Okul koridorlarımızın çoğunda dolap yok. Ama diyelim ki böyle bir okul ve koridorunda da 100 tane dolap var. Her akşam okul bittikten sonra müdür dolapları kontrol ediyor ve hepsinin kapalı olduğundan emin olmak istiyor. Ancak bir gün 100 öğrenci, müdüre bir şaka yapmaya karar veriyor. Öğrencilerin hepsi sıraya giriyor. Sıranın en başındaki öğrenci koridorda yürüyor ve bütün dolapları açıyor. Baştan ikinci sırada bulunan öğrenci, ikinci dolaptan başlayarak açık olan her çift numaralı dolabı kapatıyor. Üçüncü sıradaki öğrenci üçüncü dolaptan başlayarak üçün katı olan dolapları açıksa kapatıyor, kapalıysa açıyor. Dördüncü öğrenci, dört numaralı dolaptan başlayarak dördün katları için aynı şeyi yapıyor. Bu biçimde 100 numaralı öğrenciye kadar bu oyunu oynamaya devam ediyorlar. Müdür sabahın ilerleyen saatlerinde okula geldiğinde, hangi dolapları açık bulacak dersiniz? Farklı versiyonlarına rastlayacağınız bu sorunun cevabını okumadan önce elinize kağıt kalem alıp denemenizi öneririz. Yeterince denediyseniz ya da bir çözüme ulaşıp kontrol etmek istiyorsanız cevaba geçebilirsiniz. Dolap Bulmacasının Çözümü Sorunun cevabını bulmaya çalışırken hangi öğrencilerin herhangi bir dolabı açacağını veya kapatacağını düşünmek gerekiyor. Örneğin 24 numaralı dolabı ele alalım. 1 numaralı öğrenci her dolabı açtığı için sonuçta bu dolabı açmıştır. 2 numaralı öğrenci çift numaralı dolapları kapattığı için ise kapatmıştır. 3 nolu öğrenci açmış, 4 nolu öğrenci kapatmıştır.…
Beyin Jimnastiği
1931’de Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel, modern zamanların en büyük entelektüel başarılarından biri olarak kabul edilen eksiklik teoremini yayınladı. Matematiği, bir dizi aksiyom ve mantık kurallarına dayanan biçimsel bir sistem açısından ifade etme rüyasının başarısız olmaya mahkum olduğunu kanıtladı. Sonuç, matematik camiasında büyük bir şok oldu. Uzun bir süre boyunca, matematiğin “tam” olduğu, yani tüm matematiksel ifadelerin kanıtlanabilir veya çürütülebilir olduğu varsayılmıştı. 25 yaşındaki Gödel, kanıtlanamayan doğru bir önerme kurarak bunun yanlış olduğunu matematikçilere gösterdi. Matematiğin sınırları olduğunu açıkladı. Eksiklik teoremi matematikçilerin, matematiğin temellerini incelemesine neden oldu. Ayrıca tüm biçimlendirilmiş sistemlerin başarabilecekleri konusunda bazı sınırlamaları olduğunu gösterdiği için bilgisayar bilimi için de önemli bir sonuç haline gelecekti. Detaylar için: Turing Makinesi Nedir? Bu Makinenin Durma Sorunu Neden Çözülemez? Gödel, Öklid zamanından beri uygulanan matematiksel yöntemlerin, doğal sayılar hakkında doğru olan her şeyi keşfetmek için yetersiz olduğunu kanıtladı. Keşfi, 20. yüzyıla kadar matematiğin üzerine inşa edildiği temellerin altını oydu. Sonrasında düşünürleri alternatifler aramaya teşvik etti. Devamında da gerçeğin doğası hakkında canlı bir felsefi tartışma yarattı. Kanıtın teknik detaylarını anlamak zordur. Ancak yine de bu yazımızda kısaca aktarmaya çalışmıştık: Kurt Gödel ve Eksiklik Teoremi: Cevabı Olmayan Sorular Her Zaman Vardır. Ancak Amerikalı mantıkçı Raymond Smullyan (1919-2017), doğru söyleyenler ve yalancılar hakkında basit mantık bulmacaları kullanarak…
