Yeni bir matematiksel çerçeve, Pi için geliştirilen çok sayıda farklı formülün aslında aynı temel yapıdan türemiş olabileceğini gösteriyor.
Bir çemberin çevresini çapına böldüğümüzde π sayısını elde ederiz. Bu ilişki oldukça basittir; ancak π’nin kendisi şaşırtıcı derecede karmaşıktır. Çünkü π’nin ondalık basamakları sonsuza kadar uzanır ve belirli bir düzen içinde tekrar etmez.
Bu basamakları fiziksel bir çemberi ölçerek belirleyemeyiz. En hassas ölçüm araçları bile π’nin sonsuz ayrıntısını ortaya koyamaz. Bu nedenle matematikçiler π’nin değerini anlamak ve hesaplamak için çeşitli formüller geliştirir.
Pi Sayısı İçin Genel Bir Formül Arayışı
Matematikçiler π’nin değerini daha iyi anlamak ve daha hassas biçimde hesaplamak için iki bin yılı aşkın süredir çalışıyor. Bu alandaki ilk büyük ilerlemeyi Arşimet sağladı. Arşimet, bir çemberin çevresini doğrudan ölçmek yerine farklı bir yöntem izledi.
Çemberin içine ve dışına çokgenler yerleştirdi, ardından bu çokgenlerin çevrelerini hesapladı. Kenar sayısı arttıkça çokgenler çembere giderek daha fazla benzedi. Böylece çemberin gerçek çevresine giderek daha iyi yaklaşan sonuçlar elde etti.
Arşimet bu yöntemi kullanarak 96 kenarlı çokgenlere kadar ilerledi. Yaptığı hesaplamalar, π’nin 3,140845… ile 3,142857… arasında olduğunu gösterdi. Böylece π’nin değerini oldukça dar bir aralık içine yerleştirdi. Bu son derece titiz yöntem, yaklaşık 1600 yıl boyunca matematikçilerin π’yi hesaplamak için kullandığı en güvenilir yaklaşım oldu.
Yapay zekâ ve Ramanujan Makinesi
Sonraki yüzyıllarda matematikçiler π’yi daha hızlı ve daha hassas hesaplamak için yeni formüller geliştirdi. Zamanla bu formüllerin sayısı binleri buldu. Ancak bu formüller genellikle birbirinden bağımsız ortaya çıktı. Her biri diğerlerinden kopuk görünüyordu ve aralarında açık bir ilişki bulunmuyordu. Bu durum, 2019 yılında geliştirilen Ramanujan Makinesi adlı yapay zekâ projesiyle yeni bir boyut kazandı.
Fizikçi ve araştırmacı İdo Kaminer’in geliştirdiği bu sistem, matematiksel sabitler için yeni varsayımlar ve formüller üretmek amacıyla tasarlandı. Zamanla hem bu sistem hem de matematikçiler yeni π formülleri üretmeye devam etti. Formüllerin sayısı arttıkça önemli bir soru ortaya çıktı: Acaba bu formüller arasında gizli bir bağlantı var mıydı?
Bu soruyu araştıran ekip önce büyük bir veri kümesi oluşturdu. Tomer Raz, arXiv adlı ön baskı sunucusuna yüklenen tüm matematik makalelerini indiren bir program yazdı. Dizüstü bilgisayarını altı hafta boyunca günde 24 saat çalıştırdı ve sitenin indirme sınırlarını aşmamak için verileri yavaş bir hızda çekti. Sonunda 455.050 makaleden oluşan bir arşiv elde etti.
Araştırmacılar daha sonra GPT-4o ve özel algoritmalar kullanarak bu makalelerdeki π ile ilgili denklemleri belirledi. Denklemleri çalıştırılabilir koda dönüştürdüler ve tekrarları ayıkladılar. Yaklaşık yarım milyon makaleden toplam 385 özgün π formülü elde ettiler. Bu formüllerin yaklaşık yüzde 10’unu Ramanujan Makinesi üretmişti.
