Bir matematikçi değilseniz Voronoi diyagramları adını ilk defa duyuyor olmanız olasıdır. Ancak farkında olmasınız da hemen her gün bu şekiller ile yüzleşirsiniz. Ancak elbette siz bu şekilleri görmezsiniz. Bu nedenle de gündelik hayatınıza dahil olsalar da fark etmeniz olası değildir.
Bir çok hastanesi olan bir şehir düşünün. Aniden rahatsızlanan birinin en yakın hastaneye gitmesini veya götürülmesini istersiniz. Bu durumda bir haritaya ihtiyacınız var. Ancak bu haritanın her hastanenin hizmet alanını göstermesi gerekiyor. Peki böyle bir haritayı nasıl yapılabiliriz? Çok zor değil fakat elle yapmaya kalkarsanız biraz sıkıcı olacaktır. İşte bu tip durumlar da işin içine Voronoi diyagramları karışır.
Bir hizmet alanındaki (yani bir hücredeki) kahve içenler, hastalar veya öğrenciler kendi kafelerine, hastanelerine veya okullarına (yani kendi hücrelerinin bulunduğu yere) diğerlerinden daha yakın yaşamalıdır. İşte bu nedenle şehir planlamacıların tümü Voronoi diyagramlarını dikkate alır.
Aslına bakarsanız yukarıda gördüğünüz zürafanın derisinde ya da kapak görselinde gördüğünüz yusufçuğun kanatlarında da Voronoi diyagramları yer almaktadır. Aslına bakarsanız Voronoi diyagramları günümüzde başta bilim ve teknoloji olmak üzere görsel sanatlar da dahil pek çok alanda pratik ve teorik uygulamalara sahiptir. Şimdi gelin bu şekiller hakkında biraz daha bilgi edinelim.
Voronoi Diyagramları Nedir?
Adını matematikçi Gregory Voronoi’den ( 1868- 1908) alan Voronoi diyagramları belirlenmiş bir bölge içinde, noktalardan ya da nesnelerden oluşan bir kümenin birbirlerine göre yakınlık bilgilerini gösterir.
A ve B adlı iki hastanenin olduğu bir harita üzerinde A ve B hastanelerini birbirine bağlayan bir doğru parçası çizelim. Sonrasında bu doğru parçasının orta dikmesini çizelim. Bu çizilen doğru şehri iki bölgeye ayıracaktır. A hastanesinin bulunduğu bölgedeki her insan A hastanesine B hastanesine göre daha yakın olacaktır.
Şimdi 3. hastane olan C hastanesini de şehir haritasına ekleyelim. Ve aynı şart yine sağlansın. 3 hastane 3 bölge. Her bir bölgenin sakinleri yaşadıkları bölgenin hastanesine diğer hastanelere göre daha yakın olacaktır. Yukarıda yapılan işlemleri tekrarlamak suretiyle A ile C hastanelerini birleştiren doğru parçasının ve B ile C hastanelerini birleştiren doğru parçasının orta dikmelerini çizelim. Bunların hepsi ortak bir F noktasında kesişecektir. Bu F noktası ile A, C hastaneleri ile B, C hastanelerini birleştiren doğru parçası dışında kalan kısımların silinmesiyle harita aşağıdaki şekli alacaktır.
Şehir haritasındaki tüm hastaneler bitene kadar bu şekilde devam edilerek oluşturulan bölgelerin sakinleri kendi hastanelerine diğer hastanelerden daha yakın olacaktır. Böylelikle ihtiyacımız olan haritayı elde etmiş oluruz.
Kolera Salgını ve John Snow’un Haritalandırma Çalışması
Tahmin edebileceğiniz gibi Voronoi diyagramları her türlü alanda faydalıdır. Örneğin, ormanların büyüme modellerini incelemek veya robotların bir dizi engel boyunca net rotalar bulmasına yardımcı olmak için kullanılabilirler. Bu yazıdaki tıbbi benzetmeyi bir nedenden ötürü seçtik.
John Snow (1813-1858) genellikle “Epidemiyolojinin Babası” olarak anılır. Bir felaketle ilgili araştırması epidemiyologlar arasında klasik kabul edilir. 1850′ lerde kolera salgını Londra Soho’daki nüfusun %10′ unu öldürmüştü. O sırada hastalığa “kötü hava”nın neden olduğu düşünülüyordu, ancak doktor John Snow’un başka bir fikri vardı. Snow, bunun kirli bir su kaynağından kaynaklandığını düşündü. Bu yüzden Kolera ölümleri hakkında Genel Kayıt Ofisi’nden bilgi aldı.
Snow ilk iş olarak Soho haritasında her adresteki ölüm sayısını işaretledi. Daha sonra 40 Brood Caddesindeki (Şu an Broadwick Caddesi) belirli bir su pompasının havza alanını belirledi. Bu alandaki noktalar Broad caddesindeki bu pompaya diğer pompalardan daha yakındı.
Yalnız yukarıda yapılanlardan farklı olarak Snow o iki noktayı birleştiren doğru parçasını (iki nokta arasındaki en kısa mesafe) kullanmak yerine sokaklar ve sokaklar arasındaki yürüme mesafesini tercih etti. Ve sonuç; haritada işaretlenen neredeyse tüm ölümlerin Broad Caddesindeki pompanın havza alanının içinde olduğuydu. Bu veriler koleranın su yoluyla yayılmasına ilişkin teorisini destekledi. Snow, bulgularını yerel yetkililere sundu. Sonuçta pompa kaldırıldı ve kolera salgını sona erdi.
Snow’un kolera’nın suyla taşındığına dair matematik yardımı ile ortaya koyduğu kanıt, hastalıkları anlamak için matematiğin kullanımının ilk örneğidir. Bu olay da Voronoi diagramlarının kullanım alanlarına dair güzel bir örnek olarak kitaplarda yer alır.
Voronoi Diyagramları Sadece İki Boyutlu Olmak Zorunda Değildir
Bir Voronoi diyagramı üç boyutlu olarak da karşımıza çıkar. Nerede sorusunun en basit cevabı vücudunuz olacaktır. Cildimiz, bağırsaklarımız, kan damarlarımız ve daha pek çek yer skutoid şekilli epitel hücreleri ile doludur. Bu hücrelerin dizilimi de üç boyutlu bir Voronoi diyagramı örneğidir.
Tüm canlıların vücudu dokulardan ve dokuların birleşmesiyle meydana gelen organlardan oluşur. Dokular vücudun çeşitli kısımlarını ve organları oluştururken kıvrımlı ve karmaşık yapılara dönüşür. Epitel hücrelerin bu yapıların oluşmasında temel bir işlevi vardır. Epitel hücreler sıkı bir şekilde istiflenerek derimizin, kan damarlarının ve organların dış tabakalarını oluşturur.
sıkı bir şekilde istiflenebiliyor.
Bazı epitel hücreler skutoid biçiminde olmaları sayesinde kıvrımlı doku bölgelerinde sıkı bir şekilde istiflenebilir. Skutoid adı bu şekillerin, böceklerin arka tarafındaki, kanatlarını da içeren gövde kısmı olan “skutum”a benzemesinden gelir. Bu hücrelerin istiflenmesi ise Voronoi diyagramları biçiminde olur.
Sonuç olarak gördüğünüz gibi farkında olmadan herkes Voronoi mozaiklerini kullanır. Kullanmasa bile vücudu onun için kullanmaktadır. Ayrıca göz atmak isterseniz: Dört Renk Teoremi Matematiği Nasıl Değiştirdi?
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Maths in a minute: Voronoi diagrams; https://plus.maths.org/
- Voronoi diagram; Bağlantı: https://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram
- New Geometric Shape Discovered as Efficient Cell Storage in Nature; https://interestingengineering.com
- Voronoi Tessellations and Scutoids Are Everywhere. Yayınlanma tarihi: 22 Ocak 2019; Bağlantı: https://blogs.scientificamerican.com
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