Bir sayıyı beş defa kendisi ile çarptığımız zaman sayının beşinci kuvvetini buluruz. Örneğin 2 sayısını beş defa çarptığımız zaman 25 yani 32 sonucunu elde ederiz. Şimdi bu işlemin tersini düşünelim. Herhangi bir sayı verildiğinde bu sayının, hangi sayının kendisiyle 5 kez çarpımı sonucunda olduğunu bulabilir miyiz? Bu sorunun cevabını bulmak amacıyla yapılan işleme beşinci dereceden kök alma işlemi denir. Örneğin 32 sayısını düşünelim. 32 sayısının 5’nci dereceden kökü 5√32=2 olarak gösterilir. Çünkü 2x2x2x2x2=32 yapmaktadır. Peki, 79235168 sayısının hangi sayının beş defa kendisi ile çarpılması sonucunda olduğunu söyleyebilir misiniz? Elinizde bir hesap makinesi var ise bu işlemi yapmak çok da zor sayılmaz. Ama verilen herhangi bir iki basamaklı sayının beşinci kuvvetine bakarak da kısa süre içinde sayıyı bulmanın ilginç bir yolu daha var. Üstelik bu yöntemi bir matematik dehası olmanıza gerek kalmadan temel bir kaç kavramı ezberleyerek siz de uygulayabilir ve etrafınızı şaşırtabilirsiniz. Birinden 1’den 99’a kadar herhangi bir iki basamaklı bir sayıyı hesap makinesi yardımı ile beş kez kendisi ile çarpmasını isteyin. Çarptığı sayıyı size göstermesin. Sadece sonucu göstersin. Bu yöntem ile bir kaç saniye içinde hangi sayıyı çarptığını bulabilirsiniz. Ancak elbette öncesinde bir miktar bilgiye ihtiyacınız olacak. Matematikte her taşın altından Euler çıkıyor desek yanlış demiş olmayız Euler teoremi veya Fermat-Euler Teoremi …
Bu soru aslında uzun zamandır internette dolaşıyor. Henüz denk gelmediyseniz üzerinde düşünmenizi öneririz. Sizce soruya rastgele bir cevap seçerseniz, aşağıdakiler arasından doğru şıkkı seçme olasılığınız nedir? Kafanız karışmış olmalı. Ancak bunun zor bir çoktan seçmeli soru olduğunu söylemiştik. A) % 25 B) % 50 C) % 0 D) % 25 Bu gerçek bir yarışma programı sorusu değil. Bu sorunun doğru olması gerektiğini, mantıklı olması gerektiğini ve cevaplardan birinin doğru olması gerektiğini varsayamazsınız. Sorunun Olası Çözümü Nedir? Siz düşünürken hatırlatalım. Bu sorunun internette farklı seçeneklerle yayınlanmış olanlarına da rastlamış olmanız olasıdır. Ancak küçük bir kopya verelim. O farklı seçenek aslında herhangi bir etki yapmayacaktır. Bu nedenle canınızın istediği herhangi bir sayı ile değiştirebilirsiniz. Normal koşullar altında her çoktan seçmeli test sınavına giren öğrencinin bildiği gibi verilen dört şık arasında doğru şıkkı seçme olasılığınız % 25 olacaktır. Ancak soruya daha dikkatli bakarsanız % 25 şıkkının 2 defa yazıldığını göreceksiniz. Bu durumda doğru şıkkın rastgele seçilme olasılığı % 50. Bu nedenle anlıyoruz ki % 25 doğru cevap olamaz. Sorunu bir başka versiyonu Bu durumda % 50 doğru cevap olabilir mi? Ne yazık ki bu sefer de başka bir sıkıntı var. Sonuçta eşit olasılıkla 4 seçenekten 1’ini seçiyoruz ve bu durumda cevabı rastgele seçme…
