Zeno Paradoksları Ne Amaçla Yazılmıştır? Çözümleri Var mıdır?

Sokrates öncesi düşünürlerin en önemlilerinden sayılan Parmenides, felsefe tarihin­de 5. yüzyılın ilk yarısında etkin olmuş bir düşünürdür. Doğduğu kent Elea’da aynı adı taşıyan bir felsefe okulu kurmuştur. Felsefe tarihinde bu okulun üyelerine Elealılar denir. Evrenin kendisini oluşturan atomlara bölünebileceğine inanan çoğulcuların aksine, Elea felsefesi her şeyin bölünmezliğine inanır. Bu okulun öğrencilerinden Zeno’un adından ve onun paradokslarından sıkça söz edilir.

Elealı Zeno (MÖ yak. 490-yak. 430) da Parmenides’in öğrencisi ve aynı zamanda Parmenides’in manevi oğludur. Bir mantık ustası ve diyalektik düşüncenin en önemli geliştiricilerinden biridir. Felse­fe tarihinde Zeno paradoksları olarak anılan paradoksları Parmenides’in öğretisini desteklemek amacıyla yaratmıştır. Çalışmalarından hiçbiri günümüze ulaşmamış olsa da, 40’tan fazla paradoks ona atfedilir. Parmenides, gerçekliğin tek, sabit, değişmez bir şey olduğuna ve “Varlık” adını verdiği tekliğe inanıyordu. Bu radikal inancı savunurken Zeno, değişimin yani haerketin imkansız olduğunu göstermek için 40 argüman oluşturmuştu.

Birçok bilim dalının temelini oluşturmuş matematik bilimi, fizik bilimi ile de bir hayli içli dışlıdır. Ancak matematiksel bazı ifadeler fiziksel bazı ifadelerle bazen ters düşer. Bunlardan birisi de sonsuzluk kavramıdır. Zeno paradokslarından en çok bilinen 4 tanesi, hareket konusunu ele alır. Bu paradoksların en ünlüsü Yunan kahraman Akhilleus’un adıyla anı­lan “Akhilleus ile Kaplumbağa Paradoksu” dur. Biz daha kolay anlaşılabilen ilk üç paradoksu yazımızda ele alacağız.

Zeno 40 yaşında Atina’ya gitti ve burada Sokrates ile tanıştı. Zeno, Sokratik filozofları Eleacı fikirlerle tanıştırdı. Aristoteles daha sonra onu mantıksal argümanın diyalektik yönteminin (iki karşıt bakış açısından başlayan bir yöntem) mucidi olarak tanımladı.

Akhilleus ile Kaplumbağa Paradoksu

Yunan kahramanı Akhilleus ( Aşil) bir kap­lumbağa ile yarış yapmaktadır. Kaplumbağadan 10 kat daha hızlı olan Aşil, rakibine bir yarışta 10 metre önde başlama şansı verir. Eğer her ikisinin de sabit hızlarda koştuğu­nu düşünürsek belirli bir süre sonra Aşil on metre koştuğunda, kaplumbağanın başladığı yere gelmiş ola­caktır. Bu süre boyunca kaplumbağa da küçük de olsa belirli bir mesafe koşmuştur.

Yani 1 metre. Aşil bir süre sonra bu mesafeyi de tamamladığında, o süre zarfında kaplumbağa yine küçük de olsa bir mesafe ilerlemiş olacaktır ve bu böyle devam edecektir. Böylece, Aşil ne zaman kaplumbağanın varmış olduğu bir noktaya varsa, daha hâlâ gitmesi gereken bir mesafe kalmış olacaktır. Bu nedenle Zeno, Aşil’in kaplumbağayı hiçbir zaman geçemeyeceğini söyler.

Matematiksel Açıdan Sorun Nerede?

Matematiksel anlamda düşündüğümüzde bu düşünce elbette hatalıdır. Sonuçta Aşil, kaplumbağanın başladığı noktaya ulaştığında (T0 = 10 m), yavaş ama istikrarlı kaplumbağa 1 metre ilerlemiş yani T1 = 11 m’ye hareket etmiş olacaktır. Aşil T1‘e ulaştığında, kaplumbağa 0.1 metre ilerleyecektir. (T2 = 11.1 m’ye). Sonuçta her ikisi de 11 m’nin biraz üzerinde koştuğunda Aşil’in kaplumbağayı 1.11 saniye sonra geçmesi gerektiğini biliyoruz. Bu yüzden Aşil aslında 11.11 metreden daha uzun herhangi bir yarışı kazanacaktır. Ama neden Zeno’nun argümanında kendisi kaplumbağayı asla yakalayamayacak gibi görünüyor dersiniz?

Aslında Aşil’in aldığı yolu bir geometrik seri biçiminde gösterebiliriz. 10 + 1 + 0.1 + …. + 10(2-n) + …. Bu geometrik serinin çarpanı birden küçüktür. Bu nedenle mesafenin sonlu olduğunu biliyoruz. Yani Aşil sabit bir hızla, sınırlı bir mesafe seyahat ediyorsa bu mesafeyi sonlu bir zamanda kat edecektir. Yani matematik açısından, Aşil ve kaplumbağa hakkında gerçekte hiçbir paradoks yoktur.

