Voronoi Diyagramları Dünyayı Anlamamızı Nasıl Sağlar?

Bir çok hastanesi olan bir şehir düşünün. Aniden rahatsızlanan birinin en yakın hastaneye gitmesini veya götürülmesini istersiniz. Bu durumda bir haritaya ihtiyacınız var. Ancak bu haritanın her hastanenin hizmet alanını göstermesi gerekiyor. Peki böyle bir haritayı nasıl yapılabiliriz? Çok zor değil fakat elle yapmaya kalkarsanız biraz sıkıcı olacaktır. İşte bu tip durumlar da işin içine Voronoi diyagramları karışır.

Tanıma geçmeden önce bir örnek verelim. A ve B adlı iki hastanenin olduğu bir harita üzerinde A ve B hastanelerini birbirine bağlayan bir doğru parçası çizelim. Sonrasında bu doğru parçasının orta dikmesini çizelim. Bu çizilen doğru şehri iki bölgeye ayıracaktır. A hastanesinin bulunduğu bölgedeki her insan A hastanesine B hastanesine göre daha yakın olacaktır.

Şimdi 3. hastane olan C hastanesini de şehir haritasına ekleyelim. Ve aynı şart yine sağlansın. 3 hastane 3 bölge. Her bir bölgenin sakinleri yaşadıkları bölgenin hastanesine diğer hastanelere göre daha yakın olacaktır. Yukarıda yapılan işlemleri tekrarlamak suretiyle A ile C hastanelerini birleştiren doğru parçasının ve B ile C hastanelerini birleştiren doğru parçasının orta dikmelerini çizelim. Bunların hepsi ortak bir F noktasında kesişecektir. Bu F noktası ile A, C hastaneleri ile B, C hastanelerini birleştiren doğru parçası dışında kalan kısımların silinmesiyle harita aşağıdaki şekli alacaktır.

Şehir haritasındaki tüm hastaneler bitene kadar bu şekilde devam edilerek oluşturulan bölgelerin sakinleri kendi hastanelerine diğer hastanelerden daha yakın olacaktır. Böylelikle ihtiyacımız olan haritayı elde etmiş oluruz. Bu yapılan harita Voronoi Diyagramının bir uygulamasıdır. Voronoi ismi Rus matematikçi Gregory Voronoi’den gelmektedir.

Voronoi Diyagramları belirlenmiş bir bölge içinde, noktalardan ya da nesnelerden oluşan bir kümenin birbirlerine göre yakınlık bilgilerini gösterir. Bu gösterim biçimi de hayatımızda oldukça işimizi kolaylaştırır. Voronoi diyagramlarının René Descartes’a kadar uzanan uzun bir geçmişi vardır.

Kolera Salgını ve John Snow’un Haritalandırma Çalışması

Tahmin edebileceğiniz gibi Voronoi diyagramları her türlü alanda faydalıdır. Örneğin, ormanların büyüme modellerini incelemek veya robotların bir dizi engel boyunca net rotalar bulmasına yardımcı olmak için kullanılabilirler. Bu yazıdaki tıbbi benzetmeyi bir nedenden ötürü seçtik. John Snow (1813-1858) genellikle “Epidemiyolojinin Babası” olarak anılır. Bir felaketle ilgili araştırması epidemiyologlar arasında klasik kabul edilir. 1850′ lerde kolera salgını Londra Soho’daki nüfusun %10′ unu öldürmüştü. O sırada hastalığa “kötü hava”nın neden olduğu düşünülüyordu, ancak doktor John Snow’un başka bir fikri vardı. Snow, bunun kirli bir su kaynağından kaynaklandığını düşündü. Bu yüzden Kolera ölümleri hakkında Genel Kayıt Ofisi’nden bilgi aldı.

Harita, bir Londra bölgesindeki kolera ölümlerinin dağılımını göstermektedir. Daireler, ölümlerin bir bölgede yoğunlaşmasını temsil ediyor

Snow ilk iş olarak Soho haritasında her adresteki ölüm sayısını işaretledi. Daha sonra 40 Brood Caddesindeki (Şu an Broadwick Caddesi) belirli bir su pompasının havza alanını belirledi. Bu alandaki noktalar Broad caddesindeki bu pompaya diğer pompalardan daha yakındı. Yalnız yukarıda yapılanlardan farklı olarak Snow o iki noktayı birleştiren doğru parçasını (iki nokta arasındaki en kısa mesafe) kullanmak yerine sokaklar ve sokaklar arasındaki yürüme mesafesini tercih etti. Ve sonuç; haritada işaretlenen neredeyse tüm ölümlerin Broad Caddesindeki pompanın havza alanının içinde olduğuydu. Bu veriler koleranın su yoluyla yayılmasına ilişkin teorisini destekledi. Snow, bulgularını yerel yetkililere sundu. Sonuçta pompa kaldırıldı ve kolera salgını sona erdi.

Snow’un kolera’nın suyla taşındığına dair matematik yardımı ile ortaya koyduğu kanıt, hastalıkları anlamak için matematiğin kullanımının ilk örneğidir. Bu olay da Voronoi diagramlarının kullanım alanlarına dair güzel bir örnek olarak kitaplarda yer alır.

Örnek Bir Voronoi Diyagramı

Görselde 42 noktadan oluşan bir Voronoi diyagramı gösterilmiştir. Geogebra da bu diyagramı oluşturmak oldukça kolaydır. Tek yapılması gereken noktaları belirlemektir. Sonrasını yazılımın kendisinde hazır bulunan komutla oluşturabilirsiniz.

Göz Atmak İsterseniz

Kaynakça:

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.
Başa dön tuşu