1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … İşleminin Sonucu Kaçtır? Grandi Serisi ile Tanışın!

İşte herkesin çözebileceği basit bir matematik problemi: Bir eksi bir nedir? Sıfır. Buraya kadar her şey açık. Diyelim ki bu işlemi sonsuza kadar sürdürüyoruz: 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …Sonuç ne olur? Soru basit, hatta biraz da çocukça görünebilir. Ancak bu dizi, 18. yüzyılın en büyük matematikçilerini bile uzun süre düşündürdü. Çünkü Grandi serisi adını verdiğimiz bu seri, hiç de göründüğü gibi kolay değildi.

Görünüşteki basitliğine rağmen Grandi serisi, matematikteki oldukça ilgi çekici serilerden bir tanesidir. 1-1+1-1+1-1+… şeklinde sonsuza kadar devam eden bu seri, ismini İtalyan matematikçi Guido Grandi’den alır.

Grandi serisinin bu kadar ilgi çekmesinin bir nedeni de toplamanın tartışmalı doğasıdır. Çünkü uygulanan toplama yöntemine bağlı olarak seri farklı sonuçlar vermektedir. “Öyle şey olur mu canım, bu serinin toplamı basbayağı 0’dır” diyorsanız, okumaya devam etmenizi öneririz. Zira 1-1+1-1+1-1+… işleminin sonucu kimilerine göre 0, kimilerine göre 1, kimilerine göreyse 1/2!

Guido Grandi ve Grandi Serisinin Ortaya Çıkış Hikayesi

İtalyan keşiş ve matematikçi Luigi Guido Grandi, bu seriyi ilk olarak 1703 yılında inceledi. Bu seride Grandi, yalnızca parantezleri farklı şekilde yerleştirerek toplamı 0 ya da 1 olarak elde edebileceğini fark etti. Grandi bu gözlemini şu şekilde yapmıştı:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …= 0 + 0 + 0 + …= 0
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …= 1 + 0 + 0 + 0 + …= 1

Matematik tarihçisi Giorgio Bagni’ye göre bu aritmetik tutarsızlık, Grandi için teolojik bir anlam taşıyordu. Ona göre “hiçlikten yaratılış” düşüncesi, bu sayede mantıklı görünüyordu.

Bu serinin hem 0’a hem 1’e eşit olması bir paradoks gibi durur. Ama üçüncü seçenek olan ½, en az diğerleri kadar kafa karıştırıcıdır. Buna rağmen Grandi ve onu takip eden birçok 18. yüzyıl matematikçisi, sonucun ½ olması gerektiğini savundu.

Grandi bu fikri bir benzetmeyle destekledi: İki kardeş babalarından tek bir değerli taş miras alır. Her yıl sırayla bu taşı kendi müzelerinde sergilerler. Bu gelenek nesiller boyu devam ederse, iki ailenin de taş üzerinde %50 yani ½ oranında hakkı olur.

Ünlü matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz de Grandi’nin sonucuna katılıyordu, ancak daha doğrudan bir açıklama getirmeye çalıştı. Ona göre, eğer bu seriyi rastgele bir noktada durdurursanız, o ana kadarki toplamınız 0 ya da 1 olur ve bu iki olasılık eşit şekilde mümkündür.

Bu durumda, ortalamalarının alınarak sonucun ½ kabul edilmesi mantıklıdır. Leibniz bu sonucun doğru olduğunu düşünüyordu, ama argümanının “matematikten çok metafizikle ilgili” olduğunu da kabul ediyordu.

Leonhard Euler ise daha karmaşık yöntemlerle ½ sonucunu savundu. 1760 yılında yazdığı De Seriebus Divergentibus (Yayılan Seriler Üzerine) başlıklı çalışmasında bu konuda hem fikrini açıkladı hem de karşı çıkanlara oldukça sert bir dille yanıt verdi. Şöyle yazdı: “Hiçbir şüphe kalmamalıdır ki 1 – 1 + 1 – 1 + … serisi ile ½ kesiri eşdeğerdir.”

Grandi Serisi İle İlgili Sorun Nedir?

Bu tür sonsuz seriler, düşünürleri Antik Yunan’dan bu yana zorlamıştır. Örneğin Zenon’un hareket paradoksları buna örnektir. Zenon’a göre, yürüdüğümüz bir yolun önce yarısını, sonra kalan kısmın yarısını (yani toplamın dörtte birini), ardından onun da yarısını (sekizde birini) ve bu şekilde sonsuza kadar bir şeyleri aşmak zorundayız. Bu da, aslında sonlu bir sürede sonsuz sayıda eylem gerçekleştirdiğimizi öne sürer — bu da açık bir paradokstur.

