İşte herkesin çözebileceği basit bir matematik problemi: Bir eksi bir nedir? Sıfır. Buraya kadar her şey oldukça açık. Peki, bu işlemi sonsuza kadar sürdürdüğümüzde ne olur? Soru ilk bakışta basit görünebilir. Ancak Grandi serisi olarak bilinen bu ifade, göründüğü kadar kolay değildir.
İtalyan keşiş ve matematikçi Luigi Guido Grandi’nin adını taşıyan Grandi serisi matematikte oldukça ilgi çekici serilerden biridir. Onu bu kadar dikkat çekici yapan unsurlardan biri de toplamanın tartışmalı doğasıdır. Çünkü kullanılan toplama yöntemine bağlı olarak, seri farklı sonuçlar verir. Aslında 1 − 1 + 1 − 1 + … işleminin sonucu bazılarına göre 0, bazılarına göre 1, bazılarına göreyse ½ biçimindedir.
Guido Grandi ve Grandi Serisi
Bu dizinin kısmi toplamları, yani belirli bir adıma kadar hesaplanan toplamları 1, 0, 1, 0 şeklinde giderek sabit bir değere yaklaşmaz. Bu yüzden matematiksel olarak belirli bir toplamda yakınsamadığı, yani ıraksak olduğu söylenir. Yine de diziyi parantezler yerleştirerek incelemeyi deneyebiliriz:
Bu durumda 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … ifadesi (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … biçiminde gruplanırsa sonuç 0 + 0 + 0 + … olur ve toplam sıfırmış gibi görünür.
Ancak parantezleri bu kez farklı yerleştirirsek, örneğin 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … şeklinde gruplayacak olursak sonuç 1 + 0 + 0 + 0 + … biçimine dönüşür ve toplam bu kez bir çıkar. Böylece dizinin toplamı sıfır mı, yoksa bir mi sorusu oluşur. Yani karşımızda gerçek bir paradoks vardır.
Grandi Serisi Toplamı 1/2 Olabilir mi?
Üstelik bu kadar da değil. Grandi, bu serinin ne 1’e ne de 0’a değil, 1/2’ye eşit olduğunu öne sürmüştü ve bunu bir hikâyeyle açıklamıştı.
İki kardeşe, babalarından değerli bir taş miras kalır. Taşı eşit biçimde paylaşamayacakları için, onu kendi müzelerinde gün aşırı sergilemeye karar verirler. Bu düzen onların soyları için de sonsuza dek sürer. Grandi bu nedenle her ailenin taşı “zamanın yarısında” sahiplenmiş sayılacağını söyler ve buradan serinin toplamını 1/2 olarak yorumlar.
Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz, Grandi’nin sonucuna katılıyordu. Ancak bunu olasılıksal bir akıl yürütmeyle desteklemeye çalıştı.
Leibniz’e göre, diziyi rastgele bir noktada durdurursanız o ana kadar elde ettiğiniz toplamın 0 ya da 1 olma olasılığı eşittir. Bu yüzden bu iki değerin ortalamasını almak ve sonucu 1/2 kabul etmek mantıklı görünür. Sonucun doğru olduğunu düşünüyordu, fakat kendi gerekçesinin “matematikten çok metafizik” olduğunu da kabul etmişti.
Leonhard Euler ise daha karmaşık yöntemlerle ½ sonucunu savundu. 1760 yılında yazdığı De Seriebus Divergentibus (Yayılan Seriler Üzerine) başlıklı çalışmasında bu konuda hem fikrini açıkladı hem de karşı çıkanlara oldukça sert bir dille yanıt verdi. “Hiçbir şüphe kalmamalıdır ki 1 – 1 + 1 – 1 + … serisi ile ½ kesiri eşdeğerdir.”
Grandi Serisi İle İlgili Sorun Nedir?
Bu tür sonsuz seriler, düşünürleri Antik Yunan’dan bu yana zorlamıştır. Örneğin Zenon’un hareket paradoksları buna örnektir. Filozoflar 2400 yıl sonra hâlâ Zenon’un paradokslarının metafizik yönünü tartışıyor olsa da, matematikçiler hem bu paradoksları hem de Grandi serisinin gizemini çözmeye yönelik önemli bir adımı 19. yüzyılın sonlarında attılar.
