Seçim Paradoksu: Seçimin Kazanını Belirlemek Kolay Değildir!

Seçim ya da Condorcet paradoksu, çoğunluk oylamasının görünüşte paradoksal davranışlara yol açabileceği gerçeğine işaret eder.

Günümüzün pek çok Batı ülkesinde yurttaşlar demokrasileriyle gurur duyar. Ülkeyi kimin yöneteceğine dair herkesin söz hakkı vardır. Her birkaç yılda bir ülke genelinde seçimler yapılır. Bir kişi, bir oy ilkesi geçerlidir ve en çok oyu alan aday seçilir.

Benzer şekilde yönetim kurullarında, komitelerde, iş yerlerinde, okullarda ve arkadaş gruplarında da oylamaya gidilir ve çoğunluğun kararı uygulanır. Bunun en adil yöntem olduğu kabul edilir. Peki gerçekten öyle midir?

Condorcet ( Seçim) Paradoksu Nedir?

Çoğunluk kuralı, seçmenlerin gerçek iradesini her zaman doğru biçimde yansıtıyor mu? Bunu kendimiz deneyelim. Ahmet, Mehmet ve Ayşe, akşam yemeğinden sonra ne içeceklerine karar vermek zorundadır.

• Ahmet, çayı kahveye; kahveyi de sodaya tercih eder. ( çay > kahve > soda )
• Mehmet, kahveyi sodaya; sodayı da çaya tercih eder. ( kahve > soda > çay)
• Ayşe ise sodayı çaya; çayı da kahveye tercih eder. ( soda > çay > kahve)

Üçü de çoğunluk kuralına uymaya karar verir. İlk oylamada çoğunluk kahveyi sodaya tercih eder (Ahmet ve Mehmet). İkinci oylamada ise çoğunluk çayı kahveye tercih eder (Ahmet ve Ayşe). Bu iki sonuca bakarak çay sipariş etmeye yönelirler.

Ancak Mehmet ve Ayşe itiraz eder; çünkü onlar çay yerine sodayı tercih etmektedir. Gerçekten de çay ile soda arasında bir oylama yapılsaydı, çoğunluk sodayı seçecekti (Mehmet ve Ayşe).

Bu kez soda sipariş etmeye kalktıklarında Ahmet ve Mehmet karşı çıkar; çünkü onlar kahveyi sodaya tercih eder. Çoğunluk yeniden değişir.

Sonuç nettir: Her ikili karşılaştırmada bir çoğunluk vardır, ama genel olarak herkesin kabul ettiği tek bir seçenek yoktur. Çoğunluk kuralı uygulanmasına rağmen tutarlı bir karar çıkmaz. Bu durum, çoğunluk oylamasının her zaman “gerçek tercih”i yansıtmadığını gösteren klasik bir paradokstur.

Bu sorunu ilk fark eden kişi, 18. yüzyılda yaşamış Fransız aristokrat Marquis de Condorcet oldu. Fransız Devrimi öncesinde ve sırasında dönemin önde gelen düşünürlerinden biri olan Condorcet; matematikçi, iktisatçı, siyaset bilimci ve insan hakları savunucusuydu.

Condorcet, matematik ile toplumsal meseleleri birleştiren önemli çalışmalar kaleme aldı. En dikkat çekici metinleri ise oylama ve seçim kuramına yaptığı katkılardı. 1785 yılında yazdığı Olasılık Analizinin Çoğunluk Kararlarına Uygulanması Üzerine Deneme adlı eserinde, bugün kendi adıyla anılan bu paradoksu ortaya koydu.

“Çoğunluk A’yı B’ye, B’yi de C’ye tercih ediyor” ifadesi, “çoğunluk A’yı C’ye tercih ediyor” sonucunu zorunlu kılmaz. Başka bir deyişle, Condorcet paradoksu çoğunluk tercihlerinin geçişli olmamasından kaynaklanır.

Seçim Paradoksuna Çözüm Var mı?

Bu sorunu aşmanın bir yolunu, Condorcet’nin çağdaşı ve yurttaşı olan Jean-Charles de Borda (1733–1799) önerdi. Kendisi de bir soylu ve saygın bir bilim insanıydı; ancak Condorcet’nin aksine siyasette değil, askeriyede kariyer yaptı ve donanmada yetkin bir deniz mühendisi olarak öne çıktı.

Borda’nın bilimsel çalışmaları deneysel fizik ve mühendislikten jeodezi ve haritacılığa kadar pek çok alanı kapsıyordu. Bununla birlikte o da oylama ve seçim sorunlarına ilgi duydu ve 1781 yılında Oy Sandığı Seçimleri Üzerine Deneme başlıklı bir makale kaleme aldı.

