Çift kefeli terazi, binyıllar boyunca ticaretin temel araçlarından biri olmuştur. Aynı zamanda denge, eşitlik ve adaletin simgesi olarak görülür. Matematikte ise bu teraziler, özellikle sahte paraları bulmaya yönelik mantık bilmecelerinde sıkça kullanılır.
Bulmacalar çoğu zaman çözücünün dünyasına uygun bir bağlam içinde sunulur. Soyut matematik ya da mantık, malların ağırlıkları, sıvıların hacimleri ya da yolculuk süreleri gibi somut kavramlar üzerinden anlatılır. Sahte paralar, şarap testileri, otomobiller ve trenler de kendi türlerinin bilinen ögeleri olarak bu bulmacalarda yer alır.
Bu türün klasik sorularından biri sahte parayı bulma bulmacasıdır. En basit halinde sahte paranın daha hafif olduğu bilinmektedir. İki kefeli bir terazi kullanırsınız ve birkaç tartıyla bu hafif parayı belirlemeniz gerekir.
Örneğin yalnızca iki kez tartarak, içinde tek bir sahte para bulunan en fazla kaç parayı ayırt edebilirsiniz? Bu soruya basit bir gözlemle yaklaşabiliriz. Üç para arasından sahte olanı tek tartıyla bulabilirsiniz. A parasını B parasıyla tartarsınız. Terazi dengede kalırsa sahte para C’dir. Denge bozulursa havada kalan para aradığınız hafif sahte paradır.
Dokuz para için üçer paradan oluşan üç grup oluştururuz. A+B+C grubunu D+E+F grubuyla tartarız. Terazi dengede kalırsa sahte para diğer üçlüdedir. Denge bozulursa sahte para hafif olan gruptadır. Her iki durumda da elimizde yalnızca üç aday kalır. Üç adayın içinden sahteyi bulmak için tek tartı yetecektir.
Bu düşünce, herhangi bir para grubunda kaç tartının gerektiğini çabucak gösterir. Yirmi yedi para için üç tartı yeterlidir. Seksen bir para için dört tartı gerekir. İki yüz kırk üç para için beş tartı gerekir. Böylece sayı, üçün kuvvetleri boyunca artar.
Ancak sorun, sahte paranın gerçek paralardan daha ağır mı yoksa daha hafif mi olduğunu bilmediğimiz durumda çok daha karmaşık hale gelir.
12 Para Bulmacası
On iki paradan oluşan bir grupta bir sahte para bulunduğunu biliyoruz. Sahte paranın ağırlığının diğerlerinden farklı olduğunu da biliyoruz. Ancak onun daha ağır mı yoksa daha hafif mi olduğunu bilmiyoruz. Peki bu sahte parayı yalnızca üç tartıyla, iki kefeli bir terazi kullanarak nasıl belirleyebiliriz?
İlk tartıda 1+2+3+4 ile 5+6+7+8’i karşılaştırırız. Terazi dengede kalırsa sahte paranın 9, 10, 11 ya da 12 arasında olduğunu anlarız. Bu durumda ikinci tartıda 9+10+11’i 1+2+3 ile tartarız. Bu üç paranın sağlam olduğunu biliyoruz.
İkinci tartı dengede kalırsa sahte para 12’dir. Üçüncü tartıda 12’yi 1 ile tartarak onun daha ağır mı yoksa daha hafif mi olduğunu belirleriz.
İkinci tartı dengede kalmazsa sahte para 9, 10 veya 11 arasındadır. Terazinin hangi tarafının ağır olduğuna bakarak sahte paranın ağır mı hafif mi olduğunu da öğreniriz.
Üçüncü tartıda 9’u 10 ile tartarız. Terazi dengede kalırsa sahte para 11’dir. Denge bozulursa sahte paranın ağır mı hafif mi olduğunu bildiğimiz için 9 ile 10’dan hangisinin sahte olduğunu hemen belirleriz.
Eğer denge yoksa
İlk tartı olan 1+2+3+4 ile 5+6+7+8 dengede kalmazsa bir taraf diğerinden ağırdır. Ağırlığın 1+2+3+4 tarafında olduğunu varsayalım. Bu durumda ikinci tartıda 1+2+5’i 3+4+6 ile tartarız. Terazi dengede kalırsa sahte para 7 ya da 8 arasındadır ve ikisi de hafif olabilir. Bunu anlamak için üçüncü tartıda 7’yi 1 ile tartarız.
Geriye tek bir olasılık kalır. İkinci tartı dengede kalmazsa ve ağırlık 1+2+5 tarafındaysa sahte para üç adaydan biridir. Ya 1 ya da 2 ağırdır ya da 6 hafiftir. Son tartıda 1’i 2 ile tartarız. Terazi dengede kalırsa sahte para 6’dır ve hafiftir. Denge bozulursa ağır olan sahte paradır.
Sonuç Olarak
1991 Moskova Matematik Olimpiyatı’nda birçok yarışmacıyı zorlayan başka bir tartı bulmacası daha vardır. Bu bulmacayı Sergei Tokarev hazırlamıştır.
Elimizde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 gramlık altı ağırlık var. Bu ağırlıklar görünüş olarak aynıdır. Yalnızca üzerlerinde 1’den 6’ya kadar etiketler var. Fakat bu etiketler doğru ağırlıklara yerleştirilmemiş olabilir. İki kez tartı yaparak etiketlerin doğru olup olmadığını nasıl anlayabiliriz?
İlk tartıda 1, 2 ve 3 etiketi taşıyan ağırlıkları 6 etiketli ağırlığa karşı tartarız. Terazi dengede kalmazsa bir hata olduğunu hemen anlarız. Denge sağlanırsa bu denklik yalnızca üç ağırlığın toplamının tek bir ağırlığa eşit olduğu durumda gerçekleşebilir.
Geriye yalnızca iki tür hata kalır. Ya 1, 2 ve 3 etiketli ağırlıklar kendi aralarında yanlış dizilmiştir ya da 4 ve 5 etiketli ağırlıklar yer değiştirmiştir.
| Sonuç | Yorum |
|---|---|
| Denge yok | Etiketlerde hata var. |
| Denge var | İkinci tartıya geçilir. 6 etiketi doğrudur. 1, 2, 3 toplamı 6 gramdır. |
İkinci tartıda 1+6’yı 3+5’e karşı tartarız.
| Sonuç 1 | Sonuç 2 | Yorum |
|---|---|---|
| Denge yok | – | Etiketlerde hata var. |
| Denge var | 1+6 = 3+5 | Etiketlerde hata var. |
| Denge var | 1+6 ağır | Etiketlerde hata var. |
| Denge var | 3+5 ağır | Etiketler doğru. |
Sonuç olarak ikinci tartının sonucuna bakarak etiketlerde hata olup olmadığını kesin olarak anlarız.
Okumaya devam etmek isterseniz bu yazımıza göz atabilirsiniz. 1982 Yılında Sorulan Ve Herkesin Yanlış Anladığı SAT Sorusu. Daha fazla sahta para bulmacasına erişmek isterseniz de kaynaklardaki yazılardan devam edebilirsiniz.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Seeking Mathematical Truth in Counterfeit Coin Puzzles. Yayınlanma tarihi: 29 Temmuz 2022. Kaynak site: Quanta. Bağlantı: Seeking Mathematical Truth in Counterfeit Coin Puzzles
- The Twelve-Coin Problem. Yayınlanma tarihi: 21 Temmuz 2014. Kaynak site: NY. Times Bağlantı: The Twelve-Coin Problem
Matematiksel