Kalkülüsün temellerinden, sonsuz serilerin ne zaman sonlu bir değere toplandığını açıklığa kavuşturan tanımlar ortaya çıktı. Cevabı bulmak, kısmi toplamları incelemekle başlar. Önce ilk iki terimi toplarsınız, sonra ilk üçü, sonra ilk dördü, böyle devam eder. Eğer bu ara toplamlar belirli bir değere giderek daha çok yaklaşırsa, serinin o değere “yakınsadığını” söyleriz.
Grandi serisinin kısmi toplamları 0 ile 1 arasında gidip gelir. Yani hiçbir zaman tek bir değere yaklaşmaz. Bu nedenle modern matematikçilere göre Grandi serisi hiçbir değere eşit olamaz. Burada ilginç bir soru ortaya çıkar.
Matematikçiler neden kısmi toplam yöntemini kabul eder de, Leibniz’in olasılıksal gerekçesini kabul etmez? Bunun nedeni, sonsuz bir seriyi toplamanın normal toplama işlemiyle aynı şey olmamasıdır. Sonlu sayılarla yaptığımız toplamada parantezleri nasıl değiştirirseniz değiştirin sonuç aynı kalır; örneğin 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3. Fakat Grandi serisi gibi birçok sonsuz seride parantezlerin yeri sonucu tamamen değiştirebilir.
Bu yüzden matematikçiler, seriler hakkında konuşurken “toplamak” ve “eşittir” gibi sözcükleri ödünç kullanır. Ama bunların teknik anlamı farklıdır. Bir serinin “1’e eşit olduğunu” söylediklerinde kast edilen, serinin gerçekten 1 ile aynı nicelik olması değildir. Asıl anlam şudur: kısmi toplamlar 1’e giderek yaklaşır.
Cesàro Toplamına Göre Grandi Serisinin Toplamı Kaçtır?
Kısmi toplamlarla yapılan yakınsama tanımı rastgele seçilmiş bir kural değildir. Matematik dünyası bu tanımı diğer seçeneklere tercih eder, çünkü çok iyi nedenleri vardır. Bu yaklaşım, sonsuz toplamları inceleyen eski matematikçilerin karşılaştığı birçok paradoksu ortadan kaldırır.
Yine de başka yakınsama tanımları da geliştirilmiş ve bazı durumlarda işe yaramıştır. Örneğin Cesàro toplamı adı verilen yöntem, kısmi toplamların kendisini değil, bunların ortalamalarını dikkate alır. ilk iki kısmi toplamın ortalamasını alır, sonra ilk üç kısmi toplamın ortalamasını, böyle sonsuza kadar gider. Sonrasında da bu ortalamaların nereye yaklaştığını sorar.
Bu yöntemi Zeno’nun serisi gibi zaten yakınsayan bir diziye uygularsanız, her zaman aynı sonuca ulaşırsınız. Ancak standart tanıma göre yakınsamayan bazı dizilerde farklı bir sonuç verir. Nitekim Grandi serisi için Cesàro toplamı 1/2’dir.
Sonuç Olarak
Matematik literatüründe başka birçok toplama yöntemi vardır. Gerçekte sonsuz sayıda şeyi fiziksel olarak toplayamayacağımız için, bu yöntemler sonsuz serilere ilkesel biçimde bir değer atamanın yollarını sunar. Kısmi toplam tanımı haklı olarak varsayılan yöntemdir.
Kısmi toplamlara dayanan klasik yöntem, bu alanda varsayılan ve en çok tercih edilen tanımdır. Ancak bazı durumlarda başka seçeneklere sahip olmak da işe yarar.
İlginç bir şekilde, Grandi serisi bu alternatif yöntemlerin çoğunda 1/2 değerini verir. Bu yüzden başlangıçtaki soruya bir yanıt şöyle olabilir. Grandi serisi aslında hiçbir değere eşit değildir ama olsaydı 1/2 olurdu.
Yazının devamında göz atmak isterseniz: Ramanujan Toplamı: 1+2+3+4+…= -1/12 İfadesi Nedir?
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- The Paradox of 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …Kaynak site: Scientific American. Yayınlanma tarihi: 16 Ağustos 2024. Bağlantı: Bağlantı: The Paradox of 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + .
- Pediredla, Suhaas. (2021). The Mysterious Existence of Grandi’s Series.
Matematiksel
