Bilgisayarların ihtiyaç duyduğu rakam sayısı ise yalnızca iki: 0 ve 1. Ancak ikili sistem bu makineler için tek seçenek değildir.
Geçmişte uzmanlar, üç tabanlı yani üçlü sayı sistemi ile çalışan hesap makineleri geliştirmişti. Fakat günümüzde üçlü bilgisayarlar yalnızca birer hobi projesi olarak varlığını sürdürüyor. Peki bu nasıl oldu?
Aslında temel matematik prensibi değişmez.: İster 10 tabanı, ister 60 tabanı, ister 3 ya da 2 tabanı olsun, her sayıyı herhangi bir sayı sistemiyle temsil etmek mümkündür.. Matematik her durumda aynı şekilde işler.
- Günlük kullandığımız ondalık sistemde 17 sayısı şöyle ifade edilmektedir. 17 = 1 × 10 + 7 × 1
- Üç tabanında yazarsak: 17₁₀ = 1 × 3² + 2 × 3¹ + 2 × 3⁰ = 122₃
- İkili sistemde ise şu şekilde görünür: 17₁₀ = 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 10001₂
Bu örnekleri karşılaştırdığımızda, yazım açısından en tanıdık olanın ondalık sistem olduğunu görürüz. 17’yi ifade etmek için yalnızca iki rakam yeterlidir. Ancak bilgisayarların 10 farklı rakamı ayırt edecek donanıma sahip olması gerekir ki bu pratikte oldukça zordur.
Geleneksel bilgisayarlarda 0 ve 1, donanım bileşenlerinin elektriksel durumlarını yansıtır. Örneğin, bir kapasitör doluysa 1, boşsa 0 anlamına gelir. Aynı şekilde, bir transistör açık konumdaysa 1’i, kapalı konumdaysa 0’ı temsil eder.
10 tabanlı bir sistemde bu tür bir yalınlık sağlanamaz. Bir transistörün sadece “kapalı” ve “tam açık” olmak yerine 10 farklı ara konumda çalıştığını düşünün. Böyle bir anahtarı tasarlamak hem teknik açıdan büyük zorluklar yaratır hem de sistemin güvenilirliğini ciddi şekilde tehlikeye atar.
Bilgisayarlar İçin İkili Sistemden Daha Verimli Bir Taban Var mı?
Bu soruya yanıt ararken, sayıların gösterim uzunluğu ile tabanda kullanılan rakam sayısı arasındaki dengeyi incelemek gerekir. Yani, bir sayının uzunluğu (l) ile tabandaki rakam sayısı (b) arasındaki ilişkiyi değerlendirmeliyiz.
Yaklaşım basittir: b × l çarpımına bakarız ve bu değerin en küçük olduğu tabanı bulmaya çalışırız. Burada, bir sayının yaklaşık uzunluğu şu formülle ifade edilmektedir. l ≈ log(n) / log(b)
Dolayısıyla soru şuna dönüşür: Hangi taban (b), b × [log(n) / log(b)] ifadesini en küçük hale getirir? Bu matematiksel yaklaşım, bilgisayarlar için “ideal tabanı” belirlemeye yardımcı olur.
Okuldaki matematik bilgilerinizden hatırlayabilirsiniz. En uygun b değerini bulmak için y = b × [log(n) / log(b)] fonksiyonunun türevini alır, sıfıra eşitler ve b’yi çözümleriz. Alternatif olarak, bu fonksiyonu kağıda çizer ve eğrinin x-eksenine en yakın olduğu noktayı gözlemlersiniz. Hangi yöntemi seçerseniz seçin, sonuç aynıdır: b = e ≈ 2,718, yani Euler sayısı.
Ancak irrasyonel tabanlı bir sayı sistemi mantıklı değildir. Bu nedenle, Euler sayısını en yakın tam sayıya yuvarlarız. Ve en yakın tam sayı olan 3, bilgi işleme açısından en uygun tabanı verir. Bu yüzden üçlü sistem (ternary), teorik olarak en verimli sistemlerden biri olarak kabul edilmektedir.
Üçlü Sistem: Mükemmel Denge
0, 1 ve 2 rakamlarını kullanan sayı sistemine üçlü sistem denir. Ancak matematikçiler, bu sistemi daha dengeli bir biçimde temsil etmek için –1, 0 ve 1 rakamlarını tercih eder. Bu “dengeli üçlü” sistemle 17 sayısını şu şekilde ifade ederiz: 17₃ = 1 × 3³ + (–1) × 3² + 0 × 3¹ + (–1) × 3⁰ = 1(–1)0(–1)
Uzmanlar, özellikle sistemin simetrik yapısını cazip bulur. Örneğin bilgisayar bilimci Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming adlı eserinin ikinci cildinde bu sistemi “tüm sayı sistemlerinin en güzeli” olarak tanımlar.
Üçlü sistem yalnızca teorik düzeyde değil, pratikte de dikkat çeker. 1840 yılında İngiliz mucit Thomas Fowler, dengeli üçlü sistemle çalışan bir hesaplama makinesi geliştirdi. Bu mekanik bilgisayar, –1, 0 ve 1 rakamlarıyla işlem yapar ve günümüz bilgisayarlarından farklı bir mantıkla çalışır.
Üçlü sistemde iki rakamı birleştirerek yalnızca 0 ya da 1 değil, üçüncü bir sonuç daha üretebiliriz. Bu özellik bazı işlemleri hızlandırır. Örneğin, iki sayıyı karşılaştırırken üçlü sistem tek adımda hangisinin küçük, hangisinin büyük ya da eşit olduğunu gösterebilir. Oysa ikili sistemde önce farklılık kontrol edilir, ardından büyüklük-küçüklük değerlendirilir.
İkili Yerine Üçlü Sistemi Kullansak Olmaz mı?
Fowler’ın mekanik cihazı, üçe kadar sayabilen tek bilgisayar değildi. Soğuk Savaş’ın başlarında, Sovyetler Birliği ilk elektronik bilgisayarlarını geliştirmeye çalıştı. Ancak transistörlere erişim çok zor olduğu için, Sovyet araştırmacılar hedeflerine ulaşmak için alternatif yollar aradı.
1958’de, Moskova Devlet Üniversitesi’nde “Setun” adında ilk elektronik üçlü (ternary) bilgisayar üretildi. Bu cihaz, bilgiyi üçlü basamaklarla yani “trit”lerle işlemek için manyetik çekirdekler ve diyotlar kullanıyordu. Yıllar içinde yaklaşık 50 adet Setun bilgisayarı üretildi.
Ancak üçlü sistemli bilgisayarlar yaygınlaşmadı. Bunun başlıca nedenlerinden biri, donanımın ve mevcut teknolojik alışkanlıkların buna uygun olmamasıydı. Elektronik bileşenleri üç farklı durumu temsil edecek şekilde kodlamak oldukça zordu. Setun’da her trit için iki manyetik bileşen gerekiyordu. Oysa aynı bileşenlerle ikili (binary) sistem kullanılsaydı, iki katı kadar bit kodlanabilirdi.
Birden fazla voltaj seviyesi kullanmak isterseniz, onlarla kolayca hesaplamalar yapmanın bir yoluna ihtiyacınız olacaktır. Aslında 1958 yılında Sovyet matematikçi Sergey Sobolev ve bilgisayar bilimci Nikolay Brusentsov, Setun adında üçlü sistemi kullanan bir bilgisayar geliştirdiler. Sonrasında bu bilgisayardan düzinelerce üretilmeye devam etti.
Sonuç olarak
Günümüzde bazı meraklılar hobi amaçlı üçlü bilgisayarlar tasarlıyor. Ancak bu cihazlar yalnızca eğlence için ortaya çıkıyor. Üçlü sistem ile ikili sistem temelde farklı çalıştığından birbirleriyle uyumlu değiller. Bu durum da üçlü bilgisayarların geleneksel sistemlere kıyasla daha fazlasını sunabildiğini söylemek zor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- How Boolean Logic Works; Bağlantı: How Boolean Logic Works
- This Number System Beats Binary, But Most Computers Can’t Use It. Yayınlanma tarihi: 18 Temmuz 2025. kaynak site: Scientific America. Bağlantı: This Number System Beats Binary, But Most Computers Can’t Use It
- Kak, Subhash. (2020). The base-e representation of numbers and the power law. 10.48550/arXiv.2003.02345.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
