En büyük matematiksel fikirlerin üç ortak özelliği vardır: Tanımları basittir, beklenmedik ve estetik özellikler taşırlar, ayrıca ilginç biçimlerde genelleştirilebilirler. Sikloid eğrisi bu üç özelliği de taşır.
Düz bir çizgi boyunca yuvarlanarak ilerleyen bir çemberin üzerindeki sabit bir noktanın izlediği yola sikloid eğrisi denir. Bu eğriye adını veren kişi Galileo Galilei’dir.
Sikloid Eğrisini Kim Buldu?
Sikloid, tarih boyunca matematikçiler arasında birçok tartışmaya yol açtığı için bazen “Geometrinin Helen’i” olarak adlandırılır. Bu tartışmaların başında da şekli kimin keşfettiği sorusu gelir. En eski aday olarak Pisagor’un biyografisini yazan İamblichus gösterilir.
Bunun dışında, birçok bilim insanı bu keşifle ilişkilendirilmiştir. Ancak sikloidleri ciddi biçimde inceleyen ilk kişi Galileo Galilei’dir. Sikloid eğrisinin altındaki alanı anlamaya çalışırken, metal levhalardan modeller yapacak kadar bu konuya ilgi duymuştur. Bu nedenle sikloid eğrisi ile ilgili itibarı genellikle o alır.
Sikloid üzerine düzenlenen yarışmalar, dönemin matematikçileri arasında hem ilgi hem de gerilim kaynağıydı. Tartışmaların ve atışmaların eksik olmadığı bu ortamda, Blaise Pascal dikkat çekici bir yarışma düzenledi. Katılımcılardan sikloidin ağırlık merkezini, alanını ve döndürülmesiyle oluşacak cismin hacmini hesaplamaları istendi.
Bu yarışma sırasında, St. Paul Katedrali’nin tasarımıyla tanınan Christopher Wren (1632–1723), bir ispat sundu. Wren, sikloid yayının uzunluğunun, bu eğriyi oluşturan çemberin çapının tam dört katı olduğunu ispatladı. Bugün integral hesabı kullanılarak kolayca çözülebilecek bir problem gibi görünse de, 1658 yılında bu sonuca ulaşmak önemli bir başarıydı.
Ancak jüri üyelerinden biri bu problemi yıllar önce çözdüğünü fakat hiçbir zaman yazmadığını ileri sürdü. Bu iddia kamuoyuna taşındı ve gerginlik büyüdü. Neyse ki Wren, ispatını yayımladı ve sonunda resmi olarak tanınmayı başardı.
Sikloid Eğrisi Neden İlginç Bir Eğridir?
Sikloid eğrisi gerçekten de ilginç bir eğridir. Uzaktan baktığınız zaman gördüğünüz şekli bir çember yayına benzetmiş olmanız olasıdır. Ancak bu eğrinin denklemlerini çıkarmaya çalışınca bunun bir çember yayı olmadığını görürsünüz. Gerçekten de bir çemberin tam dönüşüyle elde edilen sikloid eğrisinin uzunluğu onu çizen çemberin çapının dört katı, altında kalan alan ise onu çizen çemberin alanının üç katıdır.
Fakat sikloid, bambaşka bir bağlamda, beklenmedik bir şekilde tekrar karşımıza çıkar: Tautokron problemi. Bu problem şunu sorar. Üzerinde bir parçacığın yalnızca yerçekimi etkisiyle hareket ettiği ve nereden bırakılırsa bırakılsın hep aynı sürede aşağıya ulaştığı bir eğri var mıdır? Bu sorunun tek çözümü sikloiddir.
Dahası, sikloid hareketle ilgili başka bir sorunun da cevabıdır. Braşistokron problemi şöyle sorar: A noktası, B noktasından daha yukarıdaysa, bu iki nokta arasına bir tel gerildiğinde, yalnızca yerçekiminin etkisiyle hareket eden bir parçacık A’dan B’ye en kısa sürede ulaşmak için hangi yolu izlemelidir? Bu sorunun yanıtı yine sikloid eğrisidir.
Sikloid yalnızca güzel ve işlevsel değil, aynı zamanda ilginç biçimlerde genellenebilir. Bir çember düz bir çizgi boyunca yuvarlandığında sikloid ortaya çıkar. Peki ya bir çemberi başka bir çemberin etrafında yuvarlarsak? Örneğin, aynı yarıçapa sahip bir çemberin dış çevresinde yuvarlandığında oluşan eğriye kardioid denir. Bu şekil, Mandelbrot kümesinin merkezinde, mikrofonların ses alım desenlerinde ve sabah kahvenizdeki ışık yansımalarında bile kendini gösterir.
Sikloid Eğrisi Ne İşe Yarar?
Sikloidler yalnızca zarif değil, aynı zamanda şaşırtıcı ölçüde işlevseldir. Her zaman doğrudan gözlemlenmeseler de, bazı dikkat çekici yerlerde karşımıza çıkarlar. Örneğin, lunaparklardaki hız trenlerinin en dik ve heyecan verici inişleri genellikle sikloid eğrisine göre tasarlanır. Bu eğri, yolculuk boyunca hız ve ivmeyi en verimli şekilde düzenleyerek maksimum heyecan sağlar.
Sikloidin kullanımı yalnızca eğlenceyle sınırlı değildir. Mimarlıkta, yapısal dayanıklılık ve estetik arasında denge kurmak için benzer eğrilere başvurulur. Otomotiv endüstrisinde ise, minimum sürtünmeyle çalışan verimli dişliler tasarlamak için bu tür eğriler kullanılır.
Muhtemelen siz de çocukken sikloidlerle oynamışsınızdır. Hasbro’nun 1960’ların ortalarından beri ürettiği Spirograph oyuncağı, aslında hiposikloid olarak adlandırılan bir sikloid türüne dayanır. Bu eğrilerle oluşturulan desenler, matematiğin oyunla buluştuğu etkileyici örneklerdendir.
Sikloid, yalnızca Dünya’ya özgü bir şekil de değildir. Jüpiter’in uydusu Europa’nın buzla kaplı yüzeyinde oluşan çatlaklar, uydu görüntülerinde sikloid benzeri desenler ortaya koyar. Bu çatlamalar, uydunun Jüpiter etrafındaki yörüngesinden kaynaklanan yerçekimi baskısının bir sonucudur.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- The curved history of cycloids, from Galileo to cycle gears. Bağlantı: https://www.irishtimes.com/
- Shirali, Shailesh. (2013). Marin Mersenne, 1588–1648. Resonance. 18. 10.1007/s12045-013-0034-2.
- The Editors of Encyclopaedia Britannica. “cycloid”. Encyclopedia Britannica, 16 Jan. 2017, https://www.britannica.com/science/cycloid. Accessed 30 April 2025.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
