Henri Lebesgue, integral kavramında devrim yaratarak matematiğe yeni bir soluk getirdi. Riemann’ın yöntemlerinin yetersiz kaldığı karmaşık fonksiyonları bile hesaplamaya olanak tanıyan Lebesgue integrali sayesinde, matematiksel analiz çok daha güçlü ve kapsamlı bir yapıya kavuştu.
İntegral, bir fonksiyon grafiğiyle x ekseni arasında kalan alanı hesaplamanın temel yoludur. Genellikle x = a ile x = b arasındaki aralıkta, eğrinin altında kalan bu alanı bulmak isteriz. Bu iki nokta, integralin sınırlarını belirler.
İşlem şu şekilde işler: x eksenindeki bu aralığı küçük dilimlere böleriz ve her bir dilim için, fonksiyonun değeri kadar yüksekliğe sahip bir dikdörtgen çizeriz. Bu dikdörtgenlerin alanlarını topladığımızda, grafiğin altındaki alanın yaklaşık bir değerine ulaşırız.
Ancak bu sadece bir yaklaşımdır. Gerçek değeri elde etmek için bu dikdörtgenlerin genişliğini gitgide küçültür, teorik olarak sıfıra yaklaştırırız. Genişlik sıfıra yaklaştıkça, elde edilen toplam alan grafiğin altını tam olarak kapsar. İşte bu sınır değeri, yani sonsuz sayıda sonsuz ince dikdörtgenin alanlarının toplamı, integrali tanımlar.
Sonlu sayıda dikdörtgenin alanını toplayarak yapılan bu yaklaşım, Riemann integrali olarak bilinir. Ancak bu yöntem, çok karmaşık ya da “düzensiz” fonksiyonlar için yetersiz kalır. İşte bu noktada, daha soyut ve kapsamlı bir ölçüm yöntemi geliştirme ihtiyacı doğdu. Bu işi üstelenecek kişi de Henri Léon Lebesgue olacaktı.
Henri Léon Lebesgue Kimdir? (1875–1941)
Lebesgue, 1875 yılında Fransa’nın Beauvais kentinde doğdu. Henüz üç yaşındayken babasını ve iki kız kardeşini verem nedeniyle kaybetti. Tüm yükü omuzlayan annesi, onun iyi bir eğitim alması için büyük fedakârlık gösterdi. Lebesgue’in yeteneği daha ilkokuldayken öğretmenlerinin dikkatini çekti.
Aldığı bursla Paris’teki prestijli liselerden birine, ardından da École Normale Supérieure’e kabul edildi. Bu okul, Henri Poincaré ve Évariste Galois gibi matematik tarihine damga vurmuş isimleri yetiştirmişti. Lebesgue de burada matematiksel yetkinliğini ileri taşıdı.
1902 yılında tamamladığı doktora tezi, “Intégrale, Longueur, Aire” (İntegral, Uzunluk, Alan), yalnızca bir akademik çalışma değil, matematikte çığır açan bir dönüm noktasıydı. Bu tezde, klasik Riemann integralinin sınırlarını aşan ve çok daha genel fonksiyonları kapsayan Lebesgue integralini tanıttı.
1910’da Sorbonne’a geçti, 1921’de ise Fransa’nın en prestijli kurumlarından biri olan Collège de France’ta profesörlük görevine başladı. Ayrıca 1937 yılına kadar École Normale Supérieure’de dersler vermeyi sürdürdü.
Lebesgue İntegrali Nedir?
Antik Yunan’da Arşimet, belirli eğrilerle sınırlı alanları ölçmeye çalışmıştı. Özellikle parabol altındaki alanları hesaplamak için dâhiyane yöntemler geliştirdi. 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz, bir eğrinin altındaki alanı bulma problemiyle (integral) eğriye teğet çizme problemini (türev) ilişkilendirdi ve böylece kalkülüsün temelini attı.
Augustin Cauchy, bu fikirleri tanımlayıp ispatlayarak matematiksel bir çerçeveye oturttu. Ardından Bernhard Riemann, bir fonksiyonun integrallenebilirliğini matematiksel olarak tanımladı.
Riemann, fonksiyonun tanım kümesini temel aldı. x ekseni boyunca küçük aralıklar seçti; her aralıkta fonksiyonun değerini kullanarak dikdörtgenler oluşturdu. Bu dikdörtgenlerin alanlarını toplayarak, grafiğin altındaki alanı yaklaşık olarak hesapladı.
Henri Lebesgue ise farklı bir yol izledi. O, tanım kümesi yerine değer kümesinden yola çıktı. Önce y eksenini küçük aralıklara böldü. Sonra, her y aralığına karşılık gelen x değerlerinin toplam uzunluğunu hesapladı.
Böylece, her y değeri için, bu değere karşılık gelen x’lerin oluşturduğu “genişliğe” ulaştı. Dikdörtgenlerin yüksekliğini y aralıkları, genişliğini ise bu x uzunlukları belirledi. Bu yöntem, sadece düzenli fonksiyonlar için değil, çok daha karmaşık yapılar için de integrali mümkün kıldı.
Lebesgue İntegrali Neden Önemlidir?
Lebesgue, kendi integral yaklaşımını oldukça sade ve çarpıcı bir benzetmeyle anlatır: “Bir borcum var diyelim. Cebimi karıştırıyorum, farklı değerlerde bozukluklar ve banknotlar buluyorum. Bulduğum sırayla, birer birer çıkarıp alacaklıya veriyorum. Borcum bitene kadar bu şekilde devam ediyorum. Bu, Riemann integrali gibidir.
Ama farklı bir yöntem de izleyebilirim. Önce cebimdeki tüm parayı çıkarırım. Aynı değerde olanları kendi içinde gruplayıp üst üste dizerim. Sonra her grubu topluca veririm. İşte bu da benim integralim — yani Lebesgue integrali.”
Riemann yaklaşımı, belirli aralıklardaki alanları klasik yöntemlerle ölçmeye yarar. Lebesgue ise bu sınırları genişletti. Riemann integraliyle ölçülebilen her fonksiyon, Lebesgue integraliyle de ölçülebilir. Ancak bazı “yaramaz” fonksiyonlar vardır ki, yalnızca Lebesgue yaklaşımıyla ele alınır.
Örneğin, tabanı [0, 1] aralığındaki rasyonel sayılardan oluşan bir dikdörtgen hayal edelim. Geleneksel yöntemlerle bu alanı ölçmek mümkün olmazdı. Çünkü rasyonel sayılar sayılabilir sonsuzluktadır ve bu tür kümelere Riemann integraliyle ölçü atamak imkânsızdır.
Ancak Lebesgue’un geliştirdiği güçlü ölçüm araçları sayesinde, bu tür soyut kümelere de anlamlı bir ölçü atanabilir. Böylece, yalnızca daha karmaşık fonksiyonları kapsamakla kalmayan, aynı zamanda matematiksel olarak daha doğal ve sağlam temellere dayanan bir integral kuramı elde edilmiş olur.
Başlangıçta, Lebesgue’un integral kavramını genişletme çabaları özellikle Fransa’daki matematikçiler tarafından kuşkuyla karşılanır. Ancak zamanla, Lebesgue’un yaklaşımının sunduğu esneklik ve kapsayıcılık daha geniş kabul görür. Özellikle karmaşık kümelere ölçü atayabilme yeteneği, bu yöntemi benzersiz kılar. Constantin Carathéodory gibi matematikçiler Lebesgue’un fikirlerini geliştirip sistematik bir yapıya kavuşturur.
Sonuç Olarak
Lebesgue’nin doktora tezi, matematikte yepyeni bir alanın — ölçü kuramının da — başlangıcı sayılır. Bu alanın gelişimi, yalnızca analizin değil, aynı zamanda olasılık kuramının da temellerini derinlemesine etkiledi. 1930’lara gelindiğinde, ölçü kavramı olasılık kuramında doğal bir yer buldu.
Diyelim ki birkaç piyango bileti aldık ve kazanan numaraların açıklanmasını bekliyoruz. Tüm piyango biletlerinin oluşturduğu küme bizim olasılık uzayımızdır. Elimizde tuttuğumuz biletler ise bu uzayın bir alt kümesini temsil eder. Elimizdeki biletlerden birinin kazanma olasılığı, bu alt kümenin ölçüsü olarak düşünülebilir.
Nasıl ki uzunluk, sayı doğrusundaki alt kümelere bir ölçü atıyorsa, olasılık da olası sonuç kümelerine bir ölçü atama yöntemidir.
Fransız matematikçi Paul Montel, Henri Lebesgue için yazdığı bir ölüm ilanında onu şöyle tanımlar: “O büyük bir bilge, hayranlık uyandıran bir öğretmen ve eşi benzeri olmayan ahlaki bir soyluluğa sahip bir insandı. Matematik üzerindeki etkisi, hem kendi çalışmalarıyla hem de ilham verdiği eserlerle uzun süre devam edecektir.”
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Der Mathematische Monatskalender:Henri Léon Lebesgue. Kaynak site: Bağlantı: Der Mathematische Monatskalender:Henri Léon Lebesgue
- Prof Henri-Léon Lebesgue, For, Mem R.S. Nature 133, 714 (1934). https://doi.org/10.1038/133714b0
- Maths in a minute: Measure. Kaynak site: Plus Math: Yayınlanma tarihi: 7 Ağustos 2024. Bağlantı: Maths in a minute: Measure
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
