GEOMETRİ

Voronoi Diyagramları Dünyayı Anlamamızı Nasıl Sağlar?

Voronoi Diyagramları belirlenmiş bir bölge içinde, noktalardan ya da nesnelerden oluşan bir kümenin birbirlerine göre yakınlık bilgilerini gösterir. Bu gösterim biçimi de hayatımızda oldukça işimizi kolaylaştırır.

Bir çok hastanesi olan bir şehir düşünün. Aniden rahatsızlanan birinin en yakın hastaneye gitmesini veya götürülmesini istersiniz. İhtiyacınız olan şey ise bir harita.

Bu harita hastanelerin havza alanını (yazının devamında bu kelime daha anlaşılır bir hal alacaktır.) göstersin. Öyle ki her hastane kendisine ait olunan bölgedeki insanlara diğer hastanelerden daha yakın olsun.

Peki böyle bir harita nasıl yapılabilir?

Çok zor değil fakat elle yapmaya kalkarsanız biraz sıkıcı olabilir. Ama yine de anlamak adına işe elle başlayacağız.  

A ve B adlı iki hastanenin olduğu bir harita üzerinde A ve B hastanelerini birbirine bağlayan bir doğru parçası çizelim. Sonrasında bu doğru parçasının orta dikmesini çizelim. Bu çizilen doğru şehri iki bölgeye ayıracaktır. A hastanesinin bulunduğu bölgedeki her insan A hastanesine B hastanesine göre daha yakın olacaktır.

Şimdi 3. hastane olan C hastanesini de şehir haritasına ekleyelim. Ve aynı şart yine sağlansın. 3 hastane 3 bölge.

Her bir bölgenin sakinleri yaşadıkları bölgenin hastanesine diğer hastanelere göre daha yakın olacaktır. Yukarıda yapılan işlemleri tekrarlamak suretiyle A ile C hastanelerini birleştiren doğru parçasının ve B ile C hastanelerini birleştiren doğru parçasının orta dikmelerini çizelim.

Bunların hepsi ortak bir F noktasında kesişecektir. Bu F noktası ile A, C hastaneleri ile B, C hastanelerini birleştiren doğru parçası dışında kalan kısımların silinmesiyle harita aşağıdaki şekli alacaktır.

Şehir haritasındaki tüm hastaneler bitene kadar bu şekilde devam edilerek oluşturulan bölgelerin sakinleri kendi hastanelerine diğer hastanelerden daha yakın olacaktır. Böylelikle ihtiyacımız olan haritayı elde etmiş oluruz.

Bu yapılan harita Voronoi Diyagramının bir uygulamasıdır. Voronoi ismi Rus matematikçi Gregory Voronoi’den gelmektedir.

Tanım: Düzlemde yer alan sonlu nokta kümesine ait herhangi bir noktaya, kümedeki diğer noktalardan daha yakın konumda bulunan düzlem noktalarının geometrik yerine o noktanın Voronoi çokgeni denilmektedir. Kümedeki tüm noktaların Voronoi çokgenlerinin birleşimi, o kümenin Voronoi diyagramını oluşturur.

Tahmin edebileceğiniz gibi Voronoi diyagramları bir çok alanda kullanılabilir ve de oldukça yararlıdır. Bu yazıdaki tıbbi benzetmeyi bir nedenden ötürü seçtik.

1850lerde kolera salgını Londra Soho’daki nüfusun %10unu öldürüyordu ve günler içerisinde tüm aileleri yok ediyordu. Salgının kötü havadan kaynaklandığı düşünülüyordu ancak doktor John Snow’un başka bir fikri vardı. Koleranın o günlerde şehirdeki konumlandırılmış pompalardan gelen kirli su kaynaklarından geldiğini düşünüyordu.

Snow insanları ikna edebilmek için ilk iş olarak Soho haritasında her adresteki ölüm sayısını işaretledi. Daha sonra 40 Brood Caddesindeki (Şu an Broadwick Caddesi) belirli bir su pompasının havza alanını belirledi. Bu alandaki noktalar Broad caddesindeki bu pompaya diğer pompalardan daha yakındı.

Yalnız yukarıda yapılanlardan farklı olarak Snow o iki noktayı birleştiren doğru parçasını (iki nokta arasındaki en kısa mesafe) kullanmak yerine sokaklar ve sokaklar arasındaki yürüme mesafesini tercih etti.

Ve sonuç; haritada işaretlenen neredeyse tüm ölümlerin Broad Caddesindeki pompanın havza alanının içinde olduğuydu.

Aşağıda 42 noktadan oluşan bir Voronoi diyagramı gösterilmiştir. Geogebra da bu diyagramı oluşturmak oldukça kolaydır. Tek yapılması gereken noktaları belirlemektir. Sonrasını yazılımın kendisinde hazır bulunan komutla oluşturabilirsiniz.

Kaynakça:

Aykut ÇELİKEL

Paylaşmak Güzeldir

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı