Milenyum Soruları, 2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü tarafından belirlenen ve çözülmeleriyle matematiğin sınırlarını genişleteceğine inanılan yedi temel matematik problemidir Her birine titiz bir çözüm sunabilenlere 1 milyon dolarlık ödül vaat edilmektedir. Ancak bu soruların zorluğu, onları yalnızca azimli matematikçilerin üzerine düşünebileceği karmaşık birer entelektüel meydan okuma yapmaktadır. Rus matematikçi Grigori Perelman, bu sorulardan biri olan Poincaré Varsayımı için bir çözüm sunmuş, ancak ödülü reddetmiştir. Diğer altı soru hâlâ çözülmeyi beklemektedir. Grigori Perelman Milenyum Soruları Nelerdir? 1- Yang-mills ve Kütle Aralığı: Çözülmedi 2- Riemann Hipotezi: Çözülmedi 3- P NP’ye karşı Problemi: Çözülmedi 4- Navier–Stokes Denklemleri: Çözülmedi 5- Hodge Kestirimi: Çözülmedi 6- Poincare Kestirimi: Çözüldü 7- Birch ve Swinnerton-Dyer Kestirimi: Çözülmedi Riemann Hipotezi Bernhard Riemann Matematik tarihinde çözülmesi en zor ve en önemli problemlerden biri olan Riemann Hipotezi, 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından ortaya atılmıştır. Asal sayıların sayı doğrusu üzerindeki dağılımıyla ilgilenen bu hipotez, matematiğin hem temel yapı taşlarını hem de modern uygulamalarını derinden etkiler. Riemann Hipotezi, “Riemann zeta fonksiyonu” adı verilen karmaşık bir matematiksel yapıya dayanır. Bu fonksiyon, asal sayıların dağılımını anlamada kilit bir rol oynar. Hipotezin özü, Riemann zeta fonksiyonunun sıfır yapan değerlerinin belirli bir düzlemde nasıl düzenlendiğiyle ilgilidir. Riemann hipotezi, hangi s değerlerinin Riemann zeta fonksiyonunu sıfıra eşitlediğiyle ilgilidir. …
Beyin Jimnastiği
İngiltere’deki Oxford Üniversitesi’nde eğitim almak kolay bir iş değil. Hele ki Felsefe bölümünde okumayı hedefliyorsanız, işler daha da zorlaşıyor. Çünkü yalnızca teorik bilgiye sahip olmak yetmiyor; mülakatları da başarıyla geçmeniz gerekiyor. Oxford üniversitesinde öğrenci olmak için, Oxford mülakat sorularını da doğru cevaplamak gerekiyor. Bu üç bulmaca, Oxford Üniversitesi’nin ortak felsefe dereceleri için yaptığı mülakatlarda son yıllarda kullanılmıştır. Kendinizi denemek isterseniz işte sorular… Örnek Oxford Üniversitesi Mülakat Soruları 1. Soru: Stephanie’nin sürprizi Stephanie, arkadaşları Rowan ve Colleen’i evine davet etti. Stephanie, mavi karelerden birinin altına bir hediye sakladığını söyledi. Daha sonra, Rowan’a özel olarak hediyenin bulunduğu satır numarasını, Colleen’e ise yer aldığı sütunun harfini söyledi. Rowan: Hediyenin nerede olduğunu bilmiyorum ama Colleen’in de bilmediğini biliyorum. Colleen: İlk başta hediyenin yerini bilmiyordum. Ama şimdi nerede olduğunu biliyorum. Rowan: Bu durumda, artık nerede olması gerektiğini de biliyorum. SORU: Hediye hangi karenin altında? 2. Soru: Stephanie’nin sürprizi Sheila ve Colin’in katıldığı bir partide, renkli karolardan birinin altına bir sürpriz gizlenmiştir. Sürprizin yerini bulmaları için ikisine de özel birer bilgi verilmiştir. Sheila, karonun şeklini; Colin ise karonun rengini bilmektedir. Ayrıca, her ikisinin de yalnızca bu bilgilere sahip olduğu ve başka bir bilgiye sahip olmadıkları herkes tarafından bilinmektedir. Ev sahibi: Sürprizin nerede olduğunu ikinizden biri biliyor mu? . . . sessizlik.…
Hanoi kulesi bir bulmacadır. Amaç, sol tarafta üst üste duran diskleri, her seferinde bir disk hareket ettirerek sağ tarafa…
Yale Üniversitesi Profesörü Shane Frederick tarafından 2005 yılında oluşturulan, dünyanın en kısa zeka testi, sadece üç matematik tabanlı sorudan oluşuyor. Bu test Bilişsel Yansıma Testi olarak da biliniyor. Sorular hayli basit olmasına rağmen testi çözenlerin yalnızca %17’si soruların hepsini doğru cevaplayabildi. Peki, siz soruların kaçını doğru çözebilirsiniz? Dünyanın en kısa zeka testi sadece üç mantık sorusundan oluşuyor. Bilişsel Yansıma Testi olarak adlandırılan test için en kısa zeka testi desek de temelde IQ’yu ölçmek amacı ile geliştirilmemiştir. Aslında bu testin ölçmeye çalıştığı şey çok daha inceliklidir. Son yirmi yıldır komplo teorilerine ve bunlara inanan insanlara yönelik bilimsel ilgi giderek artıyor. Bazıları bu tür hikayelere inanmanın zekayla bağlantılı olduğunu düşünse de, araştırmalar insanların nasıl düşündüğünün daha önemli olabileceğini göstermeye başlıyor. 2018’de Avrupa’nın dört bir yanından insanlar üzerinde yapılan bir anket, İngiliz katılımcıların %60’ının en az bir komplo teorisini desteklediğini buldu. Üstelik sonuçlar sorunun sadece zeka ya da eğitim olmadığını da gösteriyor. Bu nedenle de komplo teorilerine yatkınlık, kişilerin düşünme biçimi ile ilişkili gibi gözüküyor. Sezgisel düşünme, daha çok kişisel deneyimlere ve içgüdüsel hislere dayalıdır. Diğer yol ise daha yavaş, daha analitik bir yoldur ve ayrıntılı bilgi işleme dayanır. Sezgilerinizle mi hareket edersiniz yoksa herhangi bir eyleme geçmeden önce durup düşünür müsünüz? Dünyanın en kısa zeka testi…
Tek tarafına tereyağı sürülmüş bir ekmeği bir kedinin sırtına bağlarsanız ne olur? Tereyağlı kedi paradoksu ile tanışalım. Yerçekimini bir biçimde alt etmek ister misiniz? O zaman yapmanız gereken şey oldukça basit. İlk olarak bir dilim tost ekmeğinin bir yüzünü güzelce tereyağı ile yağlamanız gerekiyor. Ardında da bu ekmeği, yağlı kısmı dışa gelecek biçimde bir kedinin sırtına sıkıca bağlayın. Bu düzenek ile yerçekiminde kaçış mümkün olabilir mi? Saçma deyip yazıyı okumaktan vazgeçmeden önce bilgi verelim. Bu bahsettiğimiz düzenek bir düşünce deneyi olan tereyağlı kedi paradoksuna aittir. Sonuçta herkes bir kedinin her zaman dört ayak üzerine düştüğüne dair deyişi duymuştur. En az bu söz kadar meşhur bir başka söz de ABD’li mühendis Edward A. Murphy tarafından söylenmiştir. Murphy yasalarından biri, tek tarafına tereyağı sürülen bir ekmeğin yere düşmesi durumunda yağlı kısmının her zaman alta geleceğini söyler. Şimdi bu iki sözü birleştirdiğimizi düşünürsek yazının başlangıcındaki düzeneği yapabiliriz. (Lütfen sadece düşüncede kalsın). Kedimizi tereyağlı bir ekmek ile birbirine bağladıktan sonra, kediyi yüksekçe bir yerden aşağı bırakalım. Şimdi ne olur? Yoksa kedi kendi etrafında dönüp durur mu? Tereyağlı Kedi Paradoksu İçin Olası Bir Senaryo Tereyağlı kedi paradoksu ile ilgili bazı düşünce deneylerine girersek, neler olabileceğine dair bir hipotez geliştirmeye başlayabiliriz. Kedi yere doğru düştüğünde, ayakları aşağı…
