On dokuzuncu yüzyılın sonuna kadar hiçbir matematikçi sonsuzu düşüncesinin ötesinde tanımlamayı başaramamıştı. Georg Cantor böylesine soyut bir kavramı tam olarak ele alan ilk kişiydi.
Sonsuzluğun doğası her zaman tartışmalı bir konu olmuştur. Antik çağda, bu konu Elealı Zeno’nun ünlü paradokslarında ortaya çıktı. Newton fiziğinin başarısı büyük ölçüde, sonsuz küçük değişim oranlarının hesabını yapan kalkülüsün ortaya çıkışına dayanır. Ancak bu fikrin matematiksel olarak kesin bir biçimde formüle edilmesi 200 yılı aşkın süre boyunca mümkün olmadı.
Modern dönemde, sonsuzlukla ilgili problemler kümeler kuramında kendini gösterdi. Bu kuram, çağdaş matematiğin neredeyse tamamı için temel oluşturur. Ayrıca tarih boyunca sonsuzluk fikri, bu kavramın kabulünü ya da reddini etkileyen teolojik yorumlara da konu oldu. Tüm bu düşünsel akımlar, Alman matematikçi Georg Cantor’un çalışmasında birleşti.
Cantor’un transsonsuz sayıların ( sonsuz ötesi) aritmetiğini geliştirerek sonsuzluk fikrine matematiksel bir içerik kazandırdı. Bu sayede soyut kümeler kuramının temellerini attı. Kalkülüsün yapısına önemli katkılar sağladı. Cantor’un belki de en dikkat çekici başarısı, matematiksel olarak gösterdiği üzere, sonsuzluğun tek bir biçimi olmadığını kanıtlamasıdır.
Örneğin, bir doğru üzerindeki tüm noktaların kümesi ile tüm kesirli sayıların kümesi sonsuzdur. Cantor, ilk kümenin daha “büyük” olduğunu ispatladı. Bu fikir çağdaşları için sezgiye aykırıydı..
Ünlü Fransız matematikçi Henri Poincaré, bunu “matematiğin bir gün iyileşeceği bir hastalık” olarak nitelendirdi. Cantor’un hocalarından biri olan Leopold Kronecker ise doğrudan Cantor’u hedef aldı. Onu “bilimsel bir sahtekâr”, “hain” ve “gençliği yozlaştıran biri” olarak tanımladı. Peki Georg Cantor ile ilgili bu kadar tartışmalı olan nedir? Bunu anlayabilmeniz için öncelikle onu kısaca tanımanız gerekiyor.
Kısaca Georg Cantor Kimdir?
Georg Cantor, 3 Mart 1845’te Rusya’nın St. Petersburg kentinde doğdu. Okul yılları boyunca matematikte olağanüstü bir yetenek gösterdi ve 1860 yılında liseyi üstün başarıyla bitirdi. Ardından İsviçre Federal Politeknik Okulu’nda ve Berlin Üniversitesi’nde matematik eğitimi aldı.
Cantor, farklı matematik alanlarında dersler aldı; sayı kuramı üzerine bir doktora tezi yazdı, ancak esas ilgisi reel sayılar ve sonsuz seriler kuramına yönelmişti. 1867 yılında doktorasını tamamladı. İki yıl sonra Halle Üniversitesi’nde öğretim görevlisi oldu. Bu görev düşük maaşlıydı. Cantor, yaşamını babasından kalan miras sayesinde sürdürdü. 1874 yılında Vally Guttmann ile evlendi. Beş çocuklu mutlu bir aile kurdular.
1879’da profesörlük unvanını aldı ve yaşamı boyunca kümeler kuramı üzerine çalışmaya devam etti. Berlin’de daha saygın bir akademik pozisyon elde etmeyi umuyordu, ancak eski hocalarından Leopold Kronecker, bu yöndeki tüm girişimlerini engelledi. Kronecker, Cantor’un kümeler kuramını sert biçimde eleştiriyordu.
George Cantor’un Sonsuzluk İle İlgili Fikirleri
Cantor’un ilk önemli çalışmaları matematiksel analiz alanına girer. Reel sayılar sistemi o dönemde hâlâ bazı yönleriyle eksikti. Cantor’un “temel diziler” (günümüzde Cauchy dizileri) üzerine yaptığı erken dönem çalışmaları, bu sistemin temelini güçlendirdi. Bu sayede, her reel sayının rasyonel sayı dizisinin limiti olarak gösterilebileceği ortaya kondu. Ayrıca sonsuz seriler ve sonsuz çarpımlar içeren başka tanımlar da sundu.
1873 yılında Dedekind ile yaptığı yazışmalardan sonra, reel sayıların kümesinin doğal sayılar kümesiyle birebir eşlenip eşlenemeyeceği sorusuna yöneldi. Bu tür bir eşleme mümkün olsaydı, ilgili küme “sayılabilir” adlandırılırdı. Rasyonel sayıların sayılabilir olduğu biliniyordu, ancak kimse bu yeni soruyu sormamıştı. Cantor’un bu soruya verdiği olumsuz yanıt, modern kümeler kuramının başlangıcı oldu.
Cantor’un temel çalışmalarının büyük bölümü, 1874 yılında yayımlanan “Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (“Tüm reel cebirsel sayıların özüne ait bir özellik hakkında”) adlı makalesinde yer alır. Bu çalışmada, sonsuzluk hiyerarşisinin sınırlarını çizmeye başlar. Sayılabilir kümeler ile süreklilik “gücüne” sahip kümeler (yani sayılamayan kümeler) arasındaki farkı ortaya koyar. Sayılamayan kümeler, daha yüksek bir sonsuzluk türünü temsil eder.
Bir Sonsuzluk Diğerinden Nasıl Büyük Olur?
Herhangi bir kümeden yola çıkıldığında, o kümenin alt kümelerinin tamamını içeren yeni bir küme, yani güç kümesini oluşturmak mümkündür. Cantor, bu güç kümesinin, başlangıçtaki kümeyle birebir eşlenemeyeceğini matematiksel olarak kanıtladı. Bu da güç kümesinin, daima daha “büyük” bir sonsuzluğu temsil ettiği anlamına gelir.
Bu fikir, sonsuzlukların kendi içinde derecelere ayrılabileceğini ve her seviyenin üzerinde daha büyük bir sonsuzluğun bulunabileceğini gösterdi. Böylece Cantor, farklı büyüklükte sonsuzluklardan oluşan matematiksel bir yapı tasarladı. Bu yapı içinde özellikle dikkat çeken sorulardan biri, doğal sayıların sonsuzluğu ile reel sayıların sonsuzluğu (süreklilik) arasında başka bir sonsuzluk düzeyi olup olmadığıdır.
Bu soruya “yoktur” yanıtını veren varsayım, süreklilik hipotezi olarak adlandırılır. Cantor, bu hipotezi kanıtlamaya büyük önem verdi ve yaşamının ilerleyen dönemlerinde bu çaba, zihinsel sağlığını da etkileyen bir takıntıya dönüştü.
Süreklilik Hipotezi Nedir?
Günümüzde matematik sonsuzluk kavramıyla iç içedir. Pozitif tam sayıların sonsuzluğu vardır: 0, 1, 2, 3, … gibi. Düzlemde sonsuz sayıda doğru, kare, daire; uzayda sonsuz sayıda küre, küp ve çokyüzlü bulunur. Ancak sonsuzluk da kendi içinde derecelere ayrılır.
Bir küme, eleman sayısı pozitif tam sayılarla birebir eşlenebiliyorsa, yani 1, 2, 3, … gibi sırayla sayılabiliyorsa, “sayılabilir” kabul edilir. Pozitif tam sayılar kümesi bu tanıma uyar; rasyonel sayılar kümesi de sayılabilirdir.
Ancak 1870’lerin başında Georg Cantor, çok önemli bir keşif yaptı. Reel sayılar kümesi, yani 5, 17, 5/12, √–2, π, e gibi sayıların oluşturduğu “süreklilik”, sayılabilir değildir. Bu durum şu doğal soruyu doğurur. Sayılabilir sonsuzluk ile reel sayıların oluşturduğu süreklilik arasında başka bir sonsuzluk düzeyi var mıdır?
Süreklilik varsayımı işte bu soruya odaklanır. Şöyle der: Bir doğru üzerindeki sonsuz bir nokta kümesi verildiğinde, yalnızca iki durum olabilir — bu küme ya sayılabilir ya da tamamı kadar, yani süreklilik kadar büyüktür. Arada başka bir sonsuzluk yoktur.
Cantor, başta bu varsayımı ispatladığını düşündü. Sonra yanlış olduğunu düşündü. En sonunda, cevabı olmadığını kabul etti. Bu durum, Cantor için büyük bir hayal kırıklığıydı. Çünkü bu kadar temel bir soruya bile yanıt verememek, kendi kuramının eksikliği olarak görülüyordu.
Cantor’un kuramları, birçok meslektaşı tarafından alaya alındı; çünkü bu fikirler, matematiksel nesnelerin nasıl davranması gerektiğine dair klasik sezgileri kolayca altüst ediyordu. Ancak çalışmaları 20. yüzyılın başlarında kabul görmeye başladı. Cantor daha sonra çeşitli matematik derneklerine fahri üye olarak kabul edildi. 1884 yılından itibaren depresyonla mücadele etti. 6 Ocak 1918’de, Halle Üniversitesi’ne bağlı bir psikiyatri kliniğinde hayatını kaybetti.
Sonuç Olarak
Cantor’un kümeler kuramındaki cesur çalışmaları, matematiksel düşüncede tamamen yeni ufuklar açtı ve 20. ile 21. yüzyılda temellere, kümeler kuramına, reel analize, mantığa ve fraktal geometrilere yönelik araştırmaları besledi. İnsanlık onun matematiğe katkılarını, ünlü matematikçi Hilbert’in şu sözleriyle hatırlayacaktı. “Hiç kimse bizi Cantor’un kapısını açtığı cennetten kovamayacaktır. “
Kaynaklar ve ileri okulamalar:
- Dauben, Joseph. (2006). GEORG CANTOR’S CREATION OF TRANSFINITE SET THEORY: PERSONALITY AND PSYCHOLOGY IN THE HISTORY OF MATHEMATICS*†. Annals of the New York Academy of Sciences. 321. 27 – 44. 10.1111/j.1749-6632.1979.tb14106.x.
- Georg Cantor; Bağlantı: https://famous-mathematicians.com/
Matematiksel
