Matematikte “Kaç sayı vardır?” sorusu, anlamlı değildir. Çünkü saymaya başlasanız ve ömrünüz boyunca durmaksızın devam etseniz bile, asla sona ulaşamazsınız. Bu nedenle doğal sayılar kümesinin sonsuz sayıda eleman içerdiğini söyleriz. Ancak, matematikçiler için bu yanıt yeterli değildir.
Ekim 2018’de, İngiltere’deki East Anglia Üniversitesi’nden matematikçi David Asperó, İtalya’daki tatili sırasında arabayla pansiyonlarına giderken uzun süredir üzerine düşündüğü bir sorunun çözümünü buldu. Hemen Almanya’daki Münster Üniversitesi’nden çalışma arkadaşı Ralf Schindler ile iletişime geçerek keşfini paylaştı.
Bu ispat, Mayıs 2021’de yayımlandı. Asperó ve Schindler’in çalışması, sonsuzlukla ilgili iki rakip aksiyomu birleştiriyor ve bunlardan birinin diğerini zorunlu kıldığını gösteriyordu. Bu sonuç, her iki aksiyomun da doğru olabileceği fikrini destekliyor; dolayısıyla süreklilik hipotezine karşı öne sürülen argümanları da güçlendiriyor.
1878 yılında ortaya atılan bu ünlü hipotez, farklı sonsuzluk düzeyleriyle ilgilidir. Asperó ve Schindler’in bir araya getirdiği aksiyomlar, süreklilik hipotezinin yanlış olabileceğini öne sürüyor. Üstelik bu çalışma, daha önce var olduğu düşünülmeyen, iki bilinen sonsuzluk büyüklüğü arasında yeni bir sonsuzluk düzeyinin bulunduğuna işaret ediyor.
Bu gelişme, süreklilik hipotezinin geçersiz olduğunu düşünen matematikçiler için önemli bir zafer olarak görülüyor. Ancak, hipotezin doğru olduğunu savunan ve bambaşka bir sonsuzluk anlayışını benimseyen bir diğer matematikçi grubu da var. Bu nedenle tartışma hâlâ sürüyor.
Sonsuzdan Büyük Sonsuz Ne Anlama Gelir?
1873 yılında, Alman matematikçi Georg Cantor, matematik dünyasını derinden etkileyen bir keşfe imza attı. Sayı doğrusunu dolduran “gerçel” sayıların sayısı, “doğal” sayılardan daha fazlaydı. Oysa her iki küme de sonsuz sayıda eleman içeriyor gibi görünüyordu. Ama mesele bu kadarla sınırlı değildi.
Örneğin, doğal sayılarla tek sayıları karşılaştıralım. İlk bakışta, doğal sayıların daha fazla olduğunu düşünebilirsiniz; çünkü tek sayılar, doğal sayıların yalnızca yarısını oluşturur gibi görünür. Ancak Cantor, bu iki kümenin elemanlarının bire bir eşleştirilebileceğini gösterdi.
Bu da demek oluyor ki, bu iki sonsuz küme aslında aynı büyüklüğe, yani Cantor’un tanımıyla aynı “kardinalite”ye sahiptir. Cantor, bu ortak büyüklüğü ℵ₀ (alef-sıfır) sembolüyle ifade etti. Buna karşılık, gerçel sayıların kardinalitesi, doğal sayılarınkinden daha büyüktür.
Sonsuzluk yalnızca tek bir düzeye sahip değildir. Cantor, herhangi bir sonsuz kümenin kuvvet kümesinin — yani o kümenin tüm alt kümelerinden oluşan kümenin — her zaman daha büyük bir kardinaliteye sahip olduğunu keşfetti. Bu bulgu, ardışık kardinal sayıların oluşturduğu sonsuzluklar hiyerarşisini ortaya çıkardı.
Cantor, bu muazzam yapının tamamını kavramaya çalışmadan önce, ilk birkaç basamağı inceledi. Doğal sayıların çeşitli sıralama biçimlerinden (örneğin küçükten büyüğe ya da önce tek sayılar gelecek şekilde) oluşan kümenin kardinalitesinin ℵ₁ olduğunu kanıtlamayı başardı. Bu, ℵ₀’ın hemen üzerindeki düzeydi. Cantor’un ünlü süreklilik hipotezi de işte bu noktadan doğdu.
Süreklilik Hipotezi Nedir?
Cantor’a göre gerçel sayıların kardinalitesi tam olarak ℵ₁ idi. Yani, doğal sayıların kardinalitesi olan ℵ₀’dan hemen sonraki sonsuzluk düzeyi, gerçel sayılarla temsil ediliyordu. Bu görüşe göre, iki seviye arasında başka hiçbir sonsuzluk türü yoktu. Ancak Cantor’un büyük hayal kırıklığı, bu varsayımı ispatlayamaması oldu.
1900 yılında, matematikçi David Hilbert, hazırladığı ünlü 23 sorunluk listede süreklilik hipotezine ilk sırayı verdi. Hilbert, yeni filizlenen sonsuzluk matematiğine — kendi ifadesiyle “Cantor’un cenneti”ne — hayranlık duyuyordu. Ona göre süreklilik hipotezi, bu cennetin en erişilebilir meyvesiydi. Ne var ki, geçen yüzyılda yapılan çarpıcı keşifler, Cantor’un sorusunu bir çıkmaza dönüştürdü.
Sorunun derinliği, 1931’de Avusturya doğumlu mantıkçı Kurt Gödel’in çığır açan keşfiyle gün yüzüne çıktı. Gödel, matematiğin temeli olarak hangi aksiyom kümesini seçerseniz seçin, bu sistemin kaçınılmaz biçimde eksik olacağını kanıtladı. Yani, hangi kurallar dizisiyle çalışırsak çalışalım, sistemin sınırları dışında kalan; kanıtlanamayan ama yine de doğru olan matematiksel ifadeler her zaman var olacaktır.
Gödel’e göre, süreklilik hipotezi de bu tür ifadelerden biriydi. Yani, matematiğin standart temeli olan aksiyomlardan bağımsız bir problemdi. Bu temel aksiyomlar, toplamda 10 tanedir ve ZFC (Zermelo–Fraenkel aksiyomları + seçim aksiyomu) olarak bilinir. Modern matematiğin neredeyse tamamı bu sistem üzerine inşa edilmiştir.
1940 yılında, Gödel ZFC aksiyomlarını kullanarak süreklilik hipotezinin yanlış olduğunu ispatlamanın mümkün olmadığını gösterdi. Yani bu sistem içinde hipotezi çürütmek olanaksızdı. Ardından 1963’te Amerikalı matematikçi Paul Cohen, tersini kanıtladı.
Gödel ve Cohen’in çalışmaları bir araya geldiğinde, süreklilik hipotezinin ZFC aksiyomlarıyla ne doğrulanabilir ne de çürütülebilir olduğu — yani bu sistemden bağımsız olduğu — ortaya çıktı.
Günümüzde Süreklilik Hipotezi Ne Durumda?
Cohen’in çalışmasından bu yana, küme kuramcıları sonsuzluk matematiğinin temellerini sağlamlaştırmak amacıyla ZFC aksiyom sistemine en az bir yeni aksiyom eklemeye çalışıyorlar. Bu yeni aksiyom, sonsuz kümelerin yapısını aydınlatmalı, doğal ve zarif teoremler üretmeli, ölümcül çelişkilerden kaçınmalı ve nihayetinde Cantor’un cevapsız kalan sorusuna ışık tutmalıdır.
Gödel ise kendi görüşü doğrultusunda süreklilik hipotezinin yanlış olduğuna inanıyordu. Ona göre gerçel sayıların kardinalitesi ℵ₂ olmalıydı. Bu noktada, süreklilik hipotezi etrafında şekillenen iki rakip aksiyom önerisi ortaya çıktı. Bu aksiyomları anlamak için 1963 yılına, Paul Cohen’in çalışmalarına dönmek gerekir.
Cohen, o yıl “forcing” adını verdiği bir yöntem geliştirdi. Bu teknik, mevcut bir “matematiksel evrene” dışarıdan yeni elemanlar eklemeye imkân tanıyordu. Örneğin, ℵ₁ tane gerçel sayı içeren bir evreni alalım. Forcing yöntemiyle bu evrene ℵ₂, hatta ℵ₃₅ kadar yeni gerçel sayı eklemek mümkündür. Böylece farklı sonsuzluk büyüklükleri elde edilir.
Üstelik forcing yalnızca yeni gerçel sayılarla sınırlı kalmadı. Matematikçiler bu tekniği genelleştirerek, birbirleriyle mantıksal olarak uyuşmayan pek çok farklı “yeni nesne” de ürettiler. Ancak burada temel bir soru belirdi: Farklı forcing yöntemleriyle elde edilen ve birbiriyle çelişen bu nesnelerden hangisi gerçekten “var olan”ı temsil ediyordu?
Schindler ve Asperó’nun Araştırması Neden Önemliydi?
Bu soruna çözüm arayan matematikçiler, çeşitli forcing aksiyomları geliştirdiler. 1988 yılında, matematikçiler Menachem Magidor, Matthew Foreman ve Saharon Shelah bu yaklaşımı zirveye taşıyarak Martin’in Maksimumu adı verilen güçlü bir aksiyom önerdiler. Bu aksiyoma göre, belirli bir tutarlılık koşulunu sağlayan her forcing nesnesi matematiksel olarak “var” kabul edilmeliydi.
Martin’in Maksimumu, ZFC sisteminin doğal bir uzantısı olarak büyük ilgi gördü. Ancak 1990’lı yıllarda Hugh Woodin, süreklilik hipotezini reddeden başka bir aksiyom önerdi. Her iki aksiyom da kendi içinde zarif, tutarlı ve doğal görünüyor. Peki, matematik hangisini tercih etmeli?
İşte bu noktada, Schindler ve Asperó’nun son çalışması devreye giriyor. Yayımladıkları ispat, gerçel sayıların sayısının ℵ₂ olması gerektiğine dair güçlü bir gerekçe sunuyor. Yani Cantor’un varsayımına destek veriyor ve süreklilik hipotezine karşı olan argümanları pekiştiriyor.
Sonuç Olarak
Günümüzde küme kuramcıları, forcing yöntemini kullanarak gerçel sayıların sayısını istedikleri seviyeye — örneğin ℵ₃₅ ya da ℵ₁₀₀₀ — çıkarabiliyor ve bu değişikliklerin matematiksel sonuçlarını ayrıntılı şekilde inceleyebiliyorlar.
Çoğu küme kuramcısı ise, “kaç sayı var?” sorusuna net bir cevap bulamayacak olsa da matematiksel çoklu evrenden çıkmak ve tek bir resmin arkasında birleşmek istiyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer. Yayınlanma tarihi: Kaynak Site: Bağlantı: How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer.
- Asperó, & Schindler,. (2021). Martin’s Maximum++ implies Woodin’s axiom (*). Annals of Mathematics. 193. 793. 10.4007/annals.2021.193.3.3.
Matematiksel