Ancak Zeno’nun argümanı, uzayı (yarış pisti) ve zamanı (koşmanın ne kadar sürdüğü) sonsuz olarak bölebileceğiniz varsayımına dayanmaktadır. Bu sayede yarışı sanki hiç bitmeyecekmiş gibi görünen sonsuz sayıda adıma dönüştürür. Uzayı ve dolayısıyla zamanı daha küçük parçalara bölerek zamanın geçişinin ‘yavaşladığını’ ima eder. Ancak zamanın bu şekilde yavaşlamadığını biliyoruz. Uzayın (ve zamanın) sonsuz bölünebilir olduğu varsayımı yanlıştır.

Dikotomi Paradoksu

Zeno bu paradoksta bir koşucunun düz bir yarış pistinde sabit hedef çizgisine asla ulaşamayacağını söyler. Sonuçta koşucunun önce hedefe kadar olan mesafenin yarısına ulaşması gerekir. Oraya vardıktan sonra da kalan mesafenin yarına varmalıdır, sonra da yine kalanın yarısına. Yani hedef bir metre uzaktaysa, koşucu 1/2 metre, sonra 1/4 metre, sonra 1/8 metre biçiminde yol almalıdır. Bu durumda hedefe ulaşması asla mümkün değildir.

Martin Grandjean/Wikimedia Commons

Koşucunun hedefe ulaşması sorununa farklı bir açıdan bakalım. Paradoksun bir diğer versiyonuna göre, koşucu ilk adımı bile atamaz. Herhangi bir adım kavramsal olarak ilk yarı ve ikinci yarıya bölünebilir. Koşucu tam bir adım atmadan önce 1/2 adım atmalıdır, ancak ondan önce 1/4 adım atmalıdır, ancak ondan önce 1/8 adım ve sonsuza kadar böyle devam eder. Bu nedenle koşucu asla koşamaz.

Aşil Paradoksu gibi, bu paradoks da herhangi bir hareketin imkansız olduğu sonucuna varır. Bu sonuç size saçma gelebilir. Ancak bu Zeno’nun problemlere yaklaşım biçimiydi. Her iki paradoksta da Zeno, uzay ve zamanın sürekliliğini varsaydı ve sonra bu varsayımdan bir çelişki çıkardı. Bu nedenle de, süreklilik varsayımının yanlış olduğunu kabul etti..

Ok Paradoksu

Zeno’nun Ok Paradoksu, zaman ve hareket kavramlarımızın tutarlılığına meydan okumak için farklı bir yaklaşım benimser. Yalnızca bir anlık görüntüsüne baktığınız takdirde, uzayda sabit duran bir oku uzayda hareket eden bir oktan ayırmanız mümkün olur muydu? Yaydan fırlamış ilerlemekte olan bir ok düşünelim. Ok zaman i­çindeki her anda belirli bir konumda olacaktır. An denilen şey belir­li, tek bir noktaysa, okun o anda hareket etme zamanı olmayacaktır, yani durağan olacaktır. Dolayısıyla gelecek anlarda da durağan ola­caktır. Bu şekilde her an durağan olacaktır ve hareket etmeyecektir.

Aslında, uzay ve zamanın ayrı olduğu bir dünyada, uçan bir ok Zeno’nun dediği gibi davranırdı. Ancak Zeno, böyle bir dünyada hareketin imkansız olacağı konusunda yanılıyordu. Bunu hepimiz dijital cihazlarımızda film ve video izleme deneyimimizden biliyoruz.

Cep telefonlarımız ve bilgisayar ekranlarımız her şeyi ayrı piksellere bölüyor ve yine de Zeno’nun iddiasının aksine, bu ayrık manzaralarda hareket mükemmel bir şekilde gerçekleşebiliyor. Eğer uçuş halindeki bir okun yüksek çözünürlüklü videosunu izleseydik, aslında birbiri ardına ayrı karelerde cisimleşen bir ok görüyor olurduk. Ancak Zeno bunu elbette bilemezdi. Sonuçta o işin daha çok felsefi boyutuyla ilgileniyordu.

Zeno’nun uzay, zaman ve hareket hakkında kaleme aldığı, sonsuzluğun baş döndürücü ve şaşırtıcı bir rol oynadığı bu paradokslar günümüzde hala bilim dünyasında tartışılmaya devam ediliyor. Yazılarından hiçbiri günümüze ulaşmadığı için Zeno’nun neyi kanıtlamaya çalıştığından emin değiliz. Argümanları, Platon ve Aristoteles aracılığıyla bize ulaştı. Anlattıklarında Zeno, değişimin imkansız olduğunu kanıtlamaya çalışıyordu. Duyularımız bize aksini söylese de Zeno’ya göre değişim bir yanılsamaydı. Neyse ki matematik sayesinde duyularımıza güvenmek zorunda kalmadan cevaplar bulabiliyoruz.



Kaynaklar ve İleri Okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu