında ne kadar yol katetmiştir?

İlk bakışta bunun yalnızca bir çemberin başka bir çember çevresinde yuvarlanmasıyla ilgili olduğu düşünülebilir. Ancak işaretli noktanın izlediği yol düz bir çember değildir. Nokta, hareket boyunca bir kardiyoit çizer. Böylece hulahopla ilgili görünen problem bir anda kardiyoitin çevre uzunluğunu bulma problemine dönüşür.

Sonuç da en az problem kadar dikkat çekicidir. İşaretli noktanın katettiği toplam yol, hulahopun çapının dört katına eşittir. Hulahop kızın belinin iki katı çapta olduğuna göre bu uzunluk, bel çapının sekiz katıdır.

Sonuç Olarak

Kardiyoit adını kalbe benzeyen biçiminden alır. Ancak matematikte kalp şeklini yalnızca tek bir eğri oluşturmaz. Farklı denklemler ve parametrik tanımlar kullanarak birbirinden oldukça farklı kalp eğrileri elde edebiliriz.

Yukarıdaki örneklerde de görüldüğü gibi bazı eğriler daha yuvarlak, bazıları daha sivri, bazıları ise gerçek bir kalp sembolüne çok daha yakın görünür. Bu şekillerin yalnızca görünüşleri değil, matematiksel özellikleri de birbirinden farklıdır.

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel