Bir hastalık için yapılan testin sonucunun pozitif çıkması genellikle endişe vericidir. Ancak testin doğruluğu yüksek olsa bile, nadiren de olsa hatalı sonuçlar verebilir. Bazı durumlarda hastalığa yakalanmamış olma ihtimaliniz oldukça yüksek olabilir. Başka bir deyişle, yanlış pozitif bir sonuç alma olasılığı vardır.
Kaykay yaparken dizinizi burktuğunuzu ve tedbir amaçlı doktora gittiğinizi hayal edin. Muayene sırasında, gelen her hastaya rutin olarak grip testi uygulanıyor. Çünkü doktorlara göre, kendilerini ziyaret eden her 100 hastadan 1’i grip virüsü taşıyor.
Yapılan test oldukça güvenilir kabul ediliyor; her 100 vakadan 99’unu doğru şekilde teşhis ediyor. Başka bir deyişle, grip olan kişilerin %99’unu doğru biçimde hasta olarak tanıyor. Aynı derecede önemli olarak, grip virüsü taşımayanların %99’una da doğru biçimde “negatif” sonuç veriyor.
Teste giriyorsunuz ve sonuç şaşırtıcı biçimde pozitif çıkıyor. Bu sizin için tam olarak ne anlama gelir? Sonuçta sadece dizinizi kontrol ettirmek için uğramıştınız ama şimdi grip olmuş gibi görünüyorsunuz. Bu durumda ne yapmalısınız? Gerçekten grip olma olasılığınız nedir? Bu durum, Bayes teoremini ve yanlış pozitif kavramını anlamak için ideal bir örnek oluşturur.
Yanlış Pozitif Nedir?
Burada olasılıklar dünyasına adım atıyoruz ve bu dünyada sağduyu çoğu zaman bizi yanlış yönlendiriyor. Sezgisel yanıt yüzde 99’dur çünkü test yüzde 99 doğrulukla çalışır. Bu yanıt kulağa mantıklı gelir ama doğru değildir.
Test doğruluğu, virüsü taşıyan bir kişinin pozitif çıkma olasılığını anlatır. Oysa bizim öğrenmek istediğimiz, pozitif sonuç alan bir kişinin virüsü taşıma olasılığıdır. Bu iki olasılık birbirinden farklıdır. Ancak insanlar çoğu zaman bu farkı görmez.
Testin yüzde 99 doğru çalışması, virüsü taşıyanların yüzde 99’unun pozitif çıktığını söyler. Ama pozitif çıkan herkesin yüzde 99 olasılıkla hasta olduğunu söylemez. Bu hataya tersine çıkarım yanılgısı ( ya da Savcı Yanılgısı) denir. Bu iki olasılık birçok durumda belirgin biçimde ayrılır.
Sağduyu yüzde 99 gibi yüksek bir olasılığı işaret eder. Ancak bu, iki farklı olasılığı karıştırmanın sonucudur. Biri hasta kişinin pozitif çıkma olasılığıdır. Diğeri pozitif çıkan kişinin hasta olma olasılığıdır. Test yüzde 99 doğrulukla çalışırken pozitif sonucun ne anlama geldiğini anlamak için Bayes teoremini kullanmamız gerekir.
Bayes Teoremi Kullanırsak
Bayes teoremi üç temel değeri kullanır. İlk değer, teste girmeden önce gribe yakalanma olasılığıdır. Bu olasılık senaryomuzda yüzde 1’dir yani 0.01. İkinci değer, hasta olduğunda testin pozitif sonuç verme olasılığıdır. Test yüzde 99 doğrulukla çalıştığı için bu olasılığı 0.99 kabul ederiz. Üçüncü değer, hasta olmadığında testin yine pozitif sonuç verme olasılığıdır. Yanlış pozitif oranı yüzde 1’dir yani 0.01.
Bu üç değeri Bayes formülüne yerleştirdiğimizde şaşırtıcı bir sonuç görürüz. Test yüzde 99 doğrulukla çalışsa bile, pozitif çıktığında gerçekten grip olma olasılığın yalnızca yüzde 50’dir.
Bu sonuç ilk bakışta sezgiye aykırı görünür. Bunun nedenini anlamak için gribin aslında nadir görüldüğünü hatırlamak gerekir. Her 100 hastadan yalnızca 1’i bu virüsü taşır. Test yüzde 99 doğruluk sunsa da hastalığın nadirliği hesapta önemli bir rol oynar.
Teste girmeden önce gribe yakalanma olasılığın yüzde 1’dir. Testin hata yapma olasılığı da yüzde 1’dir. Bu iki olasılık birbirine eşittir. Bu nedenle test pozitif çıktığında gerçekten hasta olma olasılığın yarıya düşer.
Bu hesaplama ek bilgi eklediğimizde değişir. Diyelim ki teste girmeden önce zaten kendini hasta hissediyordun ve grip benzeri belirtilerin vardı. Bu durumda doktorun, ortalama bir hastaya göre grip olma olasılığını daha yüksek görür. Bu durum senin öncül olasılığını artırır. Böylece pozitif bir test sonucu belirtilerle birleştiğinde gribe yakalanmış olma ihtimalini güçlendirir.
Sonuç Olarak
Bayes teoremi bu şekilde hem istatistiksel olasılığı hem de gerçek dünya bilgisini bir araya getirir. Bu yaklaşım, olasılıkları daha iyi anlamamıza ve daha bilinçli kararlar almamıza yardım eder. Ancak sonuç nettir: Pozitif bir test sonucu yanlış yorumlanabilir ama özellikle belirtilerle birlikte ortaya çıktığında ciddiye alınmalıdır.
Grip testi örneğini kullandık ama Bayes teoremi doktor muayenehanesinin ötesinde de geçerlidir. Mahkeme salonundan toplantı odasına, bir e-postanın spam olup olmadığını anlamaktan bir söylentinin güvenilirliğini değerlendirmeye kadar birçok durumda yeni kanıtlarla birlikte inançlarımızı güncellememiz gerekir. Tek bir kanıtı yorumlarken her zaman geniş bağlamı ve başlangıç olasılıklarını göz önünde tutmak önemlidir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Heijl A, Patella VM, Flanagan JG, Iwase A, Leung. CK, Tuulonen A, Lee GC, Callan T, Bengtsson B. False Positive Responses in Standard Automated Perimetry. Am J Ophthalmol. 2022 Jan;233:180-188. doi: 10.1016/j.ajo.2021.06.026. Epub 2021 Jul 18. PMID: 34283973.
- Maths in a minute: False positives; Maths in a minute: False positives/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