Bazen bir şeyleri bilmek yetmez. Başka birinin de, bildiğini ya da bilmediğini bilmeniz gerekir. Bunun sonucunda da “ortak bilgi” kavramı ortaya çıkar. Bir bilgi ortak bilgi olunca da, başkalarının düşünceleri hakkında çıkarımlarda bulunmak mümkündür. Ortak bilgi bir çok bilmecede karşımıza çıkar. Bu yazıdaki şapkalar bilmecesi bir örnektir. Güney Amerika’da bir hapishanede cezasını çekmekte olan üç mahkum var. Gardiyanlar, zaman geçirmek için mahkumlarla bir oyun oynamaya karar verir. Mahkumlara üç siyah ve iki beyaz toplam beş şapka gösterir. Gardiyanlar sonrasında mahkumları sadece birbirinin sırtını görecek biçimde tek sıra halinde oturtur. Bu durumda en arkadaki mahkum önündeki iki kişiyi, ortadaki mahkum ise önündeki bir kişiyi görebilmektedir. En öndeki mahkum ise hapishane duvarından başka bir şey göremez. Gardiyanlar mahkumların gözlerini bağlar ve her birinin başına bir şapka yerleştirir. Daha sonra göz bağlarını çözer ve mahkûmlara, şapkanın rengini doğru söylerlerse özgür kalabileceklerini söylerler. Ancak yanlış söylerler ise bu onların sonu olacaktır. Elbette, mahkumlar kendi başlarında hangi renk şapka olduğunu görememektedir. Gardiyanlar önce sıranın en arkasındaki mahkûma başındaki şapkanın rengini sorarlar. Bilmediğini söyler. Sonra ortadaki adama sorarlar ancak o da bilmiyordur. Gardiyanlar sonunda, sıranın önündeki mahkuma ne renk şapkası olduğunu sorarlar. Yüzü duvara dönük mahkum hızlıca doğru cevap verir ve serbest kalır. Peki sizce ne renk…
Dünyanın bilinen en eski matematik bulmacası stomachion olarak bilinmektedir. Bu bulmacaya Archimedes Palimpsest (Arşimet‘in Parşömeni) adlı elyazmasında rastlanmıştır. Bilim insanlarının yaklaşık bin yıldır saklanan bir el yazmasını ortaya çıkarmak için yıllarca süren özenli çalışmaları, bu bulmacanın varlığından bizleri haberdar etmiştir. Arşimet adını kaldıraçlar, makaralar, gemi parçalayan düzenekler ve Arşimet vidasını icat etmesi aracılığı ile duymuş olabilirsiniz. Tüm bunlar ona atfedilen birçok efsanede yer almaktadır. Ancak, onun gerçek dehasının keşfedileceği yer matematiksel incelemeleridir. Bu incelemelerin günümüze kadar varlığını sürdürmesinin hikayesi karmaşık ve girifttir ve olağanüstü ayrıntılarla izlenmiştir. Arşimet’ incelemelerinin Yunanca metinlerini ‘in çalışmalarını üç el yazması aracılığıyla biliyoruz. Biri en son 1311’de görüldü, ikincisi 1550’lerde görüldü ve üçüncüsü ise Arşimet Palimpsestidir. Silinme, kazınma, kesilme, üste yazılmış metinler nedeniyle harap olmuş bu şanssız parşömen günümüzde Arşimet Palimpseti olarak anılıyor. Bu elyazması ayrıca, Arşimet’in “Mekanik Kuramlar Yöntemi” hakkında bilinen tek incelemesini içeriyor. Arşimet’in Palimpsestinin Başına Gelenler Ekim 1998’de Arşimet Palimpsesti, New York’ta bir Amerikan koleksiyoncusuna satıldı. Koleksiyoncu, el yazmasını, ortaçağ el yazmaları koleksiyonu ve el yazması koruma konusundaki uzmanlığıyla dünya çapında tanınan Baltimore’daki Walters Sanat Müzesi’ne bıraktı. O zamandan beri, 750 yıl önce bir ortaçağ rahibi tarafından yok edilen el yazmasındaki metinleri yeniden ortaya çıkarmak için dünya çapında bir koruma, görüntüleme ve çalışma kampanyası başladı.…
1887-1920 yılları arasında yaşayan ve matematik konusunda dünya tarihine çok şey kazandıran Srinivasa Ramanujan adını pek çok şey vasıtası ile duymuş olabilirsiniz. Kendisi sonsuz serilere takıntılı bir dehaydı. Sayılarla oynamayı seviyordu. Bunun sonucunda da kısacık yaşantısından matematik tarihinden önemli bir iz bıraktı. Şaşırtıcı çıkarımlarından birisi de günümüzde Ramanujan Kökleri olarak biliniyor. Ramanujan köklerine geçmeden önce onun beyninin nasıl çalıştığı hakkında fikir edinmenizi isteriz. Dediğimiz gibi sayılarla oynamayı seven bu genç adam ardından ilginç çıkarımlar ve formüller bırakmıştır. Örneğin sonsuz