Çift kefeli terazi, binyıllar boyunca ticaretin temel araçlarından biri olmuş, günümüzde hâlâ gelişmekte olan ülkelerin canlı kırsal pazarlarında rastlanan bir ölçüm aracıdır. Bu tür teraziler, hem bilimde hem de sanatta da sembolik bir nesne olarak öne çıkar.
Bilimde, ağırlık kavramının temelini oluşturur. Bu, Arşimet’in ünlü ilkesiyle başlayan tarihsel sürecin bir parçasıdır. Arşimet gerçekten “Eureka” diye bağırmış olmasa da, onun buluşu modern kimyada kullanılan hassas terazilere ve en sonunda Dalton’un atom kuramına zemin hazırlamıştır. Sanat ve beşerî bilimlerde ise çift kefeli terazi; denge, eşitlik ve adaletin simgesi olarak görülür.
Rekreatif matematikte ise bu teraziler, özellikle sahte paraları bulmaya yönelik mantık bilmecelerinde sıkça kullanılır. Bu tür sorularda, görünüşte benzer paralar karşılıklı tartılarak farklı ağırlıktaki sahte para bulunmaya çalışılır. Sahte para ya daha hafiftir ya da daha ağır.
Bu tür bulmacalar, tüm olasılıkların dikkatle düşünülmesini gerektirdiği için güçlü bir mantıksal düşünme alıştırması sunar. Ayrıca genelleme becerisini geliştirerek, belli sayıda tartmayla kaç parayı test edebileceğinizi tanımlayan formüllere ulaşmanızı sağlar.
Bu yazıda, size iki klasik bulmaca sunalım. ( Not: Sorularda standart ağırlıklar verilmemiştir. Paraları birbirine karşı tartmanız gerekir. Ayrıca terazinin hassaslığı, tek bir hafif ya da ağır parayı algılayacak düzeydedir.
Sahte Para Bulmacası 1
Elinizde dış görünüşleri aynı olan sekiz madeni para var. Bunlardan biri sahte ve diğerlerinden daha hafif. Sahte olanı sadece iki tartıyla bulmanız gerekiyor.
Bir problemin basit versiyonuyla başlamak, çözümün mantığını kavramayı kolaylaştırır. Örneğin, sadece üç para olduğunu düşünelim. Bunlardan biri hafif, diğer ikisi eşit ağırlıkta. Rastgele iki parayı tartarsak, ya denge olur ya da biri hafif çıkar. Denge sağlanırsa, üçüncü para sahtedir; denge sağlanmazsa, hafif olan doğrudan bellidir. Yani üç para için yalnızca bir tartı yeterlidir.
Bu mantığı sekiz paraya uygulamak mümkündür. İlk tartımda herhangi üç parayı, başka üç parayla karşılaştırın. Tartı dengede değilse, hafif para bu altı arasında bulunur. İkinci tartıda, bu altılı grubun içinden iki para seçip birbirleriyle tartarak sahte olanı bulabilirsiniz. Eğer ilk tartı dengede kalırsa, sahte para geri kalan iki paradandır; bu durumda ikinci tartıda onları karşılaştırmanız yeterlidir.
Bu strateji, sekiz parayı yalnızca iki tartıda çözebileceğinizi gösterir. Hatta dikkat edilirse, dokuz para için bile aynı yöntem geçerlidir. İlk altı para tartılır, kalan üç paradan biri sahte olabilir. Bu durumda da ikinci tartıda doğru parayı bulmak mümkündür.
Genelleyecek olursak: Her tartıyla paraları üçlü gruplara ayırarak eleme yapabiliyorsak, her tartı adımı çözebileceğimiz maksimum para sayısını üç katına çıkarır. Bu nedenle, x tartıyla ayırt edilecek en fazla para sayısı, n = 3x olacaktır.
Sahte Para Bulmacası 2
Birbirine benzeyen 12 adet para var. Bunlardan biri diğerlerinden farklı. Fakat bu farklı olan paranın daha ağır mı yoksa daha hafif mi olduğunu bilmiyoruz. Sadece üç tartım yaparak, farklı olan parayı bulmamız ve bu paranın daha ağır mı yoksa daha hafif mi olduğunu tespit etmemiz gerekiyor.
Bu sorunun çözümü için farklı bir bakış açısıyla düşünmeniz gerekecek. Öncelikle, paraları 1’den 12’ye kadar numaralandırın.Görünüşü aynı olan 12 madeni paranız var. Bunlardan biri sahte ve diğerlerinden ya daha ağır ya da daha hafif. Amacınız bu parayı yalnızca üç tartımda bulmak ve daha ağır mı yoksa hafif mi olduğunu da belirlemektir.
Bu problem için etkili bir yöntem, ilk olarak 4 parayı diğer 4 parayla karşılaştırmaktır. Örneğin, 1, 2, 3 ve 4 numaralı paraları; 5, 6, 7 ve 8 numaralı paralarla tartarsınız. Eğer terazi dengede kalırsa, bu sekiz paranın hepsinin düzgün olduğu anlaşılır. Bu durumda sahte paranın geri kalan 9, 10, 11 veya 12 numaralı paralardan biri olduğu kesinleşir.
Bu durumda ikinci tartımda 9, 10 ve 11 numaralı paraları daha önce düzgün olduğu bilinen 1, 2 ve 3 numaralı paralarla tartarsınız. Bu tartım da dengede kalırsa, sahte paranın 12 numaralı olduğu anlaşılacaktır. Son tartımda bu parayı düzgün bir parayla karşılaştırarak daha ağır mı yoksa hafif mi olduğunu kesin olarak öğrenirsiniz.
Eğer ikinci tartım dengesizse, sahte para 9, 10 ya da 11 numaralı paralardan biridir. Terazinin yönü, sahte paranın hafif mi ağır mı olduğunu da gösterir. Son tartımda bu üç paradan ikisi birbiriyle tartılır. Terazi dengede kalırsa, sahte para üçüncüsüdür. Terazi dengesizse, hangi paranın ikinci tartıdaki hareketle aynı yönde davrandığına bakarak sahte parayı kesin olarak belirlersiniz.
Eğer denge yoksa
İlk tartımda denge bozulursa, sahte para tartılan 8 para arasındadır. Diyelim ki 1, 2, 3 ve 4 numaralı paraların olduğu taraf aşağı inerken 5, 6, 7 ve 8 yukarı kalktı. Bu durumda sahte para ya ağır olan ilk dörtte ya da hafif olan diğer dörtte yer alır.
İkinci tartımda 1, 2 ve 5 numaralı paralar; 3, 4 ve 6 numaralı paralarla karşılaştırılır. Eğer bu tartım dengede kalırsa, sahte para 7 ya da 8 numaralı paradır. Üçüncü tartımda bu ikisini birbirine karşı tartarsınız. Yukarı çıkan para hafif ve sahte olandır. Eğer ikinci tartım dengesizse, ilk ve ikinci tartımlarda hangi paraların hangi konumda olduğuna bakarak sahte parayı ve ağırlık farkını net olarak belirlemek mümkündür.
Sonuç Olarak
Bu problemdeki temel fikir şu: Her tartımda sadece “ağır taraf”, “hafif taraf” veya “denge” olmak üzere üç farklı sonuç ortaya çıkar. Dolayısıyla, her tartım aslında üç farklı durumu ayırt edebilecek bilgi sağlar.
Örneğin sadece bir tartımınız varsa, en fazla 3 durumu ayırt edebilirsiniz. İki tartım yaparsanız her biri 3 sonuç verdiğinden, toplamda 3 × 3 = 9 farklı sonuç kombinasyonu elde edersiniz. Üç tartımda ise bu sayı 3 × 3 × 3 = 27 olur.
Şimdi şu soruyu soralım: Bu 27 farklı sonuç kombinasyonu, kaç farklı parayı ve bu paraların hem “ağır” hem de “hafif” olma ihtimalini ayırt etmeye yeter? Her para için iki olasılık var: ya ağır ya hafif. Yani 1 paraya 2 durum düşer. 2 para → 4 durum, 3 para → 6 durum, 13 para → 26 durum. Bu da 27 durumluk kapasiteye tam olarak sığar. Bu nedenle üç tartım, maksimum 13 paranın hem yerini hem de hangi yönden sahte olduğunu (hafif mi ağır mı) bulmaya yeter.
Yazımızın devamında okumaya devam etmek isterseniz bu yazımıza göz atabilirsiniz. 1982 Yılında Sorulan Ve Herkesin Yanlış Anladığı SAT Sorusu. Daha fazla sahta para bulmacasına erişmek isterseniz de kaynaklardaki yazılardan devam edebilirsiniz.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Seeking Mathematical Truth in Counterfeit Coin Puzzles. Yayınlanma tarihi: 29 Temmuz 2022. Kaynak site: Quanta. Bağlantı: Seeking Mathematical Truth in Counterfeit Coin Puzzles
- The Twelve-Coin Problem. Yayınlanma tarihi: 21 Temmuz 2014. Kaynak site: NY. Times Bağlantı: The Twelve-Coin Problem
Matematiksel
