Kardiyoit veya kalp eğrisi, sabit bir çember üzerinde yuvarlanmakta olan aynı yarıçaplı ikinci bir çember üzerindeki herhangi bir noktanın izlediği eğridir. İsmi Yunanca kardia (kalp) ve eidos (şekil) kelimelerinin birleşiminden oluşur. Kalp (♥) şeklini anımsattığı için bu ismi almıştır.
Matematikte kardiyoit terimini ilk kullanan kişi, 18. yüzyıl İtalyan matematikçisi Johann Castillon olmuştur. Kardiyoit, bir çemberin bir diğer çember etrafında kaymadan yuvarlanması sonucu oluşan özel bir eğridir. Daha spesifik olarak, yarıçapı r olan sabit bir çemberin çevresinde, aynı yarıçapa sahip bir başka çember kaymadan yuvarlandığında, bu hareket sırasında çemberin bir noktası tarafından izlenen yol bir kardiyoit oluşturur.
Kardiyoit Nasıl Çizilir?
Kardiyoit iki temel şekilde ifade edilebilir: polar koordinatlar ve kartezyen koordinatlar. Kardiyoitin polar formu, eğrinin yönüne bağlıdır. Burada “a”, yuvarlanan çemberin yarıçapını ve θ polar açıyı ifade eder.
- Yatay kardiyoit: r=a(1±cosθ)
- Dikey kardiyoit: r=a(1±sinθ)
Kardiyoit genellikle polar koordinat sistemi kullanılarak çizilir, ancak kartezyen sistemde de temsil edilebilir. Kardiyoitin kartezyen denklemi ise şu şekilde ifade edilir: (x2+y2+ax)2=a2(x2+y2)
Kardiyoitin kapladığı alan, şu formülle hesaplanır: Alan=6πa2 . Bu formüle göre, kardiyoitin alanı, yuvarlanan çemberin alanının altı katıdır. Kardiyoitin oluşturduğu toplam yay uzunluğu ise 16a kadardır.
Kalp şeklindeki eğriler, yalnızca matematikte değil, aynı zamanda kartografi gibi uygulamalı alanlarda da karşımıza çıkar. Örneğin, Werner Projeksiyonu gibi haritalama yöntemlerinde kalp şeklindeki eğriler kullanılarak dünya yüzeyinin iki boyutlu bir düzlemde temsil edilmesi sağlanır. Bu projeksiyon, dünya haritasını belirli bir estetik ve simetri ile sunar.
Kalp Eğrileri Örnekleri
Mathematica, bilim, mühendislik ve matematik alanlarında 30 yıldan fazla süredir yaygın olarak kullanılan güçlü bir hesaplama yazılımıdır. Hem sayısal hem de sembolik hesaplamaları kolayca gerçekleştirme kabiliyeti sayesinde, cebirsel işlemleri, diferansiyel denklemleri ve integral hesaplamalarını büyük ölçüde basitleştirir. Bunun yanı sıra, karmaşık verilerin görselleştirilmesi için çeşitli grafikler oluşturmayı da kolaylaştırır.
Mathematica, bünyesinde Wolfram Alpha adında bir sistem barındırır. Wolfram Alpha, kullanıcıların matematiksel ifadeleri ve grafiksel çıktıları kolayca sorgulamalarına ve analiz etmelerine olanak tanıyan bir bilgi işlem motorudur. Bu özellik, özellikle matematik ve bilimle ilgili problemlerin çözümünde kullanıcılara büyük avantaj sağlar.
Örneğin, Wolfram Alpha’da “kalp eğrileri” (heart curves) araması yapıldığında, aşağıdaki gibi bazı görsel grafiklerle karşılaşabilirsiniz. Bu grafikler, hem matematiğin estetik yönünü hem de Mathematica’nın güçlü görselleştirme kabiliyetlerini gösterir.
Kalp eğrileri arasından denklemi (x2 + y2 – 1) 3 – x2y3 = 0 biçiminde olan bir tanesini ele alalım. Bu denklem, bir kalp şekli oluşturur. Ancak bu denklemin sağ tarafındaki değeri sıfırdan bir α parametresine değiştirdiğimizde, farklı eğriler elde edebiliriz.
Yeni denklemimiz (x2 + y2 – 1) 3 – x2y3 = α biçiminde olsun. α pozitif arttığında, grafik, kalp biçiminden uzaklaşır ve şekil giderek daha yuvarlak, yani bir daireye benzeyen bir görünüme kavuşur. Bu, eğrinin düzleşerek daha simetrik bir hale geldiğini gösterir.
α negatif arttığında, eğri daha karmaşık ve ilginç şekillere dönüşmeye başlar. Negatif değerlerin büyüklüğüne bağlı olarak, grafik üzerinde beklenmedik kıvrımlar ve yeni yapılar ortaya çıkar.
Sonuç Olarak
α ≈ -0.1 değerine geldiğinde, eğri sağda ve solda üstte belirgin loblar geliştirir. Bu loblar, bir çizgi film karakterinin kulaklarını andırır. Sonunda da ortaya Ayı Yogi Eğrisi gibi eğlenceli bir form çıkar. Eğri, bir karikatür figürünün başına veya Mickey Fare gibi bir figüre benzeyebilecek bir yapıya dönüşebilir. α < -1.0 olduğunda ise, eğri üzerinde artık gerçek noktalar bulunmaz. Bu durumda grafik tamamen boş olur.
Bu tür cebirsel eğrilerle oynamak, sadece matematiksel bir analiz değil, aynı zamanda yaratıcı bir süreçtir. Denklemdeki parametreleri değiştirerek Ayı Yogi, Mickey Fare veya diğer favori çizgi film karakterlerinizi temsil eden eğriler oluşturabilirsiniz.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Cardioid; Bağlantı: https://byjus.com/maths/cardioid/
- Make a Cardioid Flip Book; Bağlantı: https://www.gathering4gardner.org/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
