Her yıl 14 Mart’ta kutlanan Pi Günü, matematiğin en ünlü sayılarından biri olan π’yi hatırlamak için iyi bir fırsat sunar. Bugün aynı zamanda sınıfta öğrencilerle ya da evde çocuklarla birlikte Pi sayısını hesaplamaya yönelik küçük deneyler yapmak da mümkündür.
Elinize yuvarlak bir nesne alın. Önce çemberin çevresini ölçün. Ardından en geniş kısmından geçen çapı ölçün. Çevreyi çapa böldüğünüzde yaklaşık olarak π sayısını elde edersiniz. Sonuç genellikle 3,14159… civarında çıkar.
Ancak π yalnızca çember ölçerken karşımıza çıkmaz. Bazen rastgele görünen deneylerde de ortaya çıkar. Örneğin rastgele atılan iğneler ya da yazı-tura atışları bile π ile ilişki kurabilir. Bazı durumlarda bunun nedeni açıktır: Problemde çemberler veya açılar varsa π doğal olarak ortaya çıkar. Fakat bazen çemberler problemin içinde gizlidir. Hatta kimi durumlarda π’nin neden ortaya çıktığı hâlâ matematiksel bir gizem olarak kalır.
Kare içinde çember yöntemi ile Pi sayısını hesaplama
Rastlantıyı kullanarak π’yi tahmin etmenin en basit yollarından biri kare–çember yöntemidir. Kenar uzunluğu 2 olan bir kare düşünün. Bu karenin içine yarıçapı 1 olan bir çember yerleştirin. Çember, karenin kenarlarına tam değecek şekilde yerleşmiş olsun.
Şimdi karenin içine rastgele noktalar işaretleyin. Bu noktaların bir kısmı çemberin içine, bir kısmı ise dışına düşecektir. Nokta sayısı arttıkça çemberin içine düşen noktaların oranı yaklaşık olarak π⁄4 değerine yaklaşır. Bunun nedeni basittir: Çemberin alanı π, karenin alanı ise 4’tür. Dolayısıyla alanların oranı π⁄4 olur.
Örneğin kare içine 1000 rastgele nokta attığımızı düşünelim. Eğer bu noktalardan 785’i çemberin içine düşerse hesaplama şöyle olur:
Buffon’un iğne deneyi ile Pi sayısını hesaplama
Bu problem, 18. yüzyılda Fransız doğa bilimci Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon tarafından ortaya atıldığı için “Buffon’un İğne Problemi” olarak bilinir.
Yani l = d = 1. Bu durumda, çubuğun tamamen rastgele bırakıldığını varsayarsak, çizgilere temas etme olasılığı yaklaşık olarak 2/π olur.
Bir karton parçası ve bir iğne alın. Kartonun üzerine, örneğin, 10 tane paralel çizgi çizin. Bu çizgiler arasındaki mesafe, iğnenin boyundan biraz daha büyük olmalıdır. Diyelim ki iğne 40 mm uzunluğunda; bu durumda çizgiler arasındaki mesafe 45 mm olabilir. Ardından iğneyi havaya atın ve rastgele kartonun üzerine düşmesini sağlayın.
Bu deneyin amacı, iğnenin toplam atış sayısı ile çizgilere temas ettiği atış sayısı arasındaki ilişkiyi gözlemlemektir. Sonuçları dikkatle kaydederseniz, iğne atışlarının sayısı arttıkça toplam atış sayısının çizgilere temas eden atış sayısına oranının π sayısına yaklaştığını fark edersiniz.
Diyelim ki şu deneyi yaptınız: İğnenin uzunluğu 40 mm, çizgiler arasındaki mesafe 45 mm ve toplam iğne atışı sayısı 200’dür. Deney sonunda iğnenin 31 kez çizgilere temas ettiğini gözlemlediniz. Şimdi bu verileri kullanarak π değerini hesaplayabiliriz.
Yazı-tura ile Pi sayısını hesaplama
π sayısını yaklaşık olarak hesaplamanın ilginç yollarından biri de matematikçi James Propp tarafından önerilen yazı-tura deneyidir. Bir madeni para alın ve yazı-tura atın. Sonuçları kaydedin. Yazı sayısı tura sayısından bir fazla olana kadar atışlara devam edin. Deney sona erdiğinde yazı sayısının toplam atış sayısına oranını not edin.
Örneğin ilk atış yazı gelirse hemen durursunuz ve sonuç 1 olur. Eğer sırasıyla tura, yazı, tura, yazı, yazı gelirse toplam beş atış yapmış olursunuz. Bu durumda oran 3⁄5 olur. Bu deney çok sayıda kez tekrarlandığında elde edilen ortalama sonucun π⁄4 değerine yaklaştığı görülür.
Bu yöntemin matematiksel açıklaması oldukça karmaşıktır. Hesaplamalarda ortaya çıkan sonsuz bir toplam, arcsin adı verilen trigonometrik fonksiyonla ilişkilidir. Bu fonksiyon da π sayısıyla yakından bağlantılıdır.
Sarkaç ile Pi sayısını hesaplayalım
Basit bir sarkaç kullanarak π sayısının değerini yaklaşık olarak hesaplayabilirsiniz. Bunun nedeni, sarkacın hareketinin matematiksel olarak basit harmonik hareketle açıklanmasıdır. Bu hareket aslında çembersel hareketin tek boyutlu bir görünümüdür.
Uzunluğu yaklaşık 245 cm olan bir ipin ucuna bir ağırlık bağlayın ve ipi sallayın. Bu sarkacın bir tam salınım yapması yaklaşık π saniye sürer.
Burada T saniye cinsinden periyodu, L sarkacın uzunluğunu ve g ise yaklaşık 9,8 m/s² olan yerçekimi ivmesini gösterir. L değerini g/4 olarak aldığımızda formül sadeleşir ve periyot yaklaşık π saniye olur. Periyot, sarkacın bir tam salınım yapması için geçen süredir.
Sonuç Olarak
Bu yöntemlerin hiçbiri π sayısını tam olarak hesaplamak için pratik değildir. Örneğin π’yi yalnızca 3,14 doğruluğunda tahmin etmek için yaklaşık bir trilyon yazı-tura atışı gerekebilir. Bunun nedeni, bazı deneylerin çok uzun sürebilmesidir. Yazı sayısının tura sayısını geçmesi bazen çok sayıda atış gerektirir.
Yine de bu deneyler matematiğin ilginç bir yönünü gösterir. Rastgele görünen süreçler bazen beklenmedik biçimde π gibi temel sabitlerle bağlantı kurabilir. Matematikçiler için bu tür bağlantıları keşfetmek hem şaşırtıcı hem de keyiflidir.
Bu nedenle Pi Günü’nde birçok kişi π’yi bulmanın verimsiz ama eğlenceli yollarını denemeyi bir gelenek hâline getirir. Rastgele noktalar üretmek ya da iğneler atmak π’ye ulaşmanın alışılmadık ama öğretici yollarından bazılarıdır.
Kaynaklar ve ileri okumalar
How to find pi in randomness all around you. Kaynak site: Scientific American. Yayınlanma tarihi: 12 mart 2020. Bağlantı: How to find pi in randomness all around you
Matematiksel