Kendoku oyunu, öğrencilerinin işlem becerilerini geliştirmek isteyen Japon bir matematik öğretmeni olan Tetsuya Miyamoto tarafından bulundu. Sonrasında da dünyada geniş bir meraklı kitlesine ulaştı. Oyun günümüzde kenken, calcudoku veya mathdoku olarak farklı isimlerle de bilinmektedir. Bu bulmacalar, çocuklara temel aritmetiğikte (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) mükemmel pratik yapma olanağı tanır; bu aynı zamanda cebirde ve zorlu testlerde ihtiyaç duyulan mantık ve problem çözme becerilerini de geliştirir. Sonrasında işin içine Thomas Snyder karıştı. Kendisi Kendoku kurallarına bazı yenilikler ekleyerek bu yeni türlerin tamamına TomTom adını verdi. Kısaca Thomas Snyder’den bahsetmek gerekirse, kendisi şu anda hem Sudoku hem de Zekâ Oyunları alanında dünya şampiyonluğunu kazanmış tek kişi. Ayrıca zekâ oyunları kitapları yazarı ve biyokimya alanında araştırmalar yapan bir akademisyen. Kendoku, Sudoku ile benzer özelliklere sahiptir. Aynı satır ve sütunlara rakamların tekrarsız yazılması en temel benzerliktir. Yapısında dört işlemi barındırmasından dolayı Sudoku bulmacasına göre bir adım daha ileridedir diyebiliriz. Tek işlemli, çift işlemli ve dört işlemli olmak üzere farklı versiyonları vardır. Kendoku Oyunun Yapısı Nedir? Oyunu oluşturan her bir kareye “hücre” denir. Her hücre sadece bir sayı içerir. Kendoku, temel olarak 4 x 4 = 16 hücreden oluşan bir yapıya sahiptir. Bu sistem 3 x 3 = 9, 5 x 5 = 25,…
Sayılar ile oynayarak ilginç saatler tasarlamak mümkün. Bu yazımızda çeşitli matematik saatlerine göz atacağız. Saat kadranındaki sayıları farklı biçimde yazabilmeniz için elbette bir miktar farklı düşünmeniz gerekecektir. Örneğin 4 sayısını ele alalım. Bu sayıyı isterseniz 2+2, isterseniz 2×2, isterseniz de 22 olarak yazmanız mümkündür. Ancak pi ya da e gibi sayılar ile sonucun tamsayı çıkması mümkün değildir. İşte bu durumda işin içine lise yıllarından anımsadığınız (belki de fazla da önemli gibi gelmediği için anımsamadığınız) bir kaç fonksiyonu işin içine sokmanız gerekecektir. Bahsettiğimiz fonksiyonlar okullarda özel tanımlı fonksiyonlar kapsamında öğretilmektedir. Şimdi aşağıdaki pi saatine bakalım. Bu saatte bildiğimizden farklı parantezlerin kullanıldığı dikkatinizi çekmiştir. İşte bu parantezler taban ve taban fonksiyonları esnasında karşınıza çıkacaktır. Parantezin alttan kapalı olması taban, üstten kapalı olması ise tavan anlamına gelmektedir. Yapılması gereken şey öncelikle her zaman olduğu gibi parantezin içindeki işlemi yapmaktır. Sonrasında da parantezin içindeki sayı irrasyonel olsa bile bunu parantezin işaretine göre bir üst, ya da bir alt tamsayıya yuvarlamanız mümkündür. Bunun sonucunda yapacağınız pi saati aşağıdaki gibi gözükecektir. Kontrol etmeniz sizin için aynı zamanda bir alıştırma olacaktır. Matematik Saatleri Saat kadranında çeşitli ifadeler bulunan çok sayıda matematiksel saat internette dolaşırken karşımıza çıkıyor. Bu tip bir çalışma, sayılar ile oynamanın kesinlikle eğlenceli bir yolu.…
“Aklından bir sayı tut” biçiminde başlayan bilmecelere çoğumuz uzun zamandan beridir alışığız. Ancak bugüne kadar karşılaştığımız bu tip bilmeceler genellikle başlangıçta tuttuğumuz sayıya x gibi bir değişken verilince kolayca çözebileceğimiz cinstendi. Ancak birazdan soracağımız aklından bir sayı tut bilmecesi daha farklı. Şimdi Aklımızdan Bir Sayı Tutalım! Bir hayali arkadaşınız olsun adı ise Osman. Osman aklından 1 ile 1.000 arasında bir sayı tutsun. Sizin işiniz de bu sayının ne olduğunu öğrenmek için ona sorular sormak ve devamında sayıyı bulmak. Ancak baştan bazı kabullerimiz olsun. Mesela Osman’ın her zaman doğruyu söylediğini kabul edelim. Ayrıca sorduğunuz sorulara da yalnızca “Evet”, “Hayır” veya “Bilmiyorum” biçimde yanıt verebilir. Bilmecemiz şu soruyu sizlere soruyor. Arkadaşınızın tuttuğu sayıyı bulmayı garanti etmek için sormanız gereken en az soru sayısı kaçtır? Tam olarak anlamadıysanız hemen bir ipucu verelim. Kendisine tuttuğu sayının 1 ile 500 ( 1 ve 500 dahil) arasında olup olmadığını sorarak başlayın. Bu sorunuza cevap verdiğinde bulmanız gereken sayı için aday sayısı yarı yarıya azalmış olacaktır. Sonrasında bu şekilde devam edin, her seferinde kalan sayılar kümesini iki eşit parçaya bölün. Örneğin Osman 358 sayısını tutmuş olsun. Bu durumda ona sormanız gereken sorularınız şuna benzeyecektir. ( Yanlarında da Osman’ın verdiği cevaplar var.) Tuttuğun sayı1 ve 500 arasında mı?…
Elimizde iki tane kum saatimiz var. Bunlardan bir tanesi ile 11 dakikayı, diğeri ile de 7 dakikayı ölçebiliyorsunuz. Ancak sizin tam olarak 15 dakikayı ölçmeniz lazım. Bunu nasıl yapabilirsiniz? ( Sorunun aslında bir değil iki çözümü var. Bu nedenle en efektif cevabı verdiğinize emin olun.). Cevaba bakmadan önce de düşünmeye zaman ayırmayı unutmayın. Kum Saati Sorusu Çözümü Dediğimiz gibi kum saatlerimiz ile 15 dakikayı ölçmemizin aslında iki yolu var. Önce ilk yolu okuyalım. Aslında muhtemel düşünmüş olacağınız gibi bunu başarmanın yolu saatleri senkronize etmektir. Birinci Çözüm: Her ikisini de başlatmak için hem 11 dakikalık hem de 7 dakikalık kum saatini ters çevirin. 7 dakikalık kum saati bittiğinde, hedefiniz olan 15 dakikayı ölçmeye başlamalısınız. Sonuçta 4 dakika sonra 11 dakikalık kum saati de bitecek. Bu kum saati de bittiği an hemen ters çevirin. İ Şimdi saatiniz ile 11 dakikayı ölçebiliyorsunuz, önceden de 4 dakikayı ölçmüştünüz. Bu durumda toplamda 15 dakikayı ölçmeye başardınız. Evet bu çözüm oldukça basit ve doğru cevap. Ama bu yöntem aracılığı ile 15 dakikayı ölçmek için aslında 22 dakika harcadınız. ( 11 dakikalık kum saatini iki defa çevirdiniz.). Oysa ki soruyu çözmenin daha kısa ve daha yaratıcı ikinci bir yolu daha var. Üstelik bu yol ile 15 dakikayı…
Size biri diğerinden iki kat daha fazla para içeren iki zarf verildiğini hayal edin. Bir zarfı seçmeniz gerekiyor. Siz zarfınızı seçtikten sonra daha siz zarfınıza bakmadan karşınızdaki kişi size bir teklifte bulunuyor. İsterseniz elinizdeki zarfı diğer zarf ile değiştirebilirsiniz. Seçtiğiniz zarfa bağlı mı kalmalısınız yoksa değiştirmelisiniz? Okuduğunuz bu soru değişim paradoksu ya da iki zarf problemi / paradoksu ( Two envelopes problem) adı ile bilinir. Zarflardan birini seçmeniz isteniyor. İçindeki para sizin olacak. Zarflardan birini seçtiniz. Açmadan önce son bir şans olarak zarfınızı diğeriyle değiştirmek isteyip istemediğiniz soruluyor. Zarfı değiştirir misiniz, yoksa değiştirmez misiniz? Değişim paradoksu olarak da bilinen iki zarf paradoksu, olasılık teorisinde pek çok yanlış anlaşılmaya yol açan, iyi bilinen bir sorundur. İlk olarak 1912 yılında önde gelen Alman sayı teorisyeni Edmund Landau tarafından geliştirilmiştir. Normalde herhangi bir fark olmayacakmış gibi gözükse de matematik size her zaman değiştirmeniz gerektiğini söylemektedir. Bu durum da sezgilere aykırı biçimde olduğu için bir paradoks olarak isimlendirilir. Neden değiştirmeniz gerektiğini anlamak için öncelikle beklenen değer hesaplaması hakkında bilgi sahibi olmanız gerekmektedir. Çoğu kişi, zarfı değiştirip değiştirmemenin bir şey fark ettirmeyeceğini düşünür. Düz bir mantıkla akıl yürütürsek, ya az para olan zarfı seçeriz ya da çok para olan zarfı seçeriz. Ancak gerçek bundan daha…
Bu yazımızda keyifli bir mantık problemi sunalım. Adına da labirent bilmecesi diyelim. Sorunun cevabını yazının bitiminde sizlere aktaracağız. Ancak öncesinde yazının içindeki soruyu çözmenizi öneriyoruz. Başlıktan da anlayacağınız gibi sorumuz bir labirentte geçiyor. Diyelim ki bir labirentte kayboldunuz. Sonrasında bir köşeyi döndünüz ve karşınıza üç kapı çıktı. Bu kapılarının yanında duvarda bir not var. Bu notta kapılardan sadece birinin doğruyu söylerken diğer kapıların her zaman yalan söylediği yazıyor. Her kapının üstüne ahşap bir tabela yapıştırılmış. Sol kapıdaki tabelada “ Özgürlüğe çıkan yol bu kapının ötesinde ” yazıyor. Orta kapıdaki tabelada ise“ Özgürlüğe çıkan yol bu bu kapılardan birinin ötesinde ” yazıyor. Ve sağ kapıdaki tabelada “ Özgürlüğe çıkan yol bu orta kapının ötesindedir” yazıyor. Bu noktada tek hamle seçeneğiniz var. Tek kapı tabelasının doğru cevabı yazdığını biliyorsunuz. Hangi kapıyı açardınız? Sorunun cevabına geçmeden önce kendi başınıza cevap vermek istiyorsanız bir kağıt kaleme ihtiyacınız olacak. Hazırsanız cevaba geçebiliriz. Labirent Bilmecesi Nasıl Çözülür? En başta bildiklerimizi bir defa daha hatırlayalım. Çıkış yolu üç kapıdan sadece birinin arkasındadır ve kapılardan sadece biri doğruyu söyler. Bunu akılda tutarak, dokuz olası seçenek arasından seçim yapmamız gerekiyor. Bunu akıldan yapmak kolay değil. Bunun için bir tablo ile sonucu düşünebilirsiniz. Bu tabloda, duruma göre her bir ifadenin doğruluk değerine bakacağız. Öncelikle çıkışın sol…
Farz edelim ki 65 katlı bir ofiste çalışıyorsunuz. Ancak bu ofisin tek bir asansörü var, o da bazen çalışıyor bazen de hiç çalışmıyor. Asansöre binip yukarı çıkmak istediğiniz zaman asansör bazen 8 kat yukarı çıkıyor. Bazen de yerinden kıpırdamıyor. Yani 63. katta asansöre bindiyseniz yine 63. katta kalıyorsunuz. Aşağı inmek istediğinizde de benzer bir sorun karşınıza çıkıyor. Biri aşağı inmek istediğinde asansör bazen 11 kat aşağı iniyor. Ya da hareket etmeyerek aynı katta kalmaya devam ediyor. 1. kattan asansöre bindiğinizi varsayalım. Bu şekilde hareket eden bir asansör ile her kata çıkmak mümkün mü? Ayrıca 1. kattan asansöre bindiğiniz zaman 60. kata ulaşmak için hangi katlara uğramanız gerekiyor? Çözümü kulağa imkansız gibi geliyor ama elbette basit bir çözümü var. Ama cevaba bakmadan önce ilk olarakbir sonuca ulaşmayı kendinizin denemesini öneririz. Asansör Sorunun Cevabı Öncelikle kısa cevabı verelim. Binada her kata ulaşmak mümkündür. Bunun tam olarak nasıl mümkün olduğunu anlamak için aşağıdaki tabloya göz atalım. Tabloda görebileceğimiz gibi her kata 8 kat yukarı çıkma ve 11 kat aşağı inme kombinasyonu ile ulaşılabilir. Zor olan kısım, bunun gerçekten nasıl olduğunu anlamak. İşte bu noktada sayılar teorisine başvurmak zorundayız. Esasen “8x– 11y = kat numarası” denklemin tamsayılı çözümlerini arıyoruz. Bu tür denklemler Doğrusal Diophantus…
Her ne kadar başlıkta Ali, Berna ve Canan adını kullansak da sorumuzun aslı Cheryl’in Doğum Günü Problemi olarak biliniyor. Kağıt kaleminiz hazır ise başlayalım. Ali ve Berna, Canan ile yeni arkadaş oldular. İkisi de Canan’ın doğum gününün ne zaman olduğunu bilmek istiyorlar. Canan ise onlara bir oyun oynamaya karar veriyor. Onlara direk cevabı söylemek yerine, 10 olası tarihin bir listesini veriyor. Listemiz şu biçimde: 14 Temmuz, 16 Temmuz, 15 Mayıs, 16 Mayıs, 19 Mayıs, 17 Haziran, 18 Haziran, 14 Ağustos, 15 Ağustos ve 17 Ağustos. Canan daha sonra Ali’ye doğduğu ayı ve Berna’ya ise doğduğu günü söylüyor. Sonrada aşağıdaki konuşma gerçekleşiyor. Ali: “Canan’ın doğum gününün ne zaman olduğunu bilmiyorum. Ama Berna’nın da bilmediğini biliyorum.” Berna: “Başta Canan’ın doğum gününü bilmiyordum ama şimdi biliyorum.” Ali: “Şimdi ben de Canan’ın doğum günü ne zaman biliyorum.” Peki o zaman Canan’ın doğum günü ne zaman? Yukarıda okuduğunuz bu soru geçtiğimiz yıllarda Cheryl’in Doğum Günü Problemi adı altında, Guardian’ın web sitesinde yayınlandı. Cheryl yazımızda Canan olarak isimlendirdiğimiz kişi idi. Ve o dönemin en çok görüntülenen yazılarından biri oldu. Elbette bu kadar çok okunmasının en önemli nedeni, “On yaşındaki Singapurlu bir çocuktan daha akıllı mısınız?” biçiminde atılan başlığı idi. Cheryl’s birthday maths problem adı ile bilinen sorunun orjinali.…