bir çarpım kullanarak üç ünlü sabit phi (altın oran), e (doğal logaritma temeli) ve π’yi birbirine bağlayan aşağıda gösterilen formül gibi ilginç matematiksel teoremler üretmiştir. Ramanujan pi sayısının yaklaşık değerlerini hesaplamak için de yüzlerce formül geliştirmişti. Cambridge üniversitesine gelmeden önce yazdığı iki defterde 400 sayfa formül ve teorem bulunur. Ramanujan’ın formüllerinden çoğunun ne anlama geldiği yakın zamana kadar tam olarak anlaşılamadı. . Ancak 1980’lerin ortalarında, pi sayısını hesaplamak için, Ramanujan’ın denklemlerini kullanabileceğimizi fark ettik. Örneğin yukarıdaki ilk formülün her terimi, pi sayısının 8 yeni basamağını hesaplamamızı sağlar. Bu sayede 1985 yılında pi sayısının 17 milyon basamağını hesaplamak mümkün oldu. Ramanujan’ın Sonsuzluk Takıntısı Ve Ramanujan Kökleri Solda: Srinivasa Ramanujan. Sağda: Journal of the Indian Mathematical Society’de Ramanujan tarafından ortaya atılan problem. Çoğu matematikçi için bile…
Tam olarak 243 yıl boyunca çözümünün mümkün olmadığı düşünülen Euler’in 36 Subay Problemi biraz ilginç bir biçimde çözülmüş olabilir. 1779’da İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, bir soru sordu. “Bir savaşta altı alaydan oluşan bir ordunun komutanısınız. Bu alayların her birinde, her biri altı farklı rütbeye sahip altı subay var. Yani 36 tane subay var. Bu subayları 6×6’lık bir ızgaraya yerleştirmeniz gerekiyor. Her satırında ve sütununda her alaydan ve her rütbeden sadece bir subay olacak biçimde yerleştirmek mümkün müdür?” Bu bulmaca 36 Subay problemi olarak ünlendi. Bulmaca, beş rütbe ve beş alay veya yedi rütbe ve yedi alay için kolayca çözülebilmektedir. Ancak 36 subay için bir çözüm aradıktan sonra Euler, “böyle bir düzenlemenin imkansız olduğu, ancak bunu kesin bir şekilde gösteremeyeceği” sonucuna varmıştır. 5×5 bir ızgara, beş farklı biçim ve renkteki satranç taşlarıyla doldurulabilir. Gördüğünüz gibi hiç bir satır veya sütunda birbiri ile aynı renk ya da aynı taş yer almaz. Bir yüzyıldan fazla bir süre sonra, Fransız matematikçi Gaston Tarry, gerçekten de, Euler’in 36 subayını 6’ya 6’lık bir kareye yerleştirmenin bir yolu olmadığını kanıtladı. 1960’da matematikçiler bilgisayarlardan destek alarak, 6 hariç ikiden büyük herhangi bir sayıda alay ve sıra için çözümün mümkün olduğunu kanıtladı. Sihirli Kareler Nedir? Aslında benzer bulmacalar 2000 yıldan…
Sudoku, Kakuro ve diğer sayı bulmacalarının ayak izlerini takip eden Skyscrapers, Türkçe adı ile apartmanlar oyunu, öğrenmesi kolay, bağımlılık yapan mantık bulmacalarından birisidir. Çözmek için matematik gerektirmeyen onun yerine sadece mantığınızı kullanmanız gereken bu oyun her beceri ve yaştan bulmaca tutkunu için entelektüel bir eğlence kaynağı olabilir. Apartmanlar oyununun diğer oyunlardan farkı sizi üç boyutlu düşünmeye zorlamasıdır. Oyun adını gökdelenleri ile tanınan Japonya’dan alır. ( Skyscrapers aslında gökdelen anlamına gelmektedir). Oyun 1992 yılında Masanori Natsuhara tarafından icat edildi. İlk olarak, birçok ızgara bulmaca türüne öncülük eden, bir Japon bulmaca dergisi olan Puzzler’ın okuyucu gönderimleri bölümünde yer aldı. O zamandan sonra giderek daha fazla kişi tarafından oynanmaya başladı. Farklı türevleri çıktı, kutu oyunu haline geldi, oyunu online olarak oynamamız için çeşitli online platformlar ortaya çıktı. Apartmanlar Oyununun Amacı Nedir? Oyundaki temel amacımız; 1’den N’e kadar olan rakamları (N: satır veya sütun sayısı) belli kurallar doğrultusunda hücrelere yerleştirmektir. Oyunda kaç tane satır veya sütun varsa kare hücrelere, 1’den satır/sütun sayısına kadar olan rakamlar yerleştirilmelidir. Örneğimiz 5 satır ve 5 sütundan oluştuğu için (5×5’lik ızgara), oyunda 1,2,3,4 ve 5 rakamları kullanılacaktır. Amaç, her ızgarayı 1’den 5’e kadar olan sayılarla doldurmaktır. Oyunun bu aşaması Sudoku’ya benzer. Temel kural her sayı her satırda ve sütunda yalnızca bir…
Aşağıdaki görselde iki kuru kafa görüyorsunuz. Sizce bu kurukafalar ne renk? Mor ve turuncu mu? Ya da başka iki renk mi? Munker White İllüzyonu bu kurukafaların farklı renk gibi algılanmasına neden olacaktır. İki farklı renk gördüğünüzü düşünmekte elbette haklısınız. Ancak aslında bu kuru kafaların her ikisi de aynı renk ve kırmızı. Farklı olan tek şey çizgiler. Şimdi beyninizi çizgileri görmemeye zorlayın. O zaman siz de aşağıda gördüğünüz gerçek renkleri algılayacaksınız. Bu sefer kuru kafalar yerine Edvard Munch’ın Çığlık tablosunun bir bölümünde aynı etkiyi inceleyelim. Bu renk yanılgısını oluşturan şey sol taraftaki çizimin ön planında mavi renkli çizgilerin, sağ taraftakinin ön planında da sarı renkli çizgilerin olması. Yani bu çizgilerin rengi farklı olduğu için biz de iki farklı renkte kuru kafa görüyoruz. Bir rengi algılayışımızın etrafındaki renklerden etkilendiği fikri, onu keşfeden kişinin yani Wilhelm von Bezold’ın (1837–1907) adı ile anılır ve “Bezold Etkisi” olarak bilinir. Aynı tasarımın sadece tek bir renk değiştirerek farklı bir görünüme sahip olabileceğinin keşfi sayesinde de günümüzde birbirinden ilginç optik illüzyonların yapılması mümkün oluyor. Munker White İllüzyonu Nedir? Renk algısı ile ilgili bir başka görsel yanılsama karşımıza Munker-White illüzyonu adı ile çıkıyor. Bunun neye benzediğini aşağıdaki görselde görebilirsiniz. A sütunu ve B sütunundaki grinin rengi size tamamen farklı gibi…
Kayıp Para Paradoksu (Missing Dollar Puzzle), adında paradoks geçse de aslında tam olarak bir paradoks olarak kabul edilmez. Bunun nedenini anlamak için öncelikle bir paradoksun tam olarak ne olduğunu hatırlayalım. Paradoks, Çelişki Ve İkilem: Fark Nedir? Paradokslar birçok alanda karşımıza çıkabildiği için bu kavramın ortak bir tanımını yapmak her zaman mümkün değildir. Fizik paradoksları, mantık paradoksları, görsel paradokslar, semantik paradokslar hatta etik paradokslar gibi birçok farklı sınıfta paradokslar mevcuttur. Genelde paradoks denildiğinde bu bir mantıksal açmazı ilk aklımıza getirir. Mantıksal paradoks ile çelişki tek bir farkla benzer kavramlardır. Örneğin, bir iş için bir yere gitmek zorunda kaldınız. Taksiyle ya da otobüsle gitme seçeneğiniz var. Ancak ikisi de olumsuz bir sonuca yol açıyor. Birisi daha fazla paraya mal olurken diğeri daha fazla zamana mal olacak. Sonuç olarak, taksiye de binsek olumsuz bir sonuç elde edeceğiz, otobüse de binsek olumsuz bir sonuç elde edeceğiz. Bu duruma ikilem denir. İkilem kavramı çelişkiden ya da yanılsamadan farklıdır. Çelişki, iki zıt önermenin birlikte ele alınması ve bununla beraber ortaya çıkan anlamsız durumdur. Çelişkilerin anlamlı bir çözümü ya da açıklaması yoktur. Paradoks ise bütün bu kavramların bir üst şemsiyesidir. Tüm bunları bir çatı altında toplayan kavramdır. Çoğu paradoks genelde hatalı olan bazı varsayımlarda bulunur, ancak üzerine…