İki tür bilgi vardır. Biri tekil ve dikkat çekici bilgidir; belirli bir kişiye ya da olaya dairdir. Diğeri ise genel ve istatistiksel bilgidir; büyük resmin nasıl olduğunu söyler. İnsanlar karar verirken çoğu zaman tekil olanı daha ikna edici bulur ve genel istatistiği geri plana iter. Bu da kişilerin temel oran yanılgısı adı verilen bilişsel hatayı yapmalarına neden olur.
Hikâyemizin zeminini kuralım. New Brighton adlı bir şehirdeyiz; burada 1.000 taksiden oluşan bir filo var. Bunların 850’si mavi, 150’si yeşil. Bir gün bir taksi bir yayaya çarpıyor ve olay yerinden kaçıyor. Taksinin rengini bilmiyoruz ve mavi ya da yeşil taksilerin böyle kazalara karışma olasılığının farklı olduğuna dair elimizde herhangi bir neden yok.
Bu sırada bağımsız bir görgü tanığı ortaya çıkıyor. Kazayı gördüğünü ve taksinin yeşil olduğunu söylüyor. İfadesinin güvenilirliğini sınamak için, olayın koşullarını yeniden oluşturan bir dizi gözlem testi yapılıyor. Bu testler, benzer koşullar altında taksinin rengini yüzde 80 doğrulukla belirleyebildiğini gösteriyor. Peki bu durumda, kazaya karışan taksinin gerçekten yeşil olma olasılığı nedir?
İlk tepkiniz, taksinin yeşil olma ihtimalinin yaklaşık yüzde 80 olduğu yönünde olabilir. Bu varsayım, görgü tanığının bir taksinin rengini doğru biçimde ayırt etme konusundaki geçmiş başarısına dayanır. Ancak bu sonuca varılırken, şehirdeki mavi ve yeşil taksilerin toplam dağılımı gibi başka kritik bir bilgi göz ardı edilmektedir.
Oysa şehirdeki tüm taksiler dikkate alındığında, bunların yalnızca yüzde 15’i yeşildir; yani 1.000 taksinin 150’si yeşilken, yüzde 85’i mavidir. Taksilerin renklerine ilişkin bu “temel oran”ın yok sayılması, Temel Oran Yanılgısı olarak bilinen yaygın bir düşünme hatasına yol açar.
Taksi Problemini Nasıl Çözmeliyiz?
Bayes teoremi, başlangıçtaki tahminlerimizi yeni kanıtlar ışığında güncellememize yardımcı olan bir yöntemdir. Bunu yaparken, mavi ve yeşil taksilerin toplam içindeki dağılımını, yani temel oranı da hesaba katar. Bu sayede, yeni bir bilgi ortaya çıktığında ilk tahminlerimizi nasıl düzeltmemiz gerektiğini gösterir.
Taksi probleminde yeni kanıt, görgü tanığının ifadesidir. Tanık, taksinin yeşil olduğunu söylemektedir. Taksinin gerçekten yeşil olması durumunda tanığın doğru söyleme olasılığının yüzde 80 olduğunu biliyoruz; bu oran gözlem testlerine dayanmaktadır. Ancak taksi mavi ise, tanığın yanılarak onu yeşil sanma olasılığı da yüzde 20’dir.
Bu problemde Bayes teoremi, tanığın ifadesini şehirdeki taksi dağılımıyla birlikte değerlendirmemizi sağlar. Başlangıçta taksinin yeşil olma olasılığı, yani temel oran, 1.000 taksinin 150’sinin yeşil olması nedeniyle 0,15’tir. Tanığın, taksi gerçekten yeşilken doğru söyleme olasılığı 0,80’dir. Taksinin mavi olması durumunda tanığın onu yanlışlıkla yeşil olarak tanımlama olasılığı ise 0,20’dir.
Bayes teoremi uygulandığında, taksinin gerçekten yeşil olma olasılığı yeniden hesaplanır. Sonuçta elde edilen, yani güncellenmiş olasılık yüzde 41’dir.
Temel Oran Yanılgısından Nasıl Kaçınabiliriz?
Peki ya ikinci bir görgü tanığı daha ortaya çıkarsa ne olur? Diyelim ki bu ikinci tanık da taksinin yeşil olduğunu söylüyor ve benzer bir test dizisi sonunda, koşullar benzer olduğunda yüzde 90 oranında doğru olduğu belirleniyor. Bu durumda, Bayes teoreminin aynı mantığını kullanarak, ancak bu yeni kanıtı da dahil ederek olasılıkları yeniden hesaplamamız gerekir.
Artık “önsel” olasılık, başlangıçtaki yüzde 15 değildir. Birinci tanığın ifadesinden sonra bulduğumuz yüzde 41’dir. Sayılar Bayes formülüyle yeniden hesaplandığında, taksinin gerçekten yeşil olma olasılığı yüzde 86’ya yükselir.
Benzer bir durum günlük hayatta da karşımıza çıkar. Kitaplardan söz etmeyi çok seven biriyle karşılaştığımızda, onun bir hemşireden ziyade bir kitabevinde ya da kütüphanede çalıştığını sezgisel olarak düşünebiliriz.
Oysa hemşirelerin sayısı, kütüphanecilerin ya da kitabevi çalışanlarının sayısından çok daha fazladır ve bu hemşirelerin birçoğu da kitapları sevmektedir. Bu nedenle temel oran dikkate alındığında, kitap meraklısı bu kişinin bir kitabevi çalışanı ya da kütüphaneci olmasındansa hemşire olmasının daha olası olduğu sonucuna varılır.
Sonuç Olarak
Hikâyemiz varsayımsal olsa da ortaya koyduğu ilkeler son derece gerçektir ve çok çeşitli durum ve koşullara uygulanabilir. Bayes teoremi, temel oranlar ve yeni kanıtlar, bir dedektifin araç kutusunun vazgeçilmez parçalarıdır.
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
- Why do we rely on specific information over statistics?; Bağlantı: https://thedecisionlab.com/
- Barbey AK, Sloman SA. Base-rate respect: From ecological rationality to dual processes. Behav Brain Sci. 2007 Jun;30(3):241-54; discussion 255-97. doi: 10.1017/S0140525X07001653. PMID: 17963533.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