Filozoflar 2400 yıl sonra hâlâ Zenon’un paradokslarının metafizik yönünü tartışıyor olsa da, matematikçiler 19. yüzyılın sonlarında bu tür sorunlara daha net bir yaklaşım getirdi. Çözüm, “kısmi toplamlar” ile başlar. İlk iki terimi toplayın, sonra üç, sonra dört…

Bu şekilde elde edilen değerler sabit bir sayıya giderek yaklaşırsa, serinin o değere “yaklaştığı” yani “yakınsadığı” (converges) söylenir. Bunu Zenon’un örneğine uygulayalım. Yani yolun yarısı, sonra dörtte biri, sonra sekizde biri, sonra on altıda biri ve bu şekilde devam eden dizi.

İlk iki terimi topladığımızda sonuç 0,75 olur. İlk üç terim 0,875, ilk dört terim ise 0,9375 eder. Eğer ilk 10 terimi toplarsak, 0,9990234375 sonucunu elde ederiz. Görüldüğü gibi, kısmi toplamlar 1 sayısına giderek yaklaşır. Yani bu dizi, 1’e yakınsar. Grandi’nin serisinde ise durum farklıdır. Bu serinin kısmi toplamları sırayla 1, 0, 1, 0… şeklinde gidip gelir. Yani belirli bir değere yakınsamak yerine, sürekli iki değer arasında salınım yapar.

Grandi’nin serisinin çözümü yalnızca matematiksel değil, aynı zamanda sosyolojik bir soruyu da gündeme getirir: Matematik camiası neden Leibniz’in olasılıksal yaklaşımını ya da başka bir alternatif tanımı değil de, kısmi toplamlar yöntemini kabul etti?

Sebep şu: Sonsuz bir seriyi “toplamak”, bildiğimiz anlamdaki toplamayla birebir aynı şey değildir. Dışarıdan benzer görünse de, aslında temelde farklı kurallara dayanır. Örneğin, klasik toplamada parantezlerin yerini değiştirmek sonucu etkilemez: 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3. Ama Grandi’nin serisi gibi birçok seride bu değişiklik sonucu tamamen değiştirir.

Cesàro Toplamına Göre Grandi Serisinin Toplamı Kaçtır?

Yakınsama tanımı, nihayetinde insanlar tarafından belirlenmiş bir tanımdır. Bu onu keyfi yapmaz. Matematik camiası bu tanımı rastgele seçmedi; birçok iyi gerekçeye dayanarak benimsedi. Bu yaklaşım, sonsuz toplamlar üzerine çalışan önceki matematikçilerin karşılaştığı pek çok paradoksu ortadan kaldırdı. Ayrıca, sonlu toplamada geçerli olan birçok güzel özelliği korur.

Yine de başka yakınsama tanımları da geliştirilmiş ve bazı durumlarda işe yaramıştır. Örneğin Cesàro toplamı adı verilen yöntem, kısmi toplamların kendisini değil, bunların ortalamalarını dikkate alır. İlk iki kısmi toplamın ortalamasını alır, sonra ilk üç toplamın ortalamasını, ardından ilk dört toplamın ortalamasını — ve bu böyle sonsuza kadar sürer.

Ernesto Cesàro (1859 – 1906) diferansiyel geometri alanında çalışmış İtalyan bir matematikçidir.

Bu ortalamaların nereye yaklaştığına bakılır. Eğer bu yöntem Zenon’un dizisi gibi zaten yakınsayan bir diziye uygulanırsa, sonuç değişmez. Ancak Grandi’nin serisi gibi klasik tanım altında yakınsamayan dizilerde farklı sonuçlar verir. Nitekim, Grandi’nin serisi Cesàro toplamına göre ½ değerine ulaşır.

Sonuç Olarak

Matematikte sonsuz serilerle çalışırken farklı toplama yöntemleri kullanılır. Bu yöntemler bazen aynı seri için farklı sonuçlara ulaşsa da, bu bir çelişki değildir. Asıl önemli olan, hangi tanımın kullanıldığının açıkça belirtilmesidir. Çünkü gerçek dünyada sonsuz sayıda terimi fiziksel olarak toplamak mümkün değildir. Bu yüzden kullanılan yöntemler, sonsuzlukla başa çıkmak için geliştirilen kurallı yaklaşımlardır.

Kısmi toplamlara dayanan klasik yöntem, bu alanda varsayılan ve en çok tercih edilen tanımdır. Çünkü hem mantıksal tutarlılık sağlar, hem de matematiğin temel yapılarını korur. Ancak bazı diziler bu tanım altında toplamlanamaz. İşte bu gibi durumlarda, alternatif yöntemler devreye girerek daha esnek çözümler sunar.

Grandi’nin serisi bunun ilginç bir örneğidir. Bu yüzden başta sorduğumuz soruya gündelik bir yanıt şöyle olabilir. Grandi’nin serisinin matematiksel anlamda kesin bir toplamı yoktur, ama bir değere yakınsaması gerekseydi, bu değer büyük ihtimalle ½ olurdu. Yazının devamında göz atmak isterseniz: Ramanujan Toplamı: 1+2+3+4+…= -1/12 İfadesi Nedir?

Kaynaklar ve İleri Okumalar