Pi Sayısını Türeten Formüller Birleşecek mi?
Araştırmacılar daha sonra bu 385 denklemi ortak bir biçimde yeniden yazdı ve hepsini belirli bir sonsuz seri türüne dönüştürdü. Ancak bu ifadeler arasındaki ilişkileri doğrudan görmek mümkün değildi. Bu nedenle ekip daha kapsamlı bir matematiksel çerçeveye ihtiyaç duydu.
Bu noktada korunumlu matris alanı (CMF) adı verilen bir yapı devreye girdi. Araştırma grubundaki bazı bilim insanları bu kavramı 2023 yılında geliştirmişti. Araştırmacı Michael Shalyt bu yapıyı matematik için çok amaçlı bir araç olarak tanımlıyor.
CMF olarak adlandırılan bu yapı, farklı formüller arasında gizli bağlantılar kurmayı sağlar. Bunu bir ızgara üzerinde tanımlanan fiziksel bir alan gibi düşünmek mümkündür. Her π formülü bu ızgara üzerinde farklı bir yol izler, ancak tüm yollar aynı noktaya, yani π değerine ulaşır. Bu nedenle yüzeyde çok farklı görünen iki formül aslında aynı matematiksel yapının farklı ifadeleri olabilir.
Araştırma ekibi önce π için geçerli olan CMF yapısını belirledi. Ardından algoritmalar kullanarak her formülün bu yapı içindeki yerini hesapladı. Yapılan analizler, formüllerin kümeler hâlinde toplandığını gösterdi.
Sonuç oldukça dikkat çekiciydi. Bilinen π formüllerinin yaklaşık yüzde 43’ü tek bir CMF yapısından türemiş görünüyordu. Yaklaşık yüzde 51’i ise daha geniş kümeler içinde yer alıyordu. Araştırmacılar bu kümeler arasındaki ilişkileri hâlâ inceliyor. Geriye kalan yaklaşık yüzde 6’lık küçük grup ise diğer formüllerle bağlantısı henüz gösterilemeyen bağımsız örneklerden oluşuyor.
Bu sonuç, matematikçilerin iki bin yıldır geliştirdiği π formüllerinin büyük ölçüde ortak bir matematiksel temele dayandığını gösteriyor.
Yeni sorular
Araştırma bazı yeni soruları da gündeme getirdi. Daha karmaşık bir CMF yapısı tüm π formüllerini tek bir çerçevede birleştirebilir mi? CMF’den türetilen her denklem gerçekten π’ye mi yakınsar? Şimdiye kadar yapılan tüm denemeler doğru sonuç verdi; ancak bunun genel bir kural olup olmadığı henüz bilinmiyor.
Çalışmaya katılmayan bilgisayar bilimci David Bailey bu gelişmeyi çarpıcı bir benzetmeyle açıklıyor. Ona göre bu durum, kimyagerlerin elementleri tek tek keşfetmesinden sonra bir bilgisayarın bir anda tüm periyodik tabloyu ortaya çıkarmasına benziyor.
Matematikçi George Andrews da çalışmayı oldukça olumlu değerlendiriyor. Ona göre bu araştırma ciddi ve sağlam bir matematik çalışmasıdır. Ayrıca bu yaklaşım gelecekte çok daha şaşırtıcı matematiksel bağlantıların keşfedilmesine de yol açabilir.
Kaynaklar ve İleri okumalar
- Raz, Tomer & Shalyt, Michael & Leibtag, Elyasheev & Kalisch, Rotem & Hadad, Yaron & Kaminer, Ido. (2025). From Euler to AI: Unifying Formulas for Mathematical Constants. 10.48550/arXiv.2502.17533.
- Mathematicians find one pi formula to rule them all. Yayınlanma tarihi: 13 Mart 2026. Kaynak site: Scientific American. Bağlantı Mathematicians find one pi formula to rule them all
Matematiksel