Borda, paradoksu aşmak için farklı bir oylama yöntemi önerdi. Bu yöntemde seçmenler adayları tek tek karşılaştırmak yerine, kendi tercihlerine göre sıralar. Ardından her seçmen, verdiği sıralamaya göre adaylara puan dağıtır. En altta yer alan aday bir puan alır; bir üst sıradaki iki, onun üstündeki üç puan alır ve bu şekilde en çok tercih edilen aday en yüksek puanı alır.

Daha sonra tüm seçmenlerin verdiği puanlar her aday için toplanır. En fazla puanı alan aday seçimi kazanır. Çok sayıda seçmenin oy kullandığı durumlarda iki ya da daha fazla adayın aynı toplam puanı alması nadirdir.

Bu nedenle genellikle açıkça belirlenmiş bir “Borda kazananı” ortaya çıkar. İşte bu yüzden, Jean-Charles de Borda’nın önerdiği bu puanlama yöntemi, oyunlarda ve televizyon yarışmalarında sıkça kullanılmaktadır.

Seçimin Kazananını Belirlemek Kolay Değildir!

Borda’nın önerdiği yöntem, Condorcet paradoksunu çözmeye çalışsa da kendi sorunlarını da beraberinde getirir. Bunların başında, kazananın kimsenin gerçek favorisi olmaması gelir. Bunu somut bir örnekle görmek daha kolaydır. Otuz öğrencinin sınıf başkanını seçeceğini düşünelim. Tercihler şu şekildedir:

• On bir öğrenci: Ali > Ayşe > Can > Burak
• On öğrenci: Burak > Ayşe > Can > Ali
• Dokuz öğrenci: Can > Ayşe > Burak > Ali

Klasik oylamada, en çok oyu alan Ali seçilir. Ancak Ali yalnızca on bir oy almıştır. Yani öğrencilerin çoğunluğu onu birinci tercih olarak istememektedir.

Borda sayımında da adaylar sıralamaya göre puan alır. Dört aday olduğu için birinci sıraya 4, ikinciye 3, üçüncüye 2, sonuncuya 1 puan verilir. Her seçmenin verdiği puanlar toplanır. Bu durumda aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

• Ali: 44 + 10 + 9 = 63
• Burak: 11 + 40 + 18 = 69
• Can: 22 + 20 + 36 = 78
• Ayşe: 33 + 30 + 27 = 90

Sonuçta Ayşe, kimsenin birinci tercihi olmamasına rağmen, herkes tarafından “fena değil” diye orta sıralara konduğu için en yüksek toplam puanı alır. Borda yönteminin temel eleştirisi tam da budur. Aşırı sevilmeyen ama kimseyi de rahatsız etmeyen aday, toplamda kazanabilir.

Sonuç Olarak

Condorcet, paradoksu aşmak için kendi çözümünü ortaya koydu. Her adayın diğer tüm adaylarla tek tek karşılaştırılmasını önerdi. Her karşılaştırmada seçmenler tercihlerini açıklar; çoğunluğun oyunu alan aday, rakibine üstün sayılır. Tüm ikili karşılaştırmalar tamamlandığında adaylar sıralanır ve diğer tüm adayları yenen kişi kazanan ilan edilir.

Ancak bu yöntem ciddi sorunlar doğurur. Öncelikle matematiksel olarak, N aday için N(N−1)/2 ayrı oylama yapmak gerekir. Yirmi adaylı bir seçimde bu, 190 farklı karşılaştırma anlamına gelir. Dahası, elde edilen sonuçlar çoğu zaman geçişli olmaz. Böylece Condorcet yöntemi, çözmeye çalıştığı paradoksu yeniden üretir.

Sonraki 150 yıl boyunca düzinelerce matematikçi kendi oylama sistemlerini oluşturmaya çalıştı ya da Condorcet ile Borda seçim sistemlerine iyileştirmeler önerdi. Ancak her oylama sisteminde er ya da geç benzer sorunlar ortaya çıkıyordu.

Daha iyi veya daha adil bir sistem bulma girişimleri, 1951’de Stanford Üniversitesi’nden bir ekonomist olan Kenneth Arrow, toplam tercihler konusuna şaşırtıcı yeni bir ışık tutan bir sonuç sunana kadar yıllarca devam etti. Yazının devamında göz atmanızı öneririz: Arrow’un İmkansızlık Teoremine Göre Adaletli Bir Seçim Yoktur!

---

Kaynaklar ve ileri okumalar

• Elections: Could they be fairer?; yayınlanma tarihi: 14 Kasım 2019; Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: Elections: Could they be fairer?/
• Gehrlein, William. (1997). Condorcet’s Paradox and the Condorcet Efficiency of Voting Rules. Mathematica Japonica. 45. 173-199.
• Kurrild-Klitgaard, Peter. (2001). An Empirical Example of the Condorcet Paradox of Voting in a Large Electorate. Public Choice. 107. 135-45. 10.1023/A:1010304729545.

---

